专题01 三角形 20个题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题01 三角形 题型1 组成三角形的条件 题型11 两个斜边一半（常考点） 题型2 添加条件证全等（常考点） 题型12 三角形中的三种角平分线（难点） 题型3 全等三角形的性质（常考点） 题型13 三角形中的三种折叠 题型4 三边关系的应用 题型14 全等三角形的判定（常考点） 题型5 中线平分面积（常考点） 题型15 一线三等角（重点） 题型6 最值问题（难点） 题型16 手拉手模型（重点） 题型7 角平分线的性质与判定（常考点） 题型17 全等三角形动点求t（难点） 题型8 垂直平分线的性质与判定 题型18 尺规作图（含无刻度） 题型9 等腰三角形的性质与判定（重点） 题型19 倍长中线法（难点） 题型10等边三角形的性质与判定（重点） 题型20 等腰三角形的新定义（难点） 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 组成三角形的条件 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．2，5，7 B．6，8，4 C．3，4，8 D．7，8，16 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4，4，10 3．下列各组线段为边，能组成三角形的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 题型二 添加条件证全等（常考点） 4．如图：，要使，则只要（    ） A． B． C． D． 5．如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，欲证，若，请再添加一个已知条件是 ． 题型三 全等三角形的性质（常考点） 7．如图，已知点在上，点在上，，，，则的长为（    ） A．7 B．5 C．12 D．6 8．如图，，则的度数是（     ）   A． B． C． D． 9．如图，，若，，则的长为 ． 题型四 三边关系的应用 10．一个三角形的周长是偶数，其中的两条边长分别是和，满足上述条件的三角形（三角形的边长均为整数）的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为整数，则这样的三角形的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 12．若是三角形的三边，化简： ． 题型五 中线平分面积（常考点） 13．如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．如图所示， 在中， 已知点D， E， F分别是的中点，且 则的值为（  ） A．15 B．16 C．17 D．18 15．如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是 ． 题型六 最值问题（难点） 16．如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 17．如图，已知，是内部的一点，且，点，分别是射线和射线上的动点，则的周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 18．如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为 ． 题型七 角平分线的性质与判定（常考点） 19．如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，若的面积为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 20．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是 ． 21．如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线；求证：平分． 题型八 垂直平分线的性质与判定 22．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 23．如图，点D、F分别为的边、的中点，，，的周长为16，，则 ． 24．如图，为的角平分线，点、分别在、上，且，连接交于点．求证：垂直平分． 题型九 等腰三角形的性质与判定（重点） 25．如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、，若的周长为，则的长是（ ） A． B． C． D． 26．如图，在中，D为边上一点，且平分，过A作于点E．若，，，则 ．    27．如图，在中，，其中、边上的高、相交于点． (1)求证：； (2)请判断是等腰三角形吗？并说明理由． 题型十 等边三角形的性质与判定（重点） 28．如图，中，，以、为边在的外侧作等边和等边，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ． 30．如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，，两线相交于点 (1)求的度数； (2)如图2，连接， ①求证：是的平分线； ②若，，求的长度． 题型十一 两个斜边一半（常考点） 31．如图，在中，，点D在上，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 32．如图，和是一对三角板，点、、共线，点是的中点，点是的中点，连接、、，若，则的度数为 度． 33．【问题背景】我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图①，在中，，则． 【探究结论】小明同学对以上结论作了进一步研究． (1)如图①，作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为____________； (2)如图②，是的中线，D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由； (3)当D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可． 题型十二 三角形中的三种角平分线（难点） 34．如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（    ）度 A．50 B．55 C．80 D．65 35．如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为 度． 36．（1）如图1，在中，、的平分线，相交于点F，，，求的度数； （2）如图2，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若， ①求的度数； ②求的度数． 题型十三 三角形中的三种折叠 37．如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 38．如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在点，若，则的度数为 度． 39．如图，在中，，，，E为的中点，动点D在上从点A向点B运动，将沿翻折，使点A落在点处． (1)如图，当时，求的度数； (2)若与点C重合，证明：； (3)点D从点A运动到点B的过程中，探究与的数量关系，并说明理由． 题型十四 全等三角形的判定（常考点） 40．如图，在与中，点、、、在一条直线上，与相等吗？为什么？ 41．如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． (1)求证：； (2)与有何位置关系？请说明理由． 42．在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 题型十五 一线三等角（重点） 43．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 44．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 45．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到.进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；    [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 题型十六 手拉手模型（重点） 46．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，分别是底边，连接．求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断线段之间的数量关系并说明理由． 47．综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：__________________； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 48．阅读与思考 等腰直角三角形的“手拉手” 如图，在共顶点A的等腰直角和等腰直角中，，，，连接相交于点F，交于点H，交于点G． (1)求证：； (2)结合（1）的结论，利用三角形三个内角的和等于，在与中，先确定的度数；过点A作，垂足为M，，垂足为N，再证明平分；最后求出的度数．请根据以上的思路，写出求度数的过程． 题型十七 全等三角形动点求t（难点） 49．如图（1），，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动．它们运动的时间为 (当点P运动结束时，点Q运动随之结束)． (1)若P、Q的运动速度相同，当时．判断此时线段和线段的位置关系，并说明理由； (2)如图（2），若“，”改为“”．点Q的运动速度为，其它条件不变．当点P、Q运动到何处时有与全等？求出相应的x的值． 50．如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动．设运动时间为． (1)如图①，连接、，当时，求的值； (2)如图②，当点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当、两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求和的值； (3)如图③，当（2）中的点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请求出此时的值． 51．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)　　．（用的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型十八 尺规作图（含无刻度） 52．如图，已知． (1)请用尺规作图法作出的垂直平分线，垂足为D，交于点E； (2)请用尺规作图法作出的平分线，交于点F； (3)请用尺规作图法在上找一点P，使的周长最小．（注意：保留作图痕迹，不写作法） 53．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点平移到点，点，分别是，的对应点． (1)请画出平移后的三角形，并求三角形的面积___________； (2)在上找一点，使平分三角形的面积； (3)在网格中找出格点，使，这样的格点有___________个． 54．如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1单位，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A、B、C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成画图，并回答问题． (1)直接写出三角形的面积_______； (2)在图1中： ①作的高，作中线； ②在高上画点P，连接，，使； (3)在图2中，M为上任意一点，在上画点N，使． 题型十九 倍长中线法（难点） 55．阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． (1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______． (2)解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证． 56．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 57．【发现问题】 （1）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接是的中点，试说明： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，请求出的面积． 题型二十 等腰三角形的新定义（难点） 58．我们定义：有一条对角线平分一个角，且有一组对角互补的凸四边形叫做“分补四边形”． 概念理解 （1）根据我们所学的四边形知识，举一个分补四边形的例子：___________；如图1正六边形中，连接，请写出图中所有的分补四边形___________； 性质探索 （2）如图2，在分补四边形中，，平分，且． 求证：； 探究运用 （3）如图3，在中，，分别在上取点P，Q，将沿着翻折，使点B的对应点为当点E落在内部时，是否存在四边形为分补四边形，且的情况？如果存在；求的长；如果不存在，说明理由．    59．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是、的中点，连接，求证：． (3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 60．小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． $专题01 三角形 题型1 组成三角形的条件 题型11 两个斜边一半（常考点） 题型2 添加条件证全等（常考点） 题型12 三角形中的三种角平分线（难点） 题型3 全等三角形的性质（常考点） 题型13 三角形中的三种折叠 题型4 三边关系的应用 题型14 全等三角形的判定（常考点） 题型5 中线平分面积（常考点） 题型15 一线三等角（重点） 题型6 最值问题（难点） 题型16 手拉手模型（重点） 题型7 角平分线的性质与判定（常考点） 题型17 全等三角形动点求t（难点） 题型8 垂直平分线的性质与判定 题型18 尺规作图（含无刻度） 题型9 等腰三角形的性质与判定（重点） 题型19 倍长中线法（难点） 题型10等边三角形的性质与判定（重点） 题型20 等腰三角形的新定义（难点） 1 / 74 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 组成三角形的条件 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．2，5，7 B．6，8，4 C．3，4，8 D．7，8，16 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键，根据三角形三边关系逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故不符合题意； B、，能构成三角形，故符合题意； C、，不能构成三角形，故不符合题意； D、，不能构成三角形，故不符合题意； 故选：B． 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4，4，10 【答案】A 【分析】本题考查了组成三角形的条件：任两边的和大于第三边，据此即可判断． 【详解】解：A、，故三条线段能组成三角形； B、，故三条线段不能组成三角形； C、，故三条线段不能组成三角形； D、，故三条线段不能组成三角形； 故选：A． 3．下列各组线段为边，能组成三角形的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数是解题关键．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可得出正确选项． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意； B、，能组成三角形，故此选项正确，符合题意； C、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意； D、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 题型二 添加条件证全等（常考点） 4．如图：，要使，则只要（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．根据全等三角形的判定定理（、、、等），结合已知条件（可得）、，对每个选项进行分析，判断能否使． 【详解】解：由，根据“两直线平行，内错角相等”得，本来就有，这不是能使的额外条件，所以仅，结合，不满足全等三角形的判定定理，不能判定．故A项错误． ，结合已知，，这是“”的情况，“”不能判定两个三角形全等，所以不能判定．故B项错误． ， ， ， ，即， 在和中， ， ，故C项正确． ，无法推出能使的对应边或角相等，不能判定．故D项错误． 故选：C． 5．如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】A、和分别是和的对边，不能判定，故A符合题意； B、由推出，而，，由判定，故B不符合题意； C、，而，，由判定，故C不符合题意； D、，而，，由判定，故D不符合题意． 故选：A． 6．如图，欲证，若，请再添加一个已知条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了添加条件证明三角形全等，添加已知条件，利用“”证明即可． 【详解】解：添加已知条件， 则在和中， ， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 题型三 全等三角形的性质（常考点） 7．如图，已知点在上，点在上，，，，则的长为（    ） A．7 B．5 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得出，，结合计算即可得解． 【详解】解：∵点在上，点在上，， ∴，， ∴． 故选：A． 8．如图，，则的度数是（     ）   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质得，然后根据和等量代换即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：B． 9．如图，，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质分别求出、，计算即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：4． 题型四 三边关系的应用 10．一个三角形的周长是偶数，其中的两条边长分别是和，满足上述条件的三角形（三角形的边长均为整数）的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系，首先设三角形第三边长为，根据三角形的三边关系可得，解不等式可得的取值范围，再根据周长是偶数确定的值，进而可得答案，解题的关键是掌握三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】解：设三角形第三边长为， 由题意得：， ∴， ∵周长是偶数，， ∴，，，共个， 故选：B． 11．已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为整数，则这样的三角形的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边之差，而小于两边之和．根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， ∵x为整数， ∴、、， 则这样的三角形的个数为3， 故选：B． 12．若是三角形的三边，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系判断式子的符号，再根据绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：∵是三角形的三边， ∴， ∴原式 ． 故答案为： 题型五 中线平分面积（常考点） 13．如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质和应用，解答此题的关键是要明确三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分．根据三角形的中线平分面积，推出即可求解． 【详解】解：点、分别为边、的中点， 、、分别为、、的中线， 根据三角形的中线平分面积可知：，，， ． 故选：B ． 14．如图所示， 在中， 已知点D， E， F分别是的中点，且 则的值为（  ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形中线的性质等知识点，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． 根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得平方厘米，平方厘米，进而得到即可解答． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴平方厘米， ∵E是的中点， ∴平方厘米，平方厘米， ∴平方厘米， ∵F是的中点， ∴平方厘米． 故选：B． 15．如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 题型六 最值问题（难点） 16．如图，在等边三角形中，，垂足是，且，点，分别是线段，上的动点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的对称性、“垂线段最短”等知识点．熟记相关结论是解题关键．根据等边三角形的对称性可得，根据垂线段最短即可求的最小值． 【详解】解：由等边三角形的对称性可得 故 过点作，如图所示：    则 故选：A． 17．如图，已知，是内部的一点，且，点，分别是射线和射线上的动点，则的周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，对称的性质，两点间线段最短等知识，利用对称性把求三角形周长的最小值转化为折线段的最小值是解题的关键． 【详解】解：如下图所示， 分别作点关于，的对称点，，连接，，，，， 由对称的性质可得：，，，，， ，， 是等边三角形， ， ， 当、在线段上时，的周长的最小，最小值为线段的长， 即最小值为． 故选：B． 18．如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三点共线和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，有，则，当三点共线时，的最小值等于的长，即可知的长为5，进一步判定是等边三角形即可． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， 平分． ， ． 在和中， ， ， ， 当三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为5， ∴的长为5， ． ， ∴是等边三角形， ． ． 故答案为：． 题型七 角平分线的性质与判定（常考点） 19．如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，若的面积为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵点为的中点， ∴． 故选：D． 20．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是 ． 【答案】35 【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 21．如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线；求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，；由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证． 【详解】证明：连接，， ∵点在的垂直平分线上， ． ，， ． 在和中， ∴， ． 又，， 点在的平分线上，即平分． 题型八 垂直平分线的性质与判定 22．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质，由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 23．如图，点D、F分别为的边、的中点，，，的周长为16，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查垂直平分线的定义与性质，线段的和差，三角形的周长计算等，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：的周长为16， ， 点D、F分别为的边、的中点，，， ， ，即， ， ， ， 故答案为：3． 24．如图，为的角平分线，点、分别在、上，且，连接交于点．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，由角平分线的定义可得，再证明得出，，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：是的角平分线， ． 在和中， ， ∴， ∴，， 点、都在的垂直平分线上， 垂直平分． 题型九 等腰三角形的性质与判定（重点） 25．如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、，若的周长为，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的定义，利用平行线与角平分线推出是解题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，再由等角对等边得，则的周长，由此即可解决问题． 【详解】解：在中，与的平分线相交于点， ， ， ， ， ， 的周长是：， ∵， ． 故选：B． 26．如图，在中，D为边上一点，且平分，过A作于点E．若，，，则 ．    【答案】3.5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，延长交于点F，由角平分线的定义可得，再证明得出，，求出，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：延长交于点F，如图，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 答案：3.5． 27．如图，在中，，其中、边上的高、相交于点． (1)求证：； (2)请判断是等腰三角形吗？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，即可得出； （2）根据，得出，根据，求出，根据等腰三角形的判定得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵、是的高， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 又∵、是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 题型十 等边三角形的性质与判定（重点） 28．如图，中，，以、为边在的外侧作等边和等边，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和及等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵、都是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 29．如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ． 【答案】16 【分析】过点D作，交于F，先证是等边三角形，再证，得，设，则，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可． 【详解】解：如下图，过点D作，交于F， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 点P为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明． 30．如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，，两线相交于点 (1)求的度数； (2)如图2，连接， ①求证：是的平分线； ②若，，求的长度． 【答案】(1) (2)①见解析 ② 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）通过观察图形，根据等边三角形的性质就可以证明≌，得出，而有，就有，从而可以求出的值； （2）①过C作于G，于H，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由知，根据角平分线的定义得到是的平分线；②如图，在BF上截取，连接CM，则是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）①证明：过C作于G，于H， ， ， ， ， ， ， ， 由知， ， 是的平分线； ②解：如图，在BF上截取，连接CM， 因，则是等边三角形， ， ， ，（等量减等量，差相等） ， ， ， ， ， ， 题型十一 两个斜边一半（常考点） 31．如图，在中，，点D在上，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，30度角的性质． 根据等边对等角得到，根据30度角的性质得到，根据等角对等边得到，进而可求的长． 【详解】∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 32．如图，和是一对三角板，点、、共线，点是的中点，点是的中点，连接、、，若，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质和三角板的相关知识． 连接，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可得的度数，从而可得的度数，由三角形的内角和定理，可得的度数，从而可得是等腰直角三角形，可得，减去的度数，即可得的度数． 【详解】解：∵如图，和是一对三角板， ∴，，，，，， 连接， ∵，，点是的中点， ∴，， ∵，点是的中点， ∴ ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．【问题背景】我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图①，在中，，则． 【探究结论】小明同学对以上结论作了进一步研究． (1)如图①，作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为____________； (2)如图②，是的中线，D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由； (3)当D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，，，根据等边三角形的判定定理证明①；根据直角三角形的性质得出②的结论； （2）连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据垂直平分线的性质得到，证明结论； （3）根据题意画出图形，由（2）的证明方法解答即可． 【详解】（1）解：①，， ，， 为边上的中线， ， ， 是等边三角形； ②在中，为边上的中线， ， 故答案为：； （2）解：猜想，理由如下： 如图②，连接， ， 都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ． ， ． ， ； （3）解：当点为边延长线上任意一点时，．理由如下： 连接，如图③， ，都是等边三角形， ，，， ，即， 则， ， 同（2）可知，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型十二 三角形中的三种角平分线（难点） 34．如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（    ）度 A．50 B．55 C．80 D．65 【答案】C 【分析】根据角平分线定义得出，，根据三角形内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，求出，则，即可求解． 【详解】 解：平分，平分， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 35．如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为 度． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理列出等式整理即可得解． 【详解】解：∵平分平分， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 36．（1）如图1，在中，、的平分线，相交于点F，，，求的度数； （2）如图2，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若， ①求的度数； ②求的度数． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．本题也考查了三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义可得，，再根据三角形内角和定理求出即可； （2）①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，根据角平分线的定义可得，，然后整理得到再代入数据计算即可得解； ②作于E，于F，于G，根据角平分线的性质与判定可得平分，再根据角平分线的定义可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵、的平分线相交于点F， ∴，， ∴； （2）①在中，， 在中，， ∵、分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． ②作于E，于F，于G，如图： ， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴平分， ∴． 题型十三 三角形中的三种折叠 37．如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理．利用三角形内角和定理，先求出，再利用翻折变换的性质求出，再根据，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 沿向内折叠得到， ，，， 在中，， ， ， ， 故选：C． 38．如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在点，若，则的度数为 度． 【答案】116 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，理解折叠的性质，掌握三角形内角和定理，外角和的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理可得，根据折叠的性质可得，由三角形的外角的性质可得，再由是的外角，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵折叠， ∴， 设交于点， ∴， ∵是的外角， ∴， 故答案为： ． 39．如图，在中，，，，E为的中点，动点D在上从点A向点B运动，将沿翻折，使点A落在点处． (1)如图，当时，求的度数； (2)若与点C重合，证明：； (3)点D从点A运动到点B的过程中，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，折叠的性质． （1）利用平行线的性质求得，再利用折叠的性质求解即可； （2）利用折叠的性质结合三角形内角和定理求得，推出，据此求解即可； （3）分点在内部和点在外部时，两种情况讨论，利用三角形的外角性质结合折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：若与点C重合，如图， ，， ∴， ∴； （3）解：或．理由如下， 连接， 当点在内部时， 由三角形的外角性质得，， ∴ ； 当点在外部时， 由三角形的外角性质得，， ∴ ； 综上，或． 题型十四 全等三角形的判定（常考点） 40．如图，在与中，点、、、在一条直线上，与相等吗？为什么？ 【答案】与相等，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，根据证明，可得． 【详解】解：相等，．理由如下： ， ， ， ，即， 在和中， ， ． 41．如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． (1)求证：； (2)与有何位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，了解并能熟练运用手拉手模型证明三角形全等是解题关键． （1）根据证明即可； （2）利用三角形全等的性质得到角度相等，再通过互余证明垂直即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：；理由如下： 如图，交于点O，    由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 42．在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵在中，，， ， ， ∴， ，， ， ∴， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 题型十五 一线三等角（重点） 43．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 (3)7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． （1）证明，得到，利用，即可得到； （2）证明，得到，利用，即可得到； （3）证明，推出即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵，， ， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴， ∴（1）中结论仍然成立； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 44．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2) 【分析】（1）①根据已知可求得，，得到，证明；②由（1）可知，得到，从而得出； （2）首先证明，得到，，结合已知可得到，根据的周长为得到，得到，即可得出最后结果． 【详解】（1）解：①， ，， ， 在与中， ， ； ②猜想：， 理由：由（1）得：， ，， ； （2），且， ， 在和中， ， ， ，， 四边形的周长为， ， ， 又的周长为， ， ，， ， ， 即． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确寻找全等三角形． 45．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到.进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；    [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【答案】模型呈现：；模型应用：50；深入探究：见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K型”全等是解题的关键； [模型呈现]根据题意可直接进行求解； [模型应用] 由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； [深入探究] 过作于，过作于，由“字”模型得：，则有，然后可证，进而问题可求解． 【详解】[模型呈现]解：， . 故答案为：； [模型应用]解：如图2中，                  图2 由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积 ； 故答案为：50； [深入探究]证明：如图3，过作于，过作于，          图3 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中 ， ， 即点是的中点． 题型十六 手拉手模型（重点） 46．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，分别是底边，连接．求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断线段之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． （1）先判断出，进而利用判断出，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出，得出，，最后利用等腰直角三角形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，， 理由如下：由（1）的方法得，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 47．综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：__________________； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：；深入研究：；拓展延伸：，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法为解题的关键． 初步把握：利用证出，即可解答； 深入研究：利用证出，再利用角的等量代换解答即可； 拓展延伸：利用证出，再利用角的等量代换解答即可． 【详解】初步把握：解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究：解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中， ， ∴； 拓展延伸：解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中， ， ∴， ∴． 48．阅读与思考 等腰直角三角形的“手拉手” 如图，在共顶点A的等腰直角和等腰直角中，，，，连接相交于点F，交于点H，交于点G． (1)求证：； (2)结合（1）的结论，利用三角形三个内角的和等于，在与中，先确定的度数；过点A作，垂足为M，，垂足为N，再证明平分；最后求出的度数．请根据以上的思路，写出求度数的过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】​（1）根据等腰直角三角形的性质，，通过角度加法，证明使用全等判定直接证明 ； （2）由（1）的结论，得到 ，在 和 中，利用对顶角相等和三角形内角和 ，推导出 ，过点 A 作 于 M， 于 N，由全等三角形面积相等，证明 ，根据到角两边距离相等的点在角平分线上，得出 平分，由 ，计算 ． 【详解】（1）证明：∵与均为等腰直角三角形，且，，， ∴，即， 在与中， ， ∴， （2）解：由（1）知， ， ∵与是对顶角， ∴， 根据三角形三个内角的和等于， 在中， 在中， ∴， 过点A作，垂足为E，，垂足为N， 由（1）知可得，，， ∵，， ∴， ∴点A在的平分线上， ∵， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、三角形全等（判定）、对顶角相等、三角形内角和定理（）、角平分线的判定（到角两边距离相等的点在该角平分线上）．三角形全等​ 是解题的关键． 题型十七 全等三角形动点求t（难点） 49．如图（1），，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动．它们运动的时间为 (当点P运动结束时，点Q运动随之结束)． (1)若P、Q的运动速度相同，当时．判断此时线段和线段的位置关系，并说明理由； (2)如图（2），若“，”改为“”．点Q的运动速度为，其它条件不变．当点P、Q运动到何处时有与全等？求出相应的x的值． 【答案】(1)，详见解析 (2)1或 【分析】（1）利用，，可根据“SAS”证明；则，然后证明，从而得到； （2）讨论：①若，则，，即，；②若，则，，即，，然后分别求出x即可． 【详解】（1）解：， 理由： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①若，则，，可得：，，解得：，； ②若，则，，可得：，，解得：，． 综上所述，当与全等时x的值为1或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 50．如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动．设运动时间为． (1)如图①，连接、，当时，求的值； (2)如图②，当点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当、两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求和的值； (3)如图③，当（2）中的点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请求出此时的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由“”可证，可得，根据线段的和差求出，据此可求解； （2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解； （3）由 ，可求的值，由面积和差关系可求，可求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ； （2）解：若， ∴， ∵ ， ， ∵， ∴， ∴； 若， ∴, ∴, ， ∵， ， ∴； 综上所述:，或 ； （3）解：如图③, 连接，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 51．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)　　．（用的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或2． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）当时，根据三角形全等的条件可得当时，进而得出答案； （3）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出的值，进而得到的值． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒时，， 则； 故答案为：； （2）当时， 则， 故， 解得：； （3）①如图1，当，则，， ， ，即，解得：， ∵，即，解得：秒）． ②如图2，当，则，． ， ， ，即，解得：， ∵，即，解得：； 综上所述：当秒或秒时与全等． 题型十八 尺规作图（含无刻度） 52．如图，已知． (1)请用尺规作图法作出的垂直平分线，垂足为D，交于点E； (2)请用尺规作图法作出的平分线，交于点F； (3)请用尺规作图法在上找一点P，使的周长最小．（注意：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法以及轴对称中最短路线问题，解题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决； （1）利用线段垂直平分线的作法得出的垂直平分线即可； （2）利用角平分线的作法得出即可； （3）由于的周长，而是定值，故只需在上找一点，使最小，作出关于的对称点为，连接得出即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； （3）解：如图所示：点即为所求． 53．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点平移到点，点，分别是，的对应点． (1)请画出平移后的三角形，并求三角形的面积___________； (2)在上找一点，使平分三角形的面积； (3)在网格中找出格点，使，这样的格点有___________个． 【答案】(1)见详解，7 (2)见详解 (3)见详解，4 【分析】本题考查了网格求三角形的面积，中线平分三角形的面积，平移作图，平行线之间距离相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质，分别找出点，再依次连接，得三角形，运用割补法进行列式计算，得出三角形的面积，即可作答． （2）结合网格特征，找出线段的中点，再连接，运用中线平分三角形的面积，则平分三角形的面积，即可作答． （3）根据平行线之间距离相等以及网格特征，逐个找出满足题意的格点，即可作答． 【详解】（1）解：三角形如图所示： 三角形的面积； （2）解：点如图所示． （3）解：依题意，如图所示：这样的格点有个． 54．如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1单位，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A、B、C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成画图，并回答问题． (1)直接写出三角形的面积_______； (2)在图1中： ①作的高，作中线； ②在高上画点P，连接，，使； (3)在图2中，M为上任意一点，在上画点N，使． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识点，并理解题意是解此题的关键． （1）利用三角形面积公式计算即可得解； （2）①根据三角形的高，中线的定义画出图形即可；②取点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求； （3）取点，连接，连接交于点，连接并延长交于，连接并延长交于点，则即为所作． 【详解】（1）解：三角形的面积为：； （2）解：①如图，线段，即为所求； ②如图，点即为所求； ； （3）解：如图，线段即为所求， ， 由作图可得，点、关于直线对称， ∴，， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型十九 倍长中线法（难点） 55．阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． (1)如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______． (2)解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】求解本题的关键是熟练掌握 “截长补短”的方法，结合全等三角形的判定条件 “”，证明构造的三角形全等， （1）掌握全等三角形的判定，证明，然后，利用三角形三边关系“两边长度之和大于第三边，两边长度之差小于第三边” 即可得出范围； （2）关键是作辅助线，延长到，使，利用全等三角形的判定条件得到和，即可证明结论． 【详解】（1）解：延长到点使，连接，在和中， ， ， ， ，即， ， 故答案为：； （2）证明：延长到，使如下图所示， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 56．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形中的倍长中线模型，掌握通过延长中线构造全等三角形的方法是解题的关键． （1）延长至点E，使，利用“边角边”可证； （2）延长到H，使，同（1）可证，再利用三角形三边关系求解； （3）延长到K，使，连接，依次证明，，再利用三角形三边关系求解． 【详解】（1）解：延长至点E，使，连接，如图1所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B； （2）解：延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∴， ∴， ∴， 故选：C； （3）证明：延长到K，使，连接，如图3所示： ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中，， ∴，. ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∵， ∴． 57．【发现问题】 （1）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接是的中点，试说明： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，请求出的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）15 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点H，使得，先证，再证，可得； （3）由（2）得，，可得，，进而可得，再证，即可求解． 【详解】（1）解：是的中线， ， 又，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：延长至点H，使得，连接，如图所示： 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， ， 又，， ， ， ； （3）如图， 由（2）得，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 题型二十 等腰三角形的新定义（难点） 58．我们定义：有一条对角线平分一个角，且有一组对角互补的凸四边形叫做“分补四边形”． 概念理解 （1）根据我们所学的四边形知识，举一个分补四边形的例子：___________；如图1正六边形中，连接，请写出图中所有的分补四边形___________； 性质探索 （2）如图2，在分补四边形中，，平分，且． 求证：； 探究运用 （3）如图3，在中，，分别在上取点P，Q，将沿着翻折，使点B的对应点为当点E落在内部时，是否存在四边形为分补四边形，且的情况？如果存在；求的长；如果不存在，说明理由．    【答案】（1）正方形；四边形，四边形，四边形；（2）见解析；（3）存在， 【分析】（1）根据分补四边形的定义即可判断； （2）如图2中，作于E，于只要证明≌即可解决问题； （3）观察图象可知，由四边形是分补四边形，推出只有，推出，推出，推出，推出，推出，可得，求出即可解决问题； 【详解】解：（1）正方形是分补四边形，理由： 如图，正方形中， ∵平分，， ∴正方形是分补四边形．    图1正六边形中，连接，设六边形的外接圆为． ∵正六边形的各边相等，各角都等于， ∴． ∴． ∵是直径， ∴． ∴． ∴四边形是分补四边形． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是分补四边形． 同理， ∵， ∴四边形是分补四边形． ∴图1正六边形中，连接，图中所有的分补四边形有：四边形，四边形，四边形． 故答案为：正方形；四边形，四边形，四边形． （2）如图2中，作于E，于F． 则．   平分， ． ， ． ， ． ． （3）如图3中，    观察图象可知，四边形是分补四边形， 只有． ． ． ， ． ∵，， ． ∴． ． ． ． 【点睛】本题考查了新定义——分补四边形．熟练掌握四边形性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形含30度角的性质，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 59．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是、的中点，连接，求证：． (3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于结合性质作出恰当的辅助线，构造等腰三角形． （1）根据题干概念，按要求画图即可． （2）连接，根据直角三角形斜边上的中线得到，再根据等腰三角形三线合一即可求解； （3）设、延长线交于点，证明，再结合题干的条件与等腰三角形底边上“三线合一”，即可解题． 【详解】（1）解：如图所示即为所求作的三角形， （2）证明：如图，连接， ∵E点是中点 ∴分别是和斜边上的中线 ∴， ∴ ∴是等腰三角形 ∵F点是中点 ∴； （3）证明：分别延长、交于点，如图所示： ， ， ，， ， ， ，又， ， 平分． 60．小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【答案】问题1：1，30；问题2：（1），（2）， 【分析】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度； 问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到； （2）过C点作与D，根据可得，且，由题意得，求得，，则有和，，继而证明，则有和，即可得到，可得点C到直线的距离． 【详解】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， ∵等边三角形每个角为， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为， 故答案为：1，30． 问题2：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）过C点作与D，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化． $