4.2 指数函数 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、图象性质及应用，通过A、B景区游客增长案例引入，对比线性与非线性增长，结合碳14衰减实例，从数据分析抽象出指数增长与衰减规律，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过增长率推导、单调性证明发展数学思维，用例题变式与图表分析强化数学语言表达。学生能建立模型意识，教师可借助丰富实例提升教学效率，助力核心素养落地。

高中《数学》必修第一册 2025 人教A版 第四章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.理解指数函数的概念与意义． 2.理解指数函数增长变化迅速的特点. 3.培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养. 重点：理解指数函数的概念与意义. 难点：理解指数函数增长变化迅速的特点. 学 习 目 标 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 细胞的分裂 新 知 导 入 一张纸很普通？科学家：将它对折103次，宇宙都无法装下这张纸. 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 问题一 新 知 导 入 问题1. 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A,B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.下表给出了A,B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量： 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 分析：为了便于观察，可以先根据表格中数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连接起来. 人次/万次 1300 1100 900 700 500 300 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013 2015 时间/年 人次/万次 1300 1100 900 700 500 300 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013 2015 时间/年 A地景区 B地景区 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 观察图象和表格，可以发现，A,B景区采取不同措施后的15年游客人次变化情况：A景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增长量大致相等（约为10万次）；B景区的游客人次则是非线性增长，年增长量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律. 年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.能否通过对B景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？ 试一试：从2002年起，计算一下B景区的游客人次的年增长率： 2002年的年增长率为： 2003年的年增长率为： 2015年的年增长率为： ··· ··· ··· ··· 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 总结：B景区的游客人次的年增长率都约为0.11.增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长，因此，B景区的游客人次近似于指数增长. B景区：2001年的游客人次为278万； 1年后，即2002年的游客人次约为278+278×0.11=278(1+0.11)； 2年后，即2003年的游客人次约为278(1+0.11)+278(1+0.11)×0.11=278(1+0.11)²； 3年后，即2004年的游客人次约为278(1+0.11)²+278(1+0.11)²×0.11=278(1+0.11)³； ··· ··· ··· ··· 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 x年后，游客人次约为278(1+0.11)x= 278×1.11x ，即经过x年后B景区的游客 如果用字母a代替1.11，则得“ ”形式. y=1.11x ，x∈[0，+∞) 将1.11x记作y，于是得到： 根据函数定义，这是一个以指数x为自变量，y为因变量的函数. 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 问题二 新 知 导 入 问题2.良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚镇，1936年首次发现．这里的巨型城址，面积近300万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．考古学家利用遗址中遗存物碳14的残留量测定，古城存在时期为公元前3300年～前2500年．你知道考古学家在测定遗址年代时是怎样用碳14的残留量测定的么？ 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 分析：（1）设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，我们把刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，那么 死亡2年后，生物体内碳14的含量为(1-p)-(1-p)·p=(1-p)²； 死亡3年后，生物体内碳14的含量为(1-p)²-(1-p)²·p=(1-p)³； ··· ··· ··· ··· 死亡5730年后，生物体内碳14的含量为(1-p)5730 ； 死亡x年后，生物体内碳14的含量为(1-p)x . 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 （2）根据已知， ，从而 ， 所以 （是个常数）. 设生物体内碳14含量为y，死亡年数为x， 则 即 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 总结：根据函数定义，这是一个以指数x（生物体死亡年数）为自变量，生物体内碳14含量y为因变量的函数.像这样，衰减率（减少率）为常数的变化方式，我们称为指数衰减，因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减. 如果用字母a代替 ，则得“ ”形式. 综上： y=1.11x ，x∈[0，+∞) 和 的函数式模板： 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 一 、指数函数的概念 本 节 新 知 ①底数a为常数，a>0且a≠1；系数为1； ②指数x为自变量，定义域为___. 1.指数函数：形如y=ax(a>0且a≠1)的函数. ③形如y=k·ax(k∈R且k≠1,a>0且a≠1)的函数属于指数型函数. 如：y=－4x，y=3x+2=9·3x， 倍增模型 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 13 问题：为什么要规定a>0且a≠1？ 一 、指数函数的概念 本 节 新 知 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 14 一 、指数函数的概念 新 知 运 用 [例1]若函数f (x)=(a2－7a+7)ax是指数函数，求实数a的值. 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 一 、指数函数的概念 新 知 运 用 解：设 =9， 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 16 一 、指数函数的概念（倍增模型） 新 知 运 用 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的图象及性质 本 节 新 知 类比研究幂函数性质的过程和方法，研究指数函数.在同一坐标系下画出函数 的图象进行比较，它们有什么关系？ -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的图象及性质 本 节 新 知 由此可知: 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． 函数 图象上任意一点P(x,y)关于y轴的对称点P1(-x,y)都在函数 的图象上. 根据这种对称性，可以利用一个函数的图象，画另一个函数的图象. P1 P 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 思考：取底数a为 ，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数图象,观察图象并概括出指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质. 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 0<a<1 a>1 图象 定义域 值域 性质 特点     过点(0,1)即x＝0时，y＝1 减函数 增函数 y轴右侧的图象，底数越大图象越高（底大图高） 图象下端与x轴无限接近，但永不相交 都是下凸的函数 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数应用——求定点 新 知 运 用 (-5,2) (2021,1) 3 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的应用——比较大小 新 知 运 用 m<2 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的应用——比较大小 新 知 运 用 < > 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的应用——比较大小 新 知 运 用 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 (4)画图也行 二 、指数函数的应用——比较大小 新 知 运 用 A 关键1：化同底 关键2：化同指数 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的图象及性质——图象问题 新 知 运 用 [例3]指数函数①f(x)=px, ②g(x)=qx满足0<p<q<1, 则它们的图像是(　　) [变式]如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx, (4)y=dx的图像，则a,b,c,d的大小关系是(　　) A.0<a<b<1<c<d B.0<b<a<1<d<c C.0<a<b<1<d<c C B 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的应用——图象问题(定点位置) 新 知 运 用 [例4]函数y=2-|x|的图像 大致是(　　) C y=2x－1+1 y=21－x A =2·2－x x=0，y=2·20=2>1 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的应用——图象问题 新 知 运 用 0<b<1 (b=0或b≥1) 改:1个公共点 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的应用——图象问题 新 知 运 用 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的应用——求定义域 新 知 运 用 解指数不等式: 化同底+单调性 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的应用——求值域 新 知 运 用 (定义域)→指数范围→单调性 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的应用——求值域 新 知 运 用 (定义域)→指数范围→单调性 换元法 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的应用——求值域 新 知 运 用 换元法 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的应用——复合函数的单调性 新 知 运 用 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的应用——复合函数的单调性 新 知 运 用 x↑,u↑ u↑,y↓ x↑,y↓ 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的应用——判断奇偶性 新 知 运 用 (奇函数) 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 二 、指数函数的应用——解指数不等式 新 知 运 用 方法： 化同底+函数单调性 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 THANK YOU 高中《数学》必修第一册 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 $