第三章 函数（单元测试·基础卷）数学人教B版2019必修第一册

2025-2026学年高一数学单元检测卷 第三章 函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】D 【详解】令，则， 所以. 故选：D. 2．下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】对于A, 的定义域为,的定义域为，两个函数的定义域不相同， 故不是同一个函数，A错误， 对于B，，，两个函数相同，故B正确， 对于C, 与的对应关系不相等，故不是同一个函数，C错误， 对于D, 的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相等， 故不是同一个函数，D错误， 故选：B 3．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 4．“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：当时，， 易知函数在区间上单调递减． 必要性：若在区间上单调递减， 则需，即， 故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件． 故选：A. 5．已知函数在上连续，则“”是“方程在内至少有两个解”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】D 【详解】根据题意，若， 则中两正一负，或者三负， 只有当时， 才能得到方程在和内至少各有一个解， 所以“”是“方程在内至少有两个解”的不充分条件； 反之，若方程在内至少有两个解，无法确定的符号， 所以“”是“方程在内至少有两个解”的不必要条件， 所以“”是“方程在内至少有两个解”的非充分非必要条件. 故选：D 6．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：C． 7．定义，设函数，；记函数，且函数在区间的值域为，则区间长度的最大值（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】令，即，解得， 所以， 则的图象如下所示： 又，， 要使函数在区间的值域为，当时，当时， 所以当，时区间长度的取得最大值，且最大值为. 故选：D 8．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为偶函数，所以， 又为奇函数，所以，所以， 所以，所以 所以是的一个周期. 所以， 由可得， 所以. 所以由可得. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】为偶函数，且在上是减函数， 有，即，选项A正确； 有，即，选项B错误； 有，选项C错误； 有，选项D正确； 故选：AD 10．已知函数，关于的方程，则下列判断中正确的是（    ） A．时，方程有2个不同的实数根 B．方程至少有2个不同的实数根 C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 【答案】CD 【详解】程根的问题可以转化成直线和图象的交点问题， 如图，作出直线和函数的图象， A，由图可知：时，方程有3个不同的实数根，错误； B，当时，结合图象可知，方程无解，错误． C，由图可知直线和的图象有3个交点时，的取值范围为，正确． D，假设，结合图象可知，，所以，正确． 故选：CD. 11．已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有（   ） A． B．函数是奇函数 C． D．当时，，则在上单调递减 【答案】AB 【详解】取得，解得，A说法正确； 取得，解得， 取得，是偶函数， 所以且定义域，所以是奇函数，B说法正确； 由知，当时，不成立，C说法错误； 设，则，， 所以在上单调递增，D说法错误； 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量与记忆天数的函数关系式为 ． 【答案】，且 【详解】根据题意，该同学计划第一天记忆个单词，第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量， 则，且． 故答案为：，且 13．已知函数，若，则 ． 【答案】0或 【详解】当时，的值域为； 当时，的值域为， 由得，且，解得或（舍去）， 则，或，解得或． 故答案为：0或. 14．已知，若不等式对于任意恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【详解】令，，则不等式为对于任意恒成立， 取，则，即，解得， 当时，则，即， 由于的最小值为， 当时，则满足恒成立，此时符合题意， 故可以取到， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求下列函数的值域 (1)； (2). 【详解】（1）令，则，， 3分 当时，等号成立， 所以函数的值域为. 6分 （2）令，则，， 当时，； 9分 当时，，因为，当且仅当，时等号成立，所以， 所以函数的值域为. 13分 16．（15分）已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【详解】（1）如下图所示： . 4分 （2）因为为R上的奇函数，所以. 6分 当时，则， 又因为为奇函数， 所以， 所以当时，，   所以. 9分 （3）由（1）知，的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以. 所以，解得，故实数的取值范围是. 15分 17．（15分）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的.因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计1200元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米． (1)记y为甲工程队整体报价，求的解析式； (2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为元，问是否存在实数t，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米()，则底面长为米，正面费用为 , 3分 故 ，. 7分 （2）由题意知, ，对任意都成立, 即对任意恒成立， 9分 令 ,则， 则， 而，当且仅当取等号， 13分 故 ， 即存在实数，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功. 15分 18．（17分）已知，，． (1)若的解集为或，求不等式的解集； (2)若函数在上有不同的零点，求的取值范围． 【详解】（1）由题可知：的解集为或， 所以分别为方程的两个实数根，则， 2分 由，则， 所以， 所以不等式的解集为 6分 （2）， 8分 当时，在的图象始终在轴上方，不符合题意； 10分 当时，函数在有两个不同的零点，所以满足： ， 14分 当，即时，函数在有一个零点， 在有一个零点， 则. 综上所述： 17分 19．（17分）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【详解】（1）由函数为奇函数，且，可得， 则，解得， 2分 可得，定义域， 且，所以是奇函数，满足题意. 4分 函数在、上单调递减，在、上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减； 6分 任取， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 8分 由对称性，在上单调递增，在上单调递减. 10分 （2）由题意，函数，令，可得， 由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 13分 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，. 所以， 15分 对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第三章 函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 2．下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 4．“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数在上连续，则“”是“方程在内至少有两个解”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 6．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 7．定义，设函数，；记函数，且函数在区间的值域为，则区间长度的最大值（　　） A．1 B． C． D．2 8．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，关于的方程，则下列判断中正确的是（    ） A．时，方程有2个不同的实数根 B．方程至少有2个不同的实数根 C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 11．已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有（   ） A． B．函数是奇函数 C． D．当时，，则在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量与记忆天数的函数关系式为 ． 13．已知函数，若，则 ． 14．已知，若不等式对于任意恒成立，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求下列函数的值域 (1)； (2). 16．（15分）已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 17．（15分）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的.因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计1200元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米． (1)记y为甲工程队整体报价，求的解析式； (2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为元，问是否存在实数t，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由． 18．（17分）已知，，． (1)若的解集为或，求不等式的解集； (2)若函数在上有不同的零点，求的取值范围． 19．（17分）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第三章 函数·基础通关（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D B A A D C D D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AD CD AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．，且 13．0或. 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）令，则，， 3分 当时，等号成立， 所以函数的值域为. 6分 （2）令，则，， 当时，； 9分 当时，，因为，当且仅当，时等号成立，所以， 所以函数的值域为. 13分 16．【详解】（1）如下图所示： . 4分 （2）因为为R上的奇函数，所以. 6分 当时，则， 又因为为奇函数， 所以， 所以当时，，   所以. 9分 （3）由（1）知，的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以. 所以，解得，故实数的取值范围是. 15分 17．【详解】（1）由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米()，则底面长为米，正面费用为 , 3分 故 ，. 7分 （2）由题意知, ，对任意都成立, 即对任意恒成立， 9分 令 ,则， 则， 而，当且仅当取等号， 13分 故 ， 即存在实数，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功. 15分 18．【详解】（1）由题可知：的解集为或， 所以分别为方程的两个实数根，则， 2分 由，则， 所以， 所以不等式的解集为 6分 （2）， 8分 当时，在的图象始终在轴上方，不符合题意； 10分 当时，函数在有两个不同的零点，所以满足： ， 14分 当，即时，函数在有一个零点， 在有一个零点， 则. 综上所述： 17分 19．【详解】（1）由函数为奇函数，且，可得， 则，解得， 2分 可得，定义域， 且，所以是奇函数，满足题意. 4分 函数在、上单调递减，在、上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减； 6分 任取， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 8分 由对称性，在上单调递增，在上单调递减. 10分 （2）由题意，函数，令，可得， 由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 13分 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，. 所以， 15分 对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第三章 函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 2．下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 4．“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数在上连续，则“”是“方程在内至少有两个解”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 6．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 7．定义，设函数，；记函数，且函数在区间的值域为，则区间长度的最大值（　　） A．1 B． C． D．2 8．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，关于的方程，则下列判断中正确的是（    ） A．时，方程有2个不同的实数根 B．方程至少有2个不同的实数根 C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 11．已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有（   ） A． B．函数是奇函数 C． D．当时，，则在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量与记忆天数的函数关系式为 ． 13．已知函数，若，则 ． 14．已知，若不等式对于任意恒成立，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求下列函数的值域 (1)； (2). 16．（15分）已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 17．（15分）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的.因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计1200元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米． (1)记y为甲工程队整体报价，求的解析式； (2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为元，问是否存在实数t，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由． 18．（17分）已知，，． (1)若的解集为或，求不等式的解集； (2)若函数在上有不同的零点，求的取值范围． 19．（17分）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $