专题03 勾股定理 18个题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题03 勾股定理 题型1 勾股数（常考点） 题型11 勾股定理的应用——梯子滑落 题型2 组成直角三角形的是（常考点） 题型12 勾股定理的应用——水中筷子（重点） 题型3 勾股定理与无理数 题型13 勾股定理的应用——蚂蚁爬行（重点） 题型4 勾股树问题（重点） 题型14 勾股定理的线段平方关系（难点） 题型5 赵爽弦图（常考点） 题型15 等腰三角形动点求t（难点） 题型6 勾股定理的证明方法（重点） 题型16 直角三角形动点求t（难点） 题型7 最值问题（重点） 题型17 网格作图（含无刻度）（常考点） 题型8 勾股定理的折叠（重点） 题型18 勾股定理的新定义（难点） 题型9 勾股定理的应用——旗杆高度（常考点） 题型10勾股定理的应用——大树折断（常考点） 8 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 勾股数（常考点） 1．下列各组数据为勾股数的是（  ） A． B． C．10，24，26 D．2，3，4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义与判定方法，解题的关键是紧扣勾股数的两个核心条件，对各选项逐一验证． 先明确勾股数需同时满足两个条件：一是三个数均为正整数，二是较小的两数的平方和等于最大数的平方；再对每个选项先判断是否为正整数，排除非整数选项后，再验证勾股定理是否成立． 【详解】解：A．、、中，和不是正整数，不满足勾股数定义，此选项不符合题意； B．1、、中，和不是正整数，不满足勾股数定义，此选项不符合题意； C．10，24，26均为正整数，计算得，，即，满足勾股数定义，此选项符合题意； D．2，3，4均为正整数，但，，，不满足勾股定理，此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股数；根据勾股数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数； B、，故是勾股数； C、，故不是勾股数； D、，故不是勾股数； 故选：B． 3．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A．3，3，5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．2，3， 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股数定义，满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念判断即可． 【详解】解：A、，，3，5不是勾股数，不符合题意； B、，，5，6不是勾股数，不符合题意； C、，，24，25是勾股数，符合题意； D、，3，不全是正整数，，3，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 题型二 组成直角三角形的是（常考点） 4．以下列长度的线段不能围成直角三角形的是（   ）． A．5，12，13 B．，， C．2，3，4 D．，3，4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形． 根据勾股定理逆定理逐一计算即可． 【详解】A.，故A选项能围成直角三角形； B.，故B选项能围成直角三角形； C.，故C选项不能围成直角三角形； D.，故D选项能围成直角三角形； 故选：C． 5．在以下列线段的长为边的三角形中，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论． 本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，代入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、若，满足，此时不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A 6．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．4，5，6 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【详解】解：A、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； C、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； D、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；． 故选：D． 题型三 勾股定理与无理数 7．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1.3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；根据勾股定理可得，然后问题可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴点A表示的数是； 故选D． 8．如图，点所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，由勾股定理得，， ∴， ∴点所表示的数是， 故选：． 9．如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；由勾股定理可得，然后根据实数与数轴可进行求解． 【详解】解：如图， 由数轴可知：， ∴， ∴a的值为； 故答案为． 题型四 勾股树问题（重点） 10．如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股树问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积，求得正方形②的面积为32，同理，正方形③的面积为，正方形④的面积为，即可求出第4个正方形的边长． 【详解】解：根据勾股定理得： 正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积， ∵正方形①的面积为64， ∴正方形②的面积为， 同理，正方形③的面积为， 正方形④的面积为， ∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长． 故选：C． 11．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，根据数的变化找出变化规律“”，依此规律即可得出结论． 【详解】∵正方形的边长为，为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 观察，发现规律：，，，，， ∴， 当时，， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律 “”是关键． 12．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2022 【分析】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键． 根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022． 故答案为：2022． 题型五 赵爽弦图（常考点） 13．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b、若大正方形的面积为，小正方形的面积是 ，则等于（   ） A．19 B．13 C．42 D．29 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积−4个直角三角形的面积，可求的值，大正方形面积为：，再将展开代入即可． 【详解】解：根据大正方形面积4个直角三角形面积=小正方形面积得：， ∴， 而大正方形面积为：， ∴， 故选：D． 14．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 【答案】C 【分析】本题主要考查了“赵爽弦图”的应用，根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，再计算可得答案． 【详解】解：一个直角三角形的面积为． 故选：C． 15．如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 【答案】675 【分析】根据题意，都由直角三角形和正方形的面积组成的，故设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为，建立等式代入即可；用、表示是解题的关键． 【详解】解：设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为， ， ， ， ，， ． 故答案为：675． 题型六 勾股定理的证明方法（重点） 16．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】解：A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：B． 17．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 【答案】 【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 18．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，熟悉勾股定理的证明方法及应用是解题的关键； （1）先计算出梯形的面积，另一方面此梯形还可表示为两条直角边分别为a、b的两个直角三角形的面积与一个等腰直角三角形面积的和，由此即可得出勾股定理； （2）分别在与中，由勾股定理得; ，由此得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）解：在中，; 在中，， 所以， 解得， ∴， ∴． 题型七 最值问题（重点） 19．如图，在四边形中，，E是对角线的中点，F是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，勾股定理；连接、，由直角三角形的特征得，由垂线段最短得当时，取得最小值，结合等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ， E是对角线的中点， ， 当时，取得最小值， ， ， 的最小值为； 故选：A． 20．如图，在中,，点D是的中点，点P、Q分别为、上的动点，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、垂线段最短及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用轴对称将转化为，将的最小值转化为点到的垂线段长度． 由、是中点可知是的对称轴，点关于的对称点为，故；根据垂线段最短，当、、共线且时，最小（即最小值为；利用的面积，分别以、为底计算，结合勾股定理求出的，可解得． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴是的对称轴，点关于的对称点为点， ∴， ∴． 根据垂线段最短，当、、三点共线且时，取最小值，即最小值为的长． 在中，，， 由勾股定理得：． ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 21．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则． ① ； ． ②____________的线段和． (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； 【答案】(1)，；②， (2) 【分析】本题考查勾股定理及应用，用轴对称求最小距离等知识，解题的关键是掌握轴对称问题的解决方法． （1）①根据勾股定理可得答案； ②根据图形可得答案； （2）作关于直线的对称点，连接，连接交于，可得，，根据两点之间线段最短可知，当与重合时，最短，再用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：①∵边长为的正方形，设，则， 由勾股定理可得，，， 故答案为：，； ②，， ， 故答案为：，； （2）作关于直线的对称点，连接，连接交于，如图： 由，关于直线对称可得，， ， 根据两点之间线段最短可知，当与重合时，最短， ， ， ， 当时，的最小值为. 题型八 勾股定理的折叠（重点） 22．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点，， ， 在中，， 解得． 即． 故选：C． 23．如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由折叠的性质可得：，，计算出，，设，则，由勾股定理可得，，求出的值即可，熟练掌握勾股定理以及折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：在长方形中，，， ，，， 由折叠的性质可得：，， ， ， 设，则， 由勾股定理可得， ， 解得：， ， 故答案为：． 24．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 【答案】（1）的长为24；（2）的长为6；（3）的长为5或20 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定 （1）由折叠得到，然后对运用勾股定理即可求解； （2）先证明，设，则，在中，由勾股定理建立方程，即可求解； （3）设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况：①如图，当点在长方形内部时，在中，由勾股定理得，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时，由折叠的性质得：，同①得，此时，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为20． 【详解】解：（1）， ， 由折叠的性质得：， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 即的长为24； （2）四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为6； （3）四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，同①得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即的长为20； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． 题型九 勾股定理的应用——旗杆高度（常考点） 25．强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的正确应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．旗杆的长，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：D． 26．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C， 再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度是 ． 【答案】12米 【分析】根据题意可得米，米．在直角中，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 【详解】解：根据题意知：米，米． 在直角中，由勾股定理得： ， 故． 解得， 答：旗杆的高度为12米． 故答案为：12． 27．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后他将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，求旗杆的高度．（滑轮上方的部分忽略不计） 【答案】旗杆的高度为17米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 如图，过点作于点，设旗杆的高度为，则，，．然后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 设旗杆的高度为，则，，． 在中，，即，解得． 答：旗杆的高度为17米． 题型十 勾股定理的应用——大树折断（常考点） 28．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：设为x尺，则尺，依题意得： ， 故选：B． 29．如图所示，一棵大树高8米，一场大风过后，大树在离地面3米处折断倒下，树的顶端落在地上，则此时树的顶端离树的底部有 米． 【答案】4 【分析】此题是勾股定理的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决． 设此时树的顶端离树的底部有x米，再由勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设此时树的顶端离树的底部有x米，由勾股定理得： ， 解得：（舍去）， 答：此时树的顶端离树的底部有4米． 故答案为：4． 30．如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 【答案】(1)木杆折断之前的高度是 (2)的长是 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出的长； （2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理：，， 答：木杆折断之前的高度是． （2）解：设的长为，则， 在中，根据勾股定理： ，解得：． 的长是． 题型十一 勾股定理的应用——梯子滑落 31．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子的长度为（   ） A．20米 B．16米 C．12米 D．24米 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设米，得到米，根据勾股定理得到，结合梯子的长度不变得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，米，，， 设米，则：米， 在和中，由勾股定理，得：， ∴，即：， 解得， ∴米， ∴米； 故选：A． 32．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为 米． 【答案】2.7 【分析】本题主要考查勾股定理，先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可得： ， 在中， ∵米， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴米， ∴小巷的宽度为（米）． 故答案为：2.7． 33．如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． (1)这个梯子的顶端A距离地面多远？ (2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)这个梯子的顶端A距地面有远 (2)梯子的底端在水平方向滑动了 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长即可； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这个梯子的顶端A距地面有远； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点D， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ∴， ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 题型十二 勾股定理的应用——水中筷子（重点） 34．将一根长为的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理可得，杯子斜对角长为，可知当筷子垂直杯子底面放时，筷子露在杯子外面的长度最长，当筷子斜对角放时，筷子露在杯子外面的长度最短，据此解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得，杯子斜对角长为， 当筷子垂直杯子底面放时，筷子露在杯子外面的长度最长，当筷子斜对角放时，筷子露在杯子外面的长度最短， ∴筷子露在杯子外面的长的取值范围为， 即， 故选：． 35．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， 解得：，即， 故答案为：． 36．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈尺) 【答案】水深为尺，芦苇的长是尺． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据勾股定理列方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设水深为x尺，由题意可得， . 解得， 答：水深为尺，芦苇的长是尺． 题型十三 勾股定理的应用——蚂蚁爬行（重点） 37．如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，解题的关键是将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木条展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为6米， 于是最短路径为：（米）． 故选：D． 38．如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，因为长方形的宽为1米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， ∴长方形的长为米， ∵长方形的宽为1米， ∴一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线， ∴米， 故答案为：． 39．如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． (1)一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ (2)小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，把空间问题转化为平面图形问题是解题的关键； （1）将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程，利用勾股定理即可求解． （2）将长方体的侧面沿展开，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如图，将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程． 在Rt中，， ． 答：蚂蚁走的最短路程是． （2）解：如图，将长方体的侧面沿展开， 则， ． 答：彩带的长度最短是． 题型十四 勾股定理的线段平方关系（难点） 40．(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为． ①判断，的关系，并说明理由． ②连接．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析；(2)①，，理由见解析；② 【分析】（1）根据勾股定理得到 ，同理求出即可求解； （2）①证明即可得到；进而得到，②在四边形中，根据（1）求得的结论即可求出的长． 【详解】解：（1）∵，∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 即； （2）①∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，； ② 解析：在四边形中，，由（1）知 ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴． 图2 【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定与性质是解题关键． 41．如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)7 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）先计算，结合，计算，再求的长； （2）连接，在上截取，连接，先证明，再利用等腰三角形的性质，勾股定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，在上截取，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 42．已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，． (1)求证：； (2)如图1，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式； (3)如图2，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键． （1）通过，得到为等腰直角三角形，进而得到，根据过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点，可推出，，最后通过证明，可以得出结论； （2）在射线上取点，使，连接，通过证明≌，得到，，再结合，推导证明，得到，最后等量代换线段即可求解； （3）延长到点，使得，连接，通过证明，得到，，再结合，推导证明，得到，根据，等量代换可知，又因为，推出，进而得到，同理可证，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：，， 为等腰直角三角形， ， 又，且， ， ， ， 同理，， 又， 在与中， ， ， ，，， ∴， （2）如图1， 在射线上取点，使，连接， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又 ． （3）．证明如下： 如图2，延长到点，使得，连接． ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 又， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， 在中，． 题型十五 等腰三角形动点求t（难点） 43．在中，，，，点D从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度向左运动，设点D的运动时间为t（秒），连结，如图． (1)填空：______；______； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)点E在边上，且，过E作于F，在点D的运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)8；16； (2)当为等腰三角形时，的值为或或 (3)在点的运动过程中，当的值为或时，能使 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的性质与判定； （1）根据题意利用勾股定理求解即可； （2）根据题意分三种情况分析：，，，结合图形利用勾股定理求解即可； （2）根据题意分两种情况分析：点D在线段上时，点D在线段的延长线上时，结合题意，利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴即， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：8；16； （2）解：分三种情况：①若，则， 解得； ②若，则，， 解得； ③若，则， 解得． 答：当为等腰三角形时，的值为或或． （3）解：分两种情况：①点D在线段上时，连接，如图所示： ∵，， ， ∵， 平分．， 又， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得：； ②点D在线段的延长线上时，过点E作于F，连接，如图所示： 同①得：， ，， ， ∴， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得：． 综上所述，在点D的运动过程中，当的值为或时，能使． 44．如图，已知在中，，的面积是12，于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发；以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)当时，；当时， (3)或2 (4)或4或14 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，时，点在点右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分两种情况讨论：，分别求得的长，即可得出结果即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在点D左侧时，时，， ∴， 解得：； 当点P在点D右侧时，时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：当时，点与点重合， ∴ 当时， ①当在点的左侧时， ∴ ②当在点的右侧时， ∴ 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，或4或14 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 45．已知，如图，在中，，，．动点M从点A出发，沿向点C运动（到达C点停止），动点N从点B出发，沿向点A运动（到达A点停止），如果动点M以，N以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1)图1，当______s时，； (2)如图2，当为等腰三角形时，求t的值； (3)如图1，连接． ①当时，求线段的长； ②在运动过程中，的形状也在不断发生变化，它能否构成直角三角形？如果能，则求出此时t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)2或 (3)①，②2或 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先求得的长，再根据点的运动速度可得，，则，列方程即可求得t的值； （2）分两种情况讨论当，，即可求解； （3）①作于H，于G，在中利用勾股定理即可求解； ②分，时，利用含30度直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，． ∴， 由M、N的运动速度可知：，，则， 当时，即， 解得； （2）∵在中，，． ∴， 由N的运动速度可知：， ①当为等腰三角形时，若，如解图1， ∴， ∵， ∴， ∴，即是中点， ∴， ∴ ②当为等腰三角形时，若时， ， ③当为等腰三角形时，若时，点在延长线上，不符合题意，舍去； 综上所述：当为等腰三角形时，为2或． （3）①过点N作于H，作于G，如解图2， ∵，； ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②能构成直角三角形，有以下两种情况： 当时，如解图3， ∵ ∴，， ∴， 由（1）可得：，， ∴，解得：， 当时，如解图4， 同理可得：，即，解得： 综上所述，当t为2或时，是直角三角形． 题型十六 直角三角形动点求t（难点） 46．已知：中，，，．点P在上以的速度从A向B运动，动点Q从B向C以的速度运动．运动时间为t，一个点到终点另外一个点也停止运动． (1)t为何值时，B在线段的垂直平分线上？ (2)连接 ，设四边形的面积为y，写出y与t的关系式． (3)t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2) (3)2或5 【分析】本题考查了在三角形中的双动点的相关知识，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线的性质，转化法求面积及分类讨论是解题的关键． （1）当时，点B在线段的垂直平分线上； （2）四边形的面积等于的面积减去的面积． （3）根据这个条件，当为直角三角形时，分两种情况讨论，根据在直角三角形中，对应的直角边是斜边的一半，可求出t的值． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 当时，点B在线段的垂直平分线上， ∴， 解得， ∴，点B在线段的垂直平分线上； （2）解：如图1，连接，分别过点A，P作的垂线，垂足分别为D，E． ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可求得， ∴， ∴四边形的面积； （3）解：分以下两种情况讨论： ①如图2，． ∵， ∴， ∴，即， 解得； ②如图3，． ∵， ∴， ∴，即， 解得． 综上所述，当t的值为2或5时，为直角三角形． 47．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，， 在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 48．如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动，设点P运动时间为t秒（）． (1)求的长； (2)用含t的代数式表示______； (3)当是直角三角形时，求t的值； (4)直接写出是等腰三角形时t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)t的值为或或 【分析】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的性质与判定，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求的长； （2）利用题中条件可得，从而； （3）当是直角三角形时，由，均为锐角得出，由面积法可求得，再利用勾股定理求解； （4）分三种情况：；；；利用勾股定理和等腰三角形的性质与判定求解． 【详解】（1），，， ， 的长为10． （2）由题知，，． 故答案为： （3）由题易知，，均为锐角， 当是直角三角形时，，有， 由得， 由勾股定理得， 由解得， 当是直角三角形时，t的值为． （4）当时，过点C作于点D，如图1， 则，， 由勾股定理得，， ， 即， 解得； 当时，，解得； 当时，如图2， ， ， 又，， ， ， ， ， 即，解得； 综上可知，是等腰三角形时，t的值为或或． 题型十七 网格作图（含无刻度）（常考点） 49．在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， ，的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理确定线段的长度是解题的关键． （1）由，据此作图即可； （2）由，，据此作图即可． 【详解】（1）解：如图1中，线段AB即为所求； （2）解：如图2中，即为所求． 50．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1)如图1，作的高线； (2)直接写出的值___________； (3)如图2，在（1）的条件下，在边上取一点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据三角形的高的定义即可作的高线； （2）根据等面积法求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可得的值； （3）根据两点之间线段最短，使和能在一条直线上，作的垂线 ，再作的平行线，交于点，使得垂直平分 ，连接交于点，即可使的值最小． 【详解】（1）解:如图1，高线即为所求； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的值为 ； （3）如图，点P即为所求． 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，轴对称最短路线问题，勾股定理等相关知识等，解决本题的关键是根据题意准确画图． 51．如图是由边长为1的小正方形组成网格，图中的点在格点上．请仅用无刻度直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示作图结果用实线表示． (1)在图1中作线段且； (2)在图2中；在线段上作点，使得；然后在上作点，使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线的判定作出图形即可； （2）取格点，连接交于点，取格点，连接交于点，连接交于点，连接，延长交于点，点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求；，． （2）解：如图2中，点，点即为所求． 理由：根据作图可知点O是的中点， 又， ∴， 根据作图可知， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十八 勾股定理的新定义（难点） 52．定义：过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”． (1)在中，． ①如图1，若O为的中点，则射线 的等腰分割线；(填“是”或“不是”) ②如图2，已知的一条等腰分割线交边于点P，且，请求出的长度． (2)如图3，中，为边上的高，F为的中点，过点F的直线l交于点E，作，垂足为M，N， ，且．若射线为的“等腰分割线”，求的最大值． 【答案】(1)①是  ② (2)的最大值为8 【分析】(1)①由直角三角形的性质得出，则可得出结论； ②设，由勾股定理得出，解方程可得出答案； (2)过点A作于点G．由勾股定理求出，证明，由全等三角形的性质得出．由直角三角形的性质可得出，据此计算则可得出答案． 【详解】（1）解∶①∵中，，O是的中点， ∴， ∴均为等腰三角形， ∴射线是的等腰分割线， 故答案为∶是； ②设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； （2）解：如图3，过点A作于点G． ∵为边上的高， ∴． ∵， ∴不是等腰三角形． ∵为的“等腰分割线”， ∴是等腰三角形，且． ∵， ∴， ∵于M， ∴． ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的最大值为8 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 53．新考法定义：过直角三角形一直角边上的中点，向斜边引垂线，则称此垂线为直角三角形这一直角边上的直中斜垂线，直中斜垂线将斜边分为长度不相等的两条线段，其中较短的称为斜勾，较长的称为斜股． 性质：在直角三角形中，斜股与斜勾的平方差等于另一直角边的平方． (1)如图①，在中，是的中点，于点，则即为中直角边上的直中斜垂线，为斜勾，为斜股，求证：； (2)如图（2），在中，分别是中直角边的直中斜垂线，垂足分别为点，若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析； (2)线段的长度为5． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）连接，证明，利用勾股定理证明即可； （2）求解，利用，，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：连接， D是的中点， ， 在中，根据勾股定理有． 同理可得，， ， ． （2）解：在中，， ． 根据直角三角形直中斜垂线性质有． 设，则， ， 解得， ． 同理可得：， ∴， 解得：， ， 线段的长度为5． 54．【图形定义】 若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为“勾股高三角形”，两边交点为勾股顶点，如图，在中，，为边上的高，，则为勾股高三角形． 【性质探究】 为勾股高三角形， ，即， 又为的高， 在中，根据勾股定理得：， ，即． 【概念理解】 （1）等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； 【性质运用】 （2）如图，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高，，若，请求出线段的长； 【拓展提升】 （3）如图，等腰为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，，为边上的高，过点作边的平行线与边交于点若，请求出线段的长． 【答案】（1）是 （2）线段的长为 （3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股高三角形的定义即可判断； （2）根据勾股定理得到，，根据勾股高三角形的定义得到，计算即可得到答案； （3）过点作于，证明为等腰三角形，，即可解决问题． 【详解】（1）等腰直角三角形是勾股高三角形． 故答案为：是； （2）为勾股高三角形，， 由其性质可知：， ， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， ， 线段的长为； （3）过点A作，垂足为点， ， 等腰为勾股高三角形，， 只能满足，由其性质可知：， 为边上的高， ， 又， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． $专题03 勾股定理 题型1 勾股数（常考点） 题型11 勾股定理的应用——梯子滑落 题型2 组成直角三角形的是（常考点） 题型12 勾股定理的应用——水中筷子（重点） 题型3 勾股定理与无理数 题型13 勾股定理的应用——蚂蚁爬行（重点） 题型4 勾股树问题（重点） 题型14 勾股定理的线段平方关系（难点） 题型5 赵爽弦图（常考点） 题型15 等腰三角形动点求t（难点） 题型6 勾股定理的证明方法（重点） 题型16 直角三角形动点求t（难点） 题型7 最值问题（重点） 题型17 网格作图（含无刻度）（常考点） 题型8 勾股定理的折叠（重点） 题型18 勾股定理的新定义（难点） 题型9 勾股定理的应用——旗杆高度（常考点） 题型10勾股定理的应用——大树折断（常考点） 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 勾股数（常考点） 1．下列各组数据为勾股数的是（  ） A． B． C．10，24，26 D．2，3，4 2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A．3，3，5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．2，3， 题型二 组成直角三角形的是（常考点） 4．以下列长度的线段不能围成直角三角形的是（   ）． A．5，12，13 B．，， C．2，3，4 D．，3，4 5．在以下列线段的长为边的三角形中，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．4，5，6 题型三 勾股定理与无理数 7．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1.3 C． D． 8．如图，点所表示的数是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 ． 题型四 勾股树问题（重点） 10．如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 11．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 题型五 赵爽弦图（常考点） 13．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b、若大正方形的面积为，小正方形的面积是 ，则等于（   ） A．19 B．13 C．42 D．29 14．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 15．如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 题型六 勾股定理的证明方法（重点） 16．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 17．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 18．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 题型七 最值问题（重点） 19．如图，在四边形中，，E是对角线的中点，F是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．2 20．如图，在中,，点D是的中点，点P、Q分别为、上的动点，则的最小值 ． 21．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则． ① ； ． ②____________的线段和． (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； 题型八 勾股定理的折叠（重点） 22．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 23．如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为 ． 24．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 题型九 勾股定理的应用——旗杆高度（常考点） 25．强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 26．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C， 再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度是 ． 27．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后他将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，求旗杆的高度．（滑轮上方的部分忽略不计） 题型十 勾股定理的应用——大树折断（常考点） 28．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 29．如图所示，一棵大树高8米，一场大风过后，大树在离地面3米处折断倒下，树的顶端落在地上，则此时树的顶端离树的底部有 米． 30．如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 题型十一 勾股定理的应用——梯子滑落 31．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子的长度为（   ） A．20米 B．16米 C．12米 D．24米 32．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为 米． 33．如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． (1)这个梯子的顶端A距离地面多远？ (2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 题型十二 勾股定理的应用——水中筷子（重点） 34．将一根长为的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 35．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则 36．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈尺) 题型十三 勾股定理的应用——蚂蚁爬行（重点） 37．如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 38．如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是 米． 39．如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． (1)一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ (2)小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 题型十四 勾股定理的线段平方关系（难点） 40．(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为． ①判断，的关系，并说明理由． ②连接．若，，请直接写出的长． 41．如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 42．已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，． (1)求证：； (2)如图1，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式； (3)如图2，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． 题型十五 等腰三角形动点求t（难点） 43．在中，，，，点D从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度向左运动，设点D的运动时间为t（秒），连结，如图． (1)填空：______；______； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)点E在边上，且，过E作于F，在点D的运动过程中，当时，求t的值． 44．如图，已知在中，，的面积是12，于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发；以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 45．已知，如图，在中，，，．动点M从点A出发，沿向点C运动（到达C点停止），动点N从点B出发，沿向点A运动（到达A点停止），如果动点M以，N以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1)图1，当______s时，； (2)如图2，当为等腰三角形时，求t的值； (3)如图1，连接． ①当时，求线段的长； ②在运动过程中，的形状也在不断发生变化，它能否构成直角三角形？如果能，则求出此时t的值，如果不能，请说明理由． 题型十六 直角三角形动点求t（难点） 46．已知：中，，，．点P在上以的速度从A向B运动，动点Q从B向C以的速度运动．运动时间为t，一个点到终点另外一个点也停止运动． (1)t为何值时，B在线段的垂直平分线上？ (2)连接 ，设四边形的面积为y，写出y与t的关系式． (3)t为何值时，为直角三角形？ 47．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 48．如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动，设点P运动时间为t秒（）． (1)求的长； (2)用含t的代数式表示______； (3)当是直角三角形时，求t的值； (4)直接写出是等腰三角形时t的值． 题型十七 网格作图（含无刻度）（常考点） 49．在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， ，的三角形． 50．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1)如图1，作的高线； (2)直接写出的值___________； (3)如图2，在（1）的条件下，在边上取一点P，使的值最小． 51．如图是由边长为1的小正方形组成网格，图中的点在格点上．请仅用无刻度直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示作图结果用实线表示． (1)在图1中作线段且； (2)在图2中；在线段上作点，使得；然后在上作点，使得． 题型十八 勾股定理的新定义（难点） 52．定义：过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”． (1)在中，． ①如图1，若O为的中点，则射线 的等腰分割线；(填“是”或“不是”) ②如图2，已知的一条等腰分割线交边于点P，且，请求出的长度． (2)如图3，中，为边上的高，F为的中点，过点F的直线l交于点E，作，垂足为M，N， ，且．若射线为的“等腰分割线”，求的最大值． 53．新考法定义：过直角三角形一直角边上的中点，向斜边引垂线，则称此垂线为直角三角形这一直角边上的直中斜垂线，直中斜垂线将斜边分为长度不相等的两条线段，其中较短的称为斜勾，较长的称为斜股． 性质：在直角三角形中，斜股与斜勾的平方差等于另一直角边的平方． (1)如图①，在中，是的中点，于点，则即为中直角边上的直中斜垂线，为斜勾，为斜股，求证：； (2)如图（2），在中，分别是中直角边的直中斜垂线，垂足分别为点，若，，求线段的长度． 54．【图形定义】 若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为“勾股高三角形”，两边交点为勾股顶点，如图，在中，，为边上的高，，则为勾股高三角形． 【性质探究】 为勾股高三角形， ，即， 又为的高， 在中，根据勾股定理得：， ，即． 【概念理解】 （1）等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； 【性质运用】 （2）如图，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高，，若，请求出线段的长； 【拓展提升】 （3）如图，等腰为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，，为边上的高，过点作边的平行线与边交于点若，请求出线段的长． $