第2章 有理数的运算（21个高频易错考点训练 共42题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册章节复习培优专项训练

第2章 有理数的运算（易错题考点集训） 【21个高频易错考点 共42题】 易错考点01：有理数的加减混合运算 2 易错考点02：有理数加减中的简便运算 3 易错考点03：有理数加减混合运算的应用 3 易错考点04：有理数乘除混合运算 4 易错考点05：有理数乘除中的简便运算 5 易错考点06：有理数四则混合运算 6 易错考点07：有理数四则混合运算的实际应用 7 易错考点08：根据点在数轴的位置判断式子的正负 8 易错考点09：数轴上的翻折 9 易错考点10：有理数的乘方运算 10 易错考点11：有理数乘方逆运算 10 易错考点12：乘方运算的符号规律 11 易错考点13：乘方的应用 11 易错考点14：用科学记数法表示绝对值大于1的数 11 易错考点15：将用科学记数法表示的数变回原数 12 易错考点16：程序流程图与有理数计算 12 易错考点17：算“24”点 12 易错考点18：含乘方的有理数混合运算 13 易错考点19：求一个数的近似数 14 易错考点20：求近似数的精确度 14 易错考点21：近似数推断取值范围 15 易错考点01：有理数的加减混合运算 1．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）已知a、b均为有理数，现规定一种新运算，满足．例如． (1)求的值； (2)求的值． 2．（25-26六年级上·全国·期中）阅读下面的解题过程： 计算：． 解：原式 上面这种解题方法叫拆项法． 仿照上述解题过程计算：． 易错考点02：有理数加减中的简便运算 3．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）计算： (1) (2) 4．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 易错考点03：有理数加减混合运算的应用 5．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示无人上车或下车． 停靠站 起点站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 终点站 上、下车人数 ； ； ； ； ； ； (1)中间第站上车的人数是 人，下车的人数是 人； (2)途中的个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车； (3)公共汽车离开中间第站时车上的人数为 人，离开中间第站时车上的人数为 人； (4)从表中你还能知道什么信息？ 6．（24-25七年级上·云南昭通·期末）对用生活实例解释其意义正确的是（   ） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上，随着冷空气的到来，下午气温下降了．现在的气温是零上 D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了水，接着他又往水池注入水，现在水池里的水比原来多了 易错考点04：有理数乘除混合运算 7．（25-26七年级上·全国·单元测试）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，正确步骤的依据是 ； (2) 请写出正确的结果 ． 8．（24-25七年级上·甘肃酒泉·开学考试）脱式计算（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) 易错考点05：有理数乘除中的简便运算 9．（25-26七年级上·重庆·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 10．（25-26七年级上·广东·期中）计算： (1) (2) 易错考点06：有理数四则混合运算 11．（25-26七年级上·吉林四平·阶段练习）阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 方法1：原式； 方法2：原式的倒数，所以原式． 任务： (1)材料中的方法1是先求括号内的________运算，再求括号外的________运算（填“加法”“减法”“乘法”或“除法”）； (2)小明联想到材料的方法，给出了如下解法． 答案解：原式① ② ③ ④ ．⑤ 显然小明的解法是错误的，从第________步开始出现错误（填序号）； (4) 根据材料中的方法2计算：． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）学习情境·阅读理解 阅读：我们知道，所有无限循环小数都可以化成分数，那么如何把无限循环小数化为分数呢？下面介绍一种方法： 例：把和化成分数． 乘10，原数位每位进一位，得到，即，再减去得3，算式如下： ，即，所以；同样道理，把化成分数的算式如下： ，即，所以． 根据上面材料完成： (1)直接把下面无限循环小数化为分数 ， ； (2)请把下面无限循环小数化为分数，写出计算过程． 易错考点07：有理数四则混合运算的实际应用 13．（25-26七年级上·吉林四平·阶段练习）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 14．（24-25七年级上·陕西西安·期中）批发商王老板于上周一收购一批农产品10000千克，收购价为每千克3.2元，周二开始进入批发市场后共占5个摊位进行销售，每个摊位最多能容纳该农产品2000千克，每个摊位的市场管理费为每天20元．该农产品上周一的批发价为每千克3.4元，下表为上周该农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况．（涨记为正，跌记为负） 星期 二 三 四 五 六 与前一天相比价格的涨跌情况（元） 当天的交易量（千克） 2500 2000 3000 1500 1000 (1)星期五该农产品批发价格为每千克多少元？ (2)王老板销售该农产品的最高价格是每千克多少元？最低价格是每千克多少元？ (3)王老板在销售过程中采用逐步减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，这样他在上周的买卖中共赚了多少钱？ 易错考点08：根据点在数轴的位置判断式子的正负 15．（2025七年级上·全国·专题练习）已知三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断①；②；③；④；正确的个数是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）已知A，B，C三点对应的有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中数a，b互为相反数． (1)判断a，b，c的正负性； (2)若点A与点B相距8个单位长度，点A，C相距2个单位长度，则点A，B，C表示的数各是多少？ 易错考点09：数轴上的翻折 17．（22-23七年级上·吉林·阶段练习）已知在纸面上有一数轴如图，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数； (2)在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A、B的其他字母表示），并写出这些点表示的数； (3)折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①10表示的点与数________表示的点重合； ②若数轴上M、N两点之间的距离为2018（点M在点N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数是多少？ 18．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，数轴上点表示的数是，解答下面的问题； (1)点表示的数为______． (2)与点的距离为4的点表示的数为______； (3)若将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则点与数______表示的点重合； (4)若数轴上、两点之间的距离为2018（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：：______：______． 易错考点10：有理数的乘方运算 19．（24-25七年级上·广东中山·期中）有以下6个数：，，，，0，． (1)在数轴上表示以上各数； (2)用“<”号把它们连接起来． 20． （25-26七年级上·全国·阶段练习）已知，互为相反数，、互为倒数，，求？请写出解答过程． 易错考点11：有理数乘方逆运算 21．（24-25七年级上·福建三明·期中）以下叙述正确的是（   ） A．是一个负数 B．若，则 C．若一个数的平方是16，则这个数是4 D．在“0，，”三个数中，不是有理数 22．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 易错考点12：乘方运算的符号规律 23．（21-22七年级上·广西桂林·阶段练习）将，，从小到大排列正确的是（　　） A． B． C． D． 24．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 易错考点13：乘方的应用 25．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图，从卫生纸的包装纸上得到以下信息：300格，每格，如图①；用尺子量出整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，如图②．求卫生纸的厚度．（取3） 26．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）阅读并解决下列问题： (1)验证：_______，_______． (2)猜想_______，_______，_______……（用“>”或“<”或“=”填空） (3)通过验证，归纳得出：_______，_______． (4)请应用上述性质计算：． 易错考点14：用科学记数法表示绝对值大于1的数 27．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）截至年月日，建湖九龙口在中秋国庆假期共接待游客约人，其中用科学记数法表示为 ． 易错考点15：将用科学记数法表示的数变回原数 29．（25-26七年级上·全国·课后作业），全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有 个零． 30．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一．若每人每天浪费水L，那么万人每天浪费的水就有L，那么的原数为（　　） A．3200000 B．320000 C．32000 D．3200 易错考点16：程序流程图与有理数计算 31．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得到1．如果自然数n恰好经过7步运算可得到1，则符合条件的n的值是（   ） A．3，15，21，128 B．3，15，20，128 C．3，20，21，128 D．3，20，31，128 32．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图所示是计算机的某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 易错考点17：算“24”点 33．（25-26七年级上·福建宁德·开学考试）下面4张扑克牌上的点数，经过怎样的计算能得到24（每张牌都要用且只能用一次），可以列出综合算式是 ． 34．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数     ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出      ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 易错考点18：含乘方的有理数混合运算 35．（25-26七年级上·全国·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 36．（2025七年级上·内蒙古·专题练习）计算下列各题 (1) (2) (4) (4) (5) 易错考点19：求一个数的近似数 37．（24-25七年级上·浙江温州·期中）一个数精确到百分位是，那么这个数最小为（   ） A． B． C． D． 38．（25-26七年级上·四川绵阳·开学考试）我国的领土面积约为9596960平方千米，按四舍五入精确到万位，则我国的领土面积约为（   ） A．9597万平方千米 B．959万平方千米 C．960万平方千米 D．96万平方千米 易错考点20：求近似数的精确度 39．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）下列近似数有3个有效数字的是（   ）． A． B．万 C． D． 40．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）下列由四舍五入得到的近似数，说法正确的是（　　） A．0.720精确到百分位 B．2.90精确到0.01 C．3.6精确到十位 D．5.0精确到个位 易错考点21：近似数推断取值范围 41．（25-26七年级上·广西柳州·开学考试）已知是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是，这个两位小数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．（2025七年级下·江苏无锡·专题练习）计算11个自然数的平均数（保留两位小数），算出，最后一位错了，正确的平均数是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数的运算（易错题考点集训） 【21个高频易错考点 共42题】 易错考点01：有理数的加减混合运算 2 易错考点02：有理数加减中的简便运算 3 易错考点03：有理数加减混合运算的应用 5 易错考点04：有理数乘除混合运算 7 易错考点05：有理数乘除中的简便运算 9 易错考点06：有理数四则混合运算 11 易错考点07：有理数四则混合运算的实际应用 14 易错考点08：根据点在数轴的位置判断式子的正负 16 易错考点09：数轴上的翻折 18 易错考点10：有理数的乘方运算 20 易错考点11：有理数乘方逆运算 21 易错考点12：乘方运算的符号规律 22 易错考点13：乘方的应用 23 易错考点14：用科学记数法表示绝对值大于1的数 24 易错考点15：将用科学记数法表示的数变回原数 25 易错考点16：程序流程图与有理数计算 26 易错考点17：算“24”点 27 易错考点18：含乘方的有理数混合运算 29 易错考点19：求一个数的近似数 31 易错考点20：求近似数的精确度 31 易错考点21：近似数推断取值范围 32 易错考点01：有理数的加减混合运算 1．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）已知a、b均为有理数，现规定一种新运算，满足．例如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】本题考查了新定义，有理数的加减混合运算，正确理解新定义是解题的关键． （1）由新定义得到，再由有理数的加减混合运算法则计算； （2）先计算得到，再计算即可． 【规范解答】（1）解：因为， 所以． （2）解：因为， 所以，                         所以                          ． 2．（25-26六年级上·全国·期中）阅读下面的解题过程： 计算：． 解：原式 上面这种解题方法叫拆项法． 仿照上述解题过程计算：． 【答案】0 【思路引导】本题主要考查了有理数加减法运算， 仿照上述解答过程，先拆项，再根据有理数的加减法法则计算即可. 【规范解答】解： . 易错考点02：有理数加减中的简便运算 3．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查的是有理数的加减混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先化为省略加号的和的形式，再利用运算律进行简便运算即可； （2）先化为省略加号的和的形式，再利用运算律进行简便运算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 4．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】本题考查了有理数的运算，运算律，化简绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据有理数加法法则进行求解即可； （）先算绝对值，然后通过有理数减法法则进行求解即可； （）先算绝对值，然后通过有理数加法运算律进行简便运算即可； （）通过有理数加法运算律进行简便运算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 易错考点03：有理数加减混合运算的应用 5．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示无人上车或下车． 停靠站 起点站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 终点站 上、下车人数 ； ； ； ； ； ； (1)中间第站上车的人数是 人，下车的人数是 人； (2)途中的个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车； (3)公共汽车离开中间第站时车上的人数为 人，离开中间第站时车上的人数为 人； (4)从表中你还能知道什么信息？ 【答案】(1)1；7 (2)6；3 (3)24；22 (4)见解析（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了正负数的应用、有理数加减法的应用，正确理解正负数的意义是解题关键． （1）根据表格中的数据，正数表示上车人数，负数表示下车人数解答即可； （2）在表格的数据中，找出上车人数为0人、下车人数为0人即可得； （3）将起始点的人数，与中间第1站和中间第2站的上、下车人数相加即可得；再与中间第3站、中间第4站的上、下车人数相加即可得； （4）在表格的数据中，途中的个站中，分别找出上、下车人数最多的站点即可得． 【规范解答】（1）解：由表格可知，中间第站上车的人数是1人，下车的人数是7人， 故答案为：1；7． （2）解：由表格可知，途中的个站中，中间第3站的下车人数为0人，中间第6站的上车人数为0人， 所以途中的个站中，第6站没有人上车，第3站没有人下车， 故答案为：6；3． （3）解：公共汽车离开中间第站时车上的人数为 （人）， 离开中间第站时车上的人数为 （人）， 故答案为：24；22． （4）解：从表中可以知道，途中的6个站中，中间第5站下车的人数最多，中间第1站上车的人数最多． 6．（24-25七年级上·云南昭通·期末）对用生活实例解释其意义正确的是（   ） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上，随着冷空气的到来，下午气温下降了．现在的气温是零上 D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了水，接着他又往水池注入水，现在水池里的水比原来多了 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数运算的实际应用，分别列出各选项中的算式，进行判断即可． 【规范解答】解：A、由题意，现在该物体在数轴上对应点的数为，该选项错误，不符合题意； B、，故他这两个月合计亏了1万元，符合题意； C、，故现在的气温是零下，该选项错误，不符合题意； D、，故现在水池中的水比原来少了，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 易错考点04：有理数乘除混合运算 7．（25-26七年级上·全国·单元测试）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，正确步骤的依据是 ； (2)请写出正确的结果 ． 【答案】(1)二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除 (2) 【思路引导】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序及有理数除法的运算法则即可解答； （2）先计算括号内的有理数乘法，再将除法转化为乘法计算即可． 【规范解答】（1）解：第一处是第二步错误，错误原因是运算顺序错误，应该先计算除法，再计算乘法； 第二处是第三步错误，正确的步骤的依据是：两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 故答案为：二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）解： ． 8．（24-25七年级上·甘肃酒泉·开学考试）脱式计算（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3) (4) 【思路引导】此题主要考查有理数的混合运算以及运算律的综合运用，解答此题的关键是通过观察算式，再确定简便算法，要灵活运用运算律， （1）先把加法化为乘法，再用乘法交换结合律进行计算即可； （2）先去小括号，再根据乘法分配律计算即可； （3）先计算括号内的运算，再计算乘法即可； （4）先计算括号内运算，再把除法化为乘法，进而即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 易错考点05：有理数乘除中的简便运算 9．（25-26七年级上·重庆·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2) (3)0 (4)10 【思路引导】该题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先将原式化为，再计算即可． （2）根据有理数加减法简便运算法则计算即可． （3）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律逆运用即可解答． （4）先将除法转化为乘法，百分数和小数转化为分数，再根据有理数混合运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 10．（25-26七年级上·广东·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了分数的加减法运算以及除法运算，同时涉及到对分数进行变形和化简的技巧，解题的关键在于能够熟练掌握有理数的计算法则． （）本题可利用加法交换律和结合律进行简便计算，将同分母的分数或能凑整的数结合在一起； （）先把带分数化为假分数，再把被除数提取2，从而简便计算除法式子； 【规范解答】（1）解： （2） 易错考点06：有理数四则混合运算 11．（25-26七年级上·吉林四平·阶段练习）阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 方法1：原式； 方法2：原式的倒数，所以原式． 任务： (1)材料中的方法1是先求括号内的________运算，再求括号外的________运算（填“加法”“减法”“乘法”或“除法”）； (2)小明联想到材料的方法，给出了如下解法． 答案解：原式① ② ③ ④ ．⑤ 显然小明的解法是错误的，从第________步开始出现错误（填序号）； (3)根据材料中的方法2计算：． 【答案】(1)减法，除法 (2)① (3) 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则判断即可； （2）根据除法法则解答即可； （3）仿照材料中的方法计算即可． 【规范解答】（1）解：材料中的方法1是先求括号内的减法运算，再求括号外的除法运算， 故答案为：减法，除法； （2）显然小明的解法是错误的，从第①步开始出现错误， 故答案为：①； （3） 原式的倒数 ， 原式． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）学习情境·阅读理解 阅读：我们知道，所有无限循环小数都可以化成分数，那么如何把无限循环小数化为分数呢？下面介绍一种方法： 例：把和化成分数． 乘10，原数位每位进一位，得到，即，再减去得3，算式如下： ，即，所以；同样道理，把化成分数的算式如下： ，即，所以． 根据上面材料完成： (1)直接把下面无限循环小数化为分数 ， ； (2)请把下面无限循环小数化为分数，写出计算过程． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是仿照材料解题． （1）仿照材料里的方法将无限循环小数化为分数即可； （2）仿照材料里的方法将化为分数；先仿照材料求出，可得，再根据计算即可． 【规范解答】（1）解：，即， ∴， ，即， ∴， 故答案为：； （2）解：，即， ∴； ，即， ∴， ∴ 即． 易错考点07：有理数四则混合运算的实际应用 13．（25-26七年级上·吉林四平·阶段练习）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】(1) (2) (3)这天的行驶费用比原来节省元． 【思路引导】本题主要考查了正负数的意义、平均数的计算以及费用的计算，熟练掌握正负数的运算和相关公式是解题的关键． （1）找出表格中最大和最小的数，求差得到最多的一天比最少的一天多走的路程； （2）先计算七天与标准路程差值的平均数，再加上标准路程得到平均每天行驶的路程； （3）分别计算汽油车和新能源车七天的行驶费用，再求差值得到节省的费用． 【规范解答】（1）解：最多的一天：，最少的一天： ， 故答案为： （2）解： ， ， 答：这七天平均每天行驶了 （3）解：七天总路程： 汽油车费用：（元） 新能源车费用：（元） （元） 答：这天的行驶费用比原来节省元． 14．（24-25七年级上·陕西西安·期中）批发商王老板于上周一收购一批农产品10000千克，收购价为每千克3.2元，周二开始进入批发市场后共占5个摊位进行销售，每个摊位最多能容纳该农产品2000千克，每个摊位的市场管理费为每天20元．该农产品上周一的批发价为每千克3.4元，下表为上周该农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况．（涨记为正，跌记为负） 星期 二 三 四 五 六 与前一天相比价格的涨跌情况（元） 当天的交易量（千克） 2500 2000 3000 1500 1000 (1)星期五该农产品批发价格为每千克多少元？ (2)王老板销售该农产品的最高价格是每千克多少元？最低价格是每千克多少元？ (3)王老板在销售过程中采用逐步减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，这样他在上周的买卖中共赚了多少钱？ 【答案】(1)星期五该农产品批发价格为每千克4元 (2)最高价格是每千克4元，最低价格是每千克3.5元 (3)王老板在上周的买卖中共赚了5050元 【思路引导】本题考查了农产品销售利润问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，浮动价格，收购成本，隐性成本，是解题的关键． （1）价格基准：周一的批发价为每千克3.4元，后续每天价格根据 “涨跌情况” 累积变化，计算逻辑为 “前一天价格 + 当日涨跌额” （2）先计算出每天的实际批发价，再对比筛选，对比所有价格：3.4（一）、3.7（二）、3.6（三）、3.8（四）、4.0（五）、3.5（六）最高价格为每千克 4.0 元（星期五），最低价格为每千克 3.4 元（上周一）； （3）利润核算公式：净利润=总销售额-总收购成本-总摊位管理费，需先明确关键数据． 【规范解答】（1）解：元． 所以星期五该农产品批发价格为每千克4元． （2）解：星期二的价格是元， 星期三的价格是元， 星期四的价格是元， 星期五的价格是4元， 星期六的价格是元． 所以最高价格是每千克4元，最低价格是每千克3.5元． （3）解： 元． 所以王老板在上周的买卖中共赚了5050元． 易错考点08：根据点在数轴的位置判断式子的正负 15．（2025七年级上·全国·专题练习）已知三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断①；②；③；④；正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴上的点的位置和数的关系，以及有理数大小比较，先根据在数轴上，右边的数总比左边的数大，得出，再由相反数、绝对值的定义以及有理数的加减法法则即可作出判断，解题的关键是熟练掌握正数大于，负数小于；负数的绝对值越大，这个数越小． 【规范解答】解：①由数轴上右边表示的数总大于左边表示的数， ∴，故结论①正确； ②∵，， ∴， ∴，故结论②错误； ③∵，，， ∴，故结论③错误； ④∵， ∴，故结论④正确， ∴正确的个数是个． 答案：B． 16．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）已知A，B，C三点对应的有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中数a，b互为相反数． (1)判断a，b，c的正负性； (2)若点A与点B相距8个单位长度，点A，C相距2个单位长度，则点A，B，C表示的数各是多少？ 【答案】(1)，， (2)点A表示的数是，点B表示的数是4，点C表示的数是 【思路引导】本题考查数轴、相反数的概念以及数轴上两点间的距离． （1）根据数轴上数的位置关系，即可判断a，b，c的正负性； （2）根据a，b互为相反数，且A与B相距8个单位长度，可求出a，b的值；根据A，C相距2个单位长度，即可求出c的值． 【规范解答】（1）解：∵a，b互为相反数， ∴，即，， 又∵表示数c的点在表示数a，b中点（即原点）的左边， ∴， 即，，． （2）解：∵a，b互为相反数， ∴在数轴上，表示a，b的两点到原点的距离相等， 又∵A与B相距8个单位长度， ∴A到原点的距离为， ∴，， ∵A，C相距2个单位长度， ∴在数轴上，A和C对应的数相差2， 又∵且， ∴， 即点A表示的数是，点B表示的数是4，点C表示的数是． 易错考点09：数轴上的翻折 17．（22-23七年级上·吉林·阶段练习）已知在纸面上有一数轴如图，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数； (2)在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A、B的其他字母表示），并写出这些点表示的数； (3)折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①10表示的点与数________表示的点重合； ②若数轴上M、N两点之间的距离为2018（点M在点N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数是多少？ 【答案】(1)点A表示的数为1，点B表示的数为 (2)见解析 (3)①；②点M表示的数为，点N表示的数为 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数： （1）根据数轴上点的位置即可得到答案； （2）根据数轴上两点距离计算公式得到与点A距离为2的点表示的数为或3，据此在数轴上表示出对应的点即可； （3）①先求出折叠中心为2，再根据与10重合的数到折叠中心的距离等于10到折叠中心的距离进行求解即可； ②根据题意可得点M和点N到折叠中心的距离都为1012，据此根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【规范解答】（1）解：由数轴可知，点A表示的数为1，点B表示的数为； （2）解：∵点A表示的数为1， ∴与点A距离为2的点表示的数为或3， 如图所示，点C和点D即为所求； （3）解：①∵折叠纸面，在数轴上表示的点与表示5的点重合， ∴折叠中心为， ∴数轴上表示10的点与表示的点重合， 故答案为：； ②∵数轴上M，N两点之间的距离为2018（点M在点N的左侧），且M，N两点经折叠后重合， ∴点M和点N到折叠中心的距离都为1009， ∴点M表示的数为，点N表示的数为． 18．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，数轴上点表示的数是，解答下面的问题； (1)点表示的数为______． (2)与点的距离为4的点表示的数为______； (3)若将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则点与数______表示的点重合； (4)若数轴上、两点之间的距离为2018（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：：______：______． 【答案】(1)1 (2)5或 (3)0.5 (4)、1008 【思路引导】本题考查了数轴，关键是利用数轴，数形结合求出答案，注意不要漏解． （1）观察数轴，直接得出结论； （2）观察数轴，直接得出结论； （3）A点与表示的点相距4个单位，其对称点为，由此得出与B点重合的点； （4）对称点为，M点在对称点左侧，离对称点个单位，N点在对称点右侧，离对称点1009个单位，由此求出M、N两点表示的数． 【规范解答】（1）解：由图知点A表示的数为1， 故答案为：1； （2）解：与点A的距离为4的点表示的数是：或5． 故答案为：5或； （3）解：则A点表示的数与重合，则对称点表示的数是，则数B表示的点关于表示的点的对称点是0.5，即B点与表示数0.5的点重合． 故答案为：0.5； （4）解：M、N两点经过（3）中折叠后相互重合知：M与N的中点表示的数为， ∵M、N的距离为2018， ∴M到中点的距离为1009，N到中点的距离为1009， ∵M在N的左侧， ∴M表示的数为，N表示的数为． 故答案为：，1008． 易错考点10：有理数的乘方运算 19．（24-25七年级上·广东中山·期中）有以下6个数：，，，，0，． (1)在数轴上表示以上各数； (2)用“<”号把它们连接起来． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，正确画出数轴是解题的关键． （1）化简有理数，再在数轴上表示即可； （2）根据数轴即可求解； 【规范解答】（1）解：，，，，0，， 数轴表示如下： （2）解：由数轴可得． 20．（25-26七年级上·全国·阶段练习）已知，互为相反数，、互为倒数，，求？请写出解答过程． 【答案】，见解析． 【思路引导】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值的概念，平方的概念，由，互为相反数，、互为倒数，，则，，，然后代入求解即可． 【规范解答】解：∵，互为相反数，、互为倒数，， ∴，，， ∴原式 ． 易错考点11：有理数乘方逆运算 21．（24-25七年级上·福建三明·期中）以下叙述正确的是（   ） A．是一个负数 B．若，则 C．若一个数的平方是16，则这个数是4 D．在“0，，”三个数中，不是有理数 【答案】D 【思路引导】本题考查了相反数、绝对值、平方的定义、有理数的分类，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据相反数、绝对值、平方的定义、有理数的分类，对选项逐个分析判断即可． 【规范解答】解：A、当时，是一个正数，故此选项叙述错误，不符合题意； B、若，则或，故此选项叙述错误，不符合题意； C、若一个数的平方是16，则这个数是4或，故此选项叙述错误，不符合题意； D、在“0，，”三个数中，不是有理数，故此选项叙述正确，符合题意； 故选：D． 22．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】本题考查了有理数的乘方运算，读懂题意掌握运算法则是解题关键． （1）根据规定，进行求解即可； （2）先根据规定，求出，再进行加法运算即可； 【规范解答】（1）解：因为，所以． 故答案为： （2）因为，所以． 又因为， 所以． 所以． 易错考点12：乘方运算的符号规律 23．（21-22七年级上·广西桂林·阶段练习）将，，从小到大排列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据乘方法则计算各数，根据有理数大小比较的法则比较即可． 本题考查的是有理数的大小比较、有理数的乘方，掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小是解题的关键． 【规范解答】解：，，， ， ． 故选：B． 24．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【规范解答】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 易错考点13：乘方的应用 25．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图，从卫生纸的包装纸上得到以下信息：300格，每格，如图①；用尺子量出整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，如图②．求卫生纸的厚度．（取3） 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的乘方的应用，有理数的乘除的混合应用，圆柱的体积，正确掌握相关性质是解题的关键． 先结合整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，且运用圆柱的体积公式进行列式计算可得整卷卫生纸的体积，再根据图中的数据信息进行列式计算，即可作答． 【规范解答】解：∵整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和， ∴整卷卫生纸的体积， 则卫生纸的厚度． 26．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）阅读并解决下列问题： (1)验证：_______，_______． (2)猜想_______，_______，_______……（用“>”或“<”或“=”填空） (3)通过验证，归纳得出：_______，_______． (4)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)，， (3)， (4) 【思路引导】本题考查了乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）分别计算和即可验证； （2）根据上面的验证计算即可； （3）根据上面的验证计算即可； （4）根据上面的验证计算即可． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：1，1； （2）解：猜想：，，， 理由：； ； ； 故答案为：，，； （3）解：依题意得：，； 验证：； ； 故答案为：，； （4）解：原式 ． 易错考点14：用科学记数法表示绝对值大于1的数 27．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【规范解答】解：384000用科学记数法表示为． 故选：C． 28．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）截至年月日，建湖九龙口在中秋国庆假期共接待游客约人，其中用科学记数法表示为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，根据科学记数法的表示方法确定即可． 【规范解答】解：． 故答案为： ． 易错考点15：将用科学记数法表示的数变回原数 29．（25-26七年级上·全国·课后作业），全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有 个零． 【答案】6 【思路引导】本题主要考查了科学记数法表示绝对值较大的数，解题的关键是对科学记数法表示的数进行还原． 对科学记数法表示的数进行还原即可． 【规范解答】解：，即原数7的后面有6个0． 故答案为：6． 30．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一．若每人每天浪费水L，那么万人每天浪费的水就有L，那么的原数为（　　） A．3200000 B．320000 C．32000 D．3200 【答案】B 【思路引导】本题考查科学记数法，理解科学记数法是正确解答的前提． 的原数就是，计算出结果即可． 【规范解答】解：， 故选：B． 易错考点16：程序流程图与有理数计算 31．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得到1．如果自然数n恰好经过7步运算可得到1，则符合条件的n的值是（   ） A．3，15，21，128 B．3，15，20，128 C．3，20，21，128 D．3，20，31，128 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数混合计算．从最后一步向前进行计算：因为计算的结果应是奇数或偶数，所以分数不符合题意，因为最终结果是1，所以计算中结果是1，不符合题意，根据题中的运算，计算的结果是奇数，应是乘以3加上1得到的，结果是偶数，则是除以2得到的，根据上述的要求来进行解答即可． 【规范解答】解：第7步运算前的数：；（不符合题意）． 第6步运算前的数：；（不符合题意）． 第5步运算前的数：；（不符合题意）． 第4步运算前的数：；（不符合题意）． 第3步运算前的数：；． 第2步运算前的数：；（不符合题意）；；（不符合题意）． 第1步运算前的数：；；；． 故选：C． 32．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图所示是计算机的某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【思路引导】本题是有理数的混合运算，注意运算顺序和计算程序，难度不大，关键是结果是否满足小于，才是输出结果． 根据计算程序先将代入结果为，不小于，所以继续从头代入；当时，代入结果为，不小于，继续代入；当时，代入结果为，小于，所以结果为． 【规范解答】解：由题意得：， 则， 则， ∴输出的结果是， 故答案为：． 易错考点17：算“24”点 33．（25-26七年级上·福建宁德·开学考试）下面4张扑克牌上的点数，经过怎样的计算能得到24（每张牌都要用且只能用一次），可以列出综合算式是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的四则运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键，通过所给的数字尝试调整，凑成得数是24的算式，即可完成解答，注意可以使用括号． 【规范解答】解：根据题意． 故答案为：． 34．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数     ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出         ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)① 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用点游戏规律列出算式即可； （2）将这四个数字的组成的算式列出来即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意可得：，， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故这张牌还能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数， 故答案为：①． 易错考点18：含乘方的有理数混合运算 35．（25-26七年级上·全国·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算； （2）先计算乘方，再将除法化为乘法，利用乘法分配律计算，最后计算加减； （3）利用乘法分配律计算． 【规范解答】（1）解：； （2）解：原式 ； （3）解： ． 36．（2025七年级上·内蒙古·专题练习）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)8 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）按照有理数加减法运算法则计算即可； （2）用乘法分配律先简便运算，再算加减法即可； （3）用加法交换律和结合律将能凑整的先相加进行简便运算即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减法； （5）先算乘方，化简绝对值，再算乘除，最后算加减法； 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ； （5）解：， ， ， ． 易错考点19：求一个数的近似数 37．（24-25七年级上·浙江温州·期中）一个数精确到百分位是，那么这个数最小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了近似数的知识，理解并掌握“四舍五入”规则是解题关键．小数精确到百分位，要看千分位上的数字，根据四舍五入法的原则，若千分位上的数字大于等于5，就向百分位进1，若千分位上的数字小于5，就舍去千分位及其后面数位上的数，据此解答即可． 【规范解答】解：一个数精确到百分位是，那么这个数最小为， 故选：． 38．（25-26七年级上·四川绵阳·开学考试）我国的领土面积约为9596960平方千米，按四舍五入精确到万位，则我国的领土面积约为（   ） A．9597万平方千米 B．959万平方千米 C．960万平方千米 D．96万平方千米 【答案】C 【思路引导】本题考查近似数和有效数字，解题的关键是精确到哪一位，即对下一位数字进行四舍五入．题目要求精确到万位，则对千位进行四舍五入即可． 【规范解答】解：万 故选C． 易错考点20：求近似数的精确度 39．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）下列近似数有3个有效数字的是（   ）． A． B．万 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了有效数字，需要注意，用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关． 根据有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字，对各选项分析判断后利用排除法． 【规范解答】A、有3、3共2个有效数字，故本选项错误； B、万有2、0共2个有效数字，故本选项错误； C、有1、6、0共3个有效数字，故本选项正确； D、有1、6共2个有效数字，故本选项错误． 故选：C． 40．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）下列由四舍五入得到的近似数，说法正确的是（　　） A．0.720精确到百分位 B．2.90精确到0.01 C．3.6精确到十位 D．5.0精确到个位 【答案】B 【思路引导】本题考查了近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．根据近似数的精确度逐项分析判断即可． 【规范解答】A、0.720精确到千分位，选项说法错误，故本选项不符合题意； B、2.90精确到0.01，选项说法正确，故本选项符合题意； C、3.6精确到十分位，选项说法错误，故本选项不符合题意； D、5.0精确到十分位，选项说法错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 易错考点21：近似数推断取值范围 41．（25-26七年级上·广西柳州·开学考试）已知是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是，这个两位小数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】要考虑是一个两位数的近似数，有两种情况∶“五入”得到的最小是，”四舍”得到的最大是，由此解答问题即可． 此题考查了近似数，取一个数的近似数，有两种情况∶“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题的要求灵活掌握解答方法． 【规范解答】 解：∵是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是， ∴这个两位小数最小是；最大是； ∴这个两位小数的取值范围是， 故选：B． 42．（2025七年级下·江苏无锡·专题练习）计算11个自然数的平均数（保留两位小数），算出，最后一位错了，正确的平均数是多少？ 【答案】 【思路引导】本题考查了近似数，解题的关键是先结合题意，推导出这11个数的和，进而根据平均数的含义，求出正确的答案．因为自然数都是整数，所以这个自然数的和一定是一个整数；因为小明计算出的答数是．老师说最后一位数字错了，其它的数字都对，因此正确的答案应在和之间；又因为，，所以可以知道这个自然数的和是在和之间，由此可以确定一定是；用除以即可得到答案． 【规范解答】解：自然数都是整数，所以这个自然数的和一定是一个整数； 又因为，， 所以可以知道这个自然数的和一定是， ； 答：正确答案应该是． 学科网（北京）股份有限公司 $