精品解析：甘肃省酒泉市金塔县中学2025-2026学年高二上学期阶段测试（一）（9月）数学试题

阶段测试卷（一） 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的前n项和，则（ ） A. 140 B. 120 C. 40 D. 52 2. 数列，，，，，的第8项是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知数列通项公式是，则下列各数是的项的是（ ） A. 18 B. 20 C. 32 D. 66 4. 记为等差数列的前n项和.若则（ ） A. B. C. D. 5. ，则数列前项和为（ ） A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 6. 已知数列满足：，数列满足，则数列的前50项的和为（ ） A. B. C. D. 50 7. 已知各项均为整数的数列满足：对任意的，．若，，，则正整数m的最大值为（ ） A. 63 B. 64 C. 65 D. 66 8. 记数列的前项和为，且，则下列选项错误的是（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列是公比为4的等比数列 D. 数列前2025项和为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在等差数列中，公差，为其前项和．若，则下列说法正确的有（ ） A B. C. D. 若，则的最小值为6 10. 记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知为数列的前项和，，若数列既是等差数列，又是等比数列，则下列说法正确的有（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 为递增数列 D. 数列的最大项是第3项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式________． 13. 记为等差数列的前n项和，若，，则________. 14. 已知为数列的前项和，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 16. 已知数列是等差数列，其前项和，数列是等比数列，且，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知各项均不为0的数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若对于任意成立，求实数的取值范围． 18. 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 19. 无穷数列的各项按如下规律排列：，数列的前项和为． （1）求． （2）若数列的各项为，求数列的前项和． （3）是否存在正整数，使得，成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段测试卷（一） 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的前n项和，则（ ） A. 140 B. 120 C. 40 D. 52 【答案】D 【解析】 【分析】利用与的关系即可求解. 【详解】由，得. 故选：D 2. 数列，，，，，的第8项是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用观察法分别写出分子和分母通项公式． 【详解】重写数列的前5项，，，，， 通过观察得该数列通项公式为，， 所以第8项为． 故选：B． 3. 已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（ ） A. 18 B. 20 C. 32 D. 66 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知当是64的因数时，是整数，计算依次判断即可. 【详解】因为， 所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数， 当或时，，故D错误； 当或时，，故C错误； 当或时，，故B正确； 当时，，故A错误． 故选：B． 4. 记为等差数列的前n项和.若则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 5. ，则数列的前项和为（ ） A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 6. 已知数列满足：，数列满足，则数列的前50项的和为（ ） A. B. C. D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】由得，令，即，进而求得，利用累加法即可求，即可得，最后利用裂项相消法即可求解. 【详解】由有，令，则， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，故， 即，故 ，当时，符合题意，即. 又由有， 设数列的前项和为，. 故选：A. 7. 已知各项均为整数的数列满足：对任意的，．若，，，则正整数m的最大值为（ ） A. 63 B. 64 C. 65 D. 66 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，然后可知，计算即可. 【详解】由题可知：， 则， 因为，且， 所以， 当时，；当时，. 所以正整数m的最大值为64. 故选：B. 8. 记数列的前项和为，且，则下列选项错误的是（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列是公比为4的等比数列 D. 数列的前2025项和为 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的前项和求出，再结合等差数列、等比数列定义及并项求和法逐项判断. 【详解】由，时，得，而满足上式， 因此数列的通项公式为， 对于A，，A正确； 对于B，，则，所以数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，，则，所以数列是公比为4的等比数列，C正确； 对于D，令，，数列前2025项和为 ，D正确. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在等差数列中，公差，为其前项和．若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 若，则的最小值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量计算即可得通项公式，从而可判断各个选项. 【详解】由等差数列的性质及前项和公式，得， 因为，所以，即，所以． 所以． 因为，所以，解得或． 因为，所以，故A正确． ，故B错误． ，故C正确． 因为，所以当时，． 因为，所以当时，．故D正确． 故选：ACD． 10. 记为等比数列前n项和，为的公比，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 11. 已知为数列的前项和，，若数列既是等差数列，又是等比数列，则下列说法正确的有（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 为递增数列 D. 数列的最大项是第3项 【答案】BC 【解析】 【分析】先由数列既是等差数列，又是等比数列可得，进而由与的关系可求与；由与的通项公式可判断A与B选项；结合指数函数的单调性可判断C选项；令，假设数列的第项最大，且利用，解不等式可求最大项，即判断D选项. 【详解】令，，设等差数列的公差为， 又因为是等比数列，所以，即，解得， 于是. 当时，，得， 即，又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，显然也符合，于是，. 对于A：是等比数列，故A错误 对于B：因为，所以是各项均为的常数列， 于是是公比为1的等比数列，故B正确； 对于C：由指数函数的单调性可知，数列为递增数列，故C正确； 对于D：，假设数列的第项最大， 则，即，解得，因为， 所以或，即数列的第3项和第4项相等且最大，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式________． 【答案】 【解析】 【分析】由数列递推式，利用构造法得为等比数列，再根据等比数列通项公式求解即可. 【详解】， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列， ， 故答案为：. 13. 记为等差数列的前n项和，若，，则________. 【答案】95 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 14. 已知为数列的前项和，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用与的关系先判断数列是从第2项开始，是首项为3，公比为2的等比数列，进而利用等比数列的前项公式求解即可；还有直接把用表示出来，利用等比数列的概念求解即可. 【详解】解法1：因为，所以当时，； 当时，，所以，得， 所以数列从第2项开始，是首项为3，公比为2的等比数列． 所以当时，； 当时，，满足上式，所以． 解法2：由，得，又， 所以是首项为3，公比为2的等比数列，得， 显然也符合，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【小问1详解】 因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. 小问2详解】 由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 16. 已知数列是等差数列，其前项和，数列是等比数列，且，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的基本公式建立方程，即可求解； （2）通过分组求和、错位相减法和裂项相消法分别计算奇数项和偶数项的和，相加即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为． 由，得，即． 又因为，所以，解得，所以． 由，得．又因为，所以，解得， 所以． 【小问2详解】 当为奇数时，， 记，则 ①， ②． ①—②得 ， 所以． 当为偶数时，， 记，则 ． 所以． 17. 已知各项均不为0的数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若对于任意成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到时，，两式相减得到，得到及均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）求得，证得为恒成立，设，求得数列的单调性和最大值，即可求解. 【小问1详解】 解：因为数列的前项和为，且，即， 当时，可得， 两式相减得， 因为，故， 所以及均为公差为4的等差数列： 当时，由及，解得， 所以，， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 因为对于任意成立，所以恒成立， 设，则， 当，即时， 当，即时， 所以，故，所以， 即实数的取值范围为. 18. 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【小问1详解】 ，，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . 【小问2详解】 为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 19. 无穷数列的各项按如下规律排列：，数列的前项和为． （1）求． （2）若数列的各项为，求数列的前项和． （3）是否存在正整数，使得，成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题设可得，利用，即可求解； （2）根据题设可得，再利用等差数列的前项和公式，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果得，再结合条件，即可求解. 【小问1详解】 由数列各项的排列规律，把数列分组，如下： 第1组：； 第2组：； 第3组：； 第4组：； … 第组：； … 第组有项，各项的分母均为，分子依次是， 前组共有项，且， 令，解得． 当时，，且，所以． 【小问2详解】 由（1）的分组及题意可知，数列的第项是的第组项的和． ， 当时，， 均符合上式，所以，又为常数， 所以数列是首项、公差均为的等差数列， 所以数列的前项和． 【小问3详解】 由（2）可知，数列的前项和，即数列的前项和， 所以． 令，解得；令，解得． 当时，；当时，． 又，则， 所以存在，使得，成立，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $