1.4.2-1用空间向量研究距离问题 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦用空间向量研究距离问题，系统涵盖点到直线、点到平面、平行直线及平行平面的距离求法。通过复习空间向量的垂直平行表示、投影向量和两点距离公式搭建支架，以问题驱动引导学生从已有知识自然过渡到新知探究。 其亮点在于以问题链串联探究过程，如类比点到直线距离推导平行直线距离，结合正方体实例用投影向量、勾股定理及法向量推导公式，体现数学思维的推理与探究，数学语言的精确表达。课堂小结提炼“三步曲”步骤，助力学生构建知识体系，学生能提升空间观念和运算能力，教师可高效开展教学。

1.4.2-1 用空间向量研究距离问题 1 新课程标准解读 核心素养 1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导． 2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想． 能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算) 空间垂直、平行关系的向量表示 方向向量 法向量 距离问题 角度 问题 复习回顾 3 空间中距离 点 两点间的距离 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两个平行平面间的距离 直线 平面 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面，两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。那么如何用空间向量解决这些问题呢？ 探究新知 如何用向量求解距离问题？ 4 1. 求模公式 2. 投影向量 知识回顾 3. 空间两点之间的距离 设 ，则向量 在直线l上的投影向量 如图，向量 在直线l上的投影向量为 ，则△APQ是直角三角形，因为A，P都是定点，所以 与 的夹角∠PAQ都是确定的. 于是可求 再利用勾股定理，可求出点P到直线l的距离PQ. 问题1 已知直线l 的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如何利用这些条件求点P到直线l的距离? • • 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 新知探究 设A是直线l上一个定点，是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为： 求点P到直线l的距离用了勾股定理 5. 点到直线的距离 新知探究 设A是直线l上一个定点，是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为： 问题2 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. P 平面外一点到平面的距离等于连接此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值. 6. 点到平面的距离 新知探究 3. 向量法. 立体几何中点到平面距离的求法： 1. 直接法； 2. 等体积法； 问题3 求点P到平面的距离用了投影 知识要点2 6. 点到平面的距离 新知探究 问题4 类比点到平面的距离的求法，如何求直线与平面之间的距离？ 直线和平面间的距离： 如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P 到平面α的距离求解. 先判断直线与平面平行 知识要点2 6. 点到平面的距离 新知探究 问题5 类比点到平面的距离的求法，如何求两个平面之间的距离？ 两个平行平面之间的距离 如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P 到平面β的距离求解. 先判断平面与平面平行 知识要点2 （1） 点到直线的距离 （2） 点到平面的距离 课堂小结 距离公式： 例题1（课本P34 例6）如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点. （1）求点B到直线AC1的距离； 例题讲解 用向量法求点P到直线l的距离的步骤： (3) 利用点到直线的距离公式即可求出点到平面的距离d． (2)求出所求点P与直线l上定点A所构成的向量 ； (1) 求出该直线l的一个方向向量 ； x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 解： 例题讲解 例题1（课本P34 例6）如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点. （1）求点B到直线AC1的距离； （2）求直线F到平面AEC1的距离. 例题讲解 先判断直线F与平面AEC1平行 点F到平面AEC1的距离 用向量法求一个点P到平面α的距离的步骤： (3) 利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离d． (1) 求出该平面α的一个法向量 ； (2) 找出从点P出发的平面的任一条斜线段对应的向量 ； x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 解： 例题讲解 1、本节课我们采用的研究方法是什么？ 空间向量 投影向量 直线的方向向量 勾股定理 平面的法向量 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两平行平面间的距离 立体几何 距离问题 课堂小结 2、用向量方法解决距离问题的“三步曲”： 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①建立空间直角坐标系，求所需向量坐标 距离的向量计算公式 ③得到所求距离 16 （1） 点到直线的距离 （2） 点到平面的距离 课堂小结 3、距离公式： 课本练习 1. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 点A到平面B1C的距离等于_____； 直线DC到平面AB1的距离等于_______ ； 平面DA1到平面CB1的距离等于_______. 1 1 1 B A A1 B1 C1 D1 C D x y z 课后练习 课本练习 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; (2) 求直线FC1到直线AE的距离; (3) 求点A1到平面AB1E的距离; (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离. B A A1 B1 C1 D1 C D E F x y z 课后练习 课本练习 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; B A A1 B1 C1 D1 C D E F M 几何法 课后练习 课本练习 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (2) 求直线FC1到直线AE的距离; x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 课后练习 课本练习 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.(3) 求点A1到平面AB1E的距离; x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 课后练习 课本练习 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 课后练习 课本练习 3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D 课后练习 u1＝λu2 u1⊥n1 u1·n1＝0 n1∥n2 n1＝λn2 u1⊥u2 u1·u2＝0 u1∥n1 n1⊥n2 n1·n2＝0 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． (1)线线平行：l1∥l2⇔___________ ⇔∃λ∈R，使得___________． (2)线面平行：l1∥α⇔___________ ⇔___________． (3)面面平行：α∥β ⇔___________ ⇔∃λ∈R，使得___________． (4)线线垂直：l1⊥l2⇔___________ ⇔___________． (5)线面垂直：l1⊥α⇔___________ ⇔∃λ∈R，使得u1＝λn1. (6)面面垂直：α⊥β ⇔___________ ⇔___________． u1∥u2 $