专题08反比例函数（16大高频考点）（期中真题汇编，北师大版）九年级数学上学期

专题08反比例函数（16大高频考点） 16大高频考点概览 考点01反比例函数的定义 考点02反比例函数经过的点 考点03反比例函数性质的描述 考点04比较反比例函数的函数值的大小 考点05根据反比例函数经过的象限求参数 考点06反比例函数的图象问题 考点07根据反比例函数k的几何意义求面积 考点08已知面积求反比例函数的k值 考点09反比例函数的对称性 考点10反比例函数与一次函数的交点问题 考点11反比例函数与一次函数综合问题 考点12反比例函数的应用 考点13反比例函数与跨学科应用问题 考点14类反比例函数的性质探究问题 考点15反比例函数的新定义综合问题 考点16反比例函数与几何综合压轴问题 考点01反比例函数的定义 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）下列各式中，一定是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 ． 3．（24-25九年级上·山东东营·期中）已知函数是反比例函数，且正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值为 ． 考点02反比例函数经过的点 4．（24-25九年级上·陕西汉中·期中）若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（   ）． A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知点，则下列各点与点A在同一反比例函数图像上的是（　　） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·全国·期中）已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，则 ． 考点03反比例函数性质的描述 7．（24-25九年级上·全国·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．图象位于第二、四象限 D．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 8．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知反比例函数下列结论中不正确的是（   ） A．图像必经过点 B．图像位于第二、四象限 C．若，则 D．在每个象限内，随的增大而增大 考点04比较反比例函数的函数值的大小 9．（24-25九年级上·青海西宁·期中）已知，，在反比例函数的图象上，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·广西·期中）某反比例函数的图象如图所示，点A是图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C，若长方形面积为12． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，是该图象上的两点，比较m，n的大小． 考点05根据反比例函数经过的象限求参数 12．（24-25九年级上·广西崇左·期中）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则取值范围是 14．（24-25九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 考点06反比例函数的图象问题 15．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知关于的一元二次方程没有实数根，则函数的大致图像是（    ） A．B．C．D． 16．（24-25九年级上·湖南永州·期中）函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．  B．  C．  D．   17．（24-25九年级上·山东泰安·期中）根据所学知识，你推测函数的函数图象最可能是（    ） A．B．C．D． 考点07根据反比例函数k的几何意义求面积 18．（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分别为A，，则矩形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是双曲线和双曲线的图象，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于x轴，垂足为点M，则的面积为 ． 考点08已知面积求反比例函数的k值 21．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图像的一个分支上有一点A，平行于x轴，交y轴于点B，的面积是1，则反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．6 D．12 23．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，第四象限内的点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作轴于点A，当B为的中点，且面积为2，则k值为 ． 考点09反比例函数的对称性 24．（24-25九年级上·山东淄博·期中）正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 25．（22-23九年级上·山东济南·期中）直线与双曲线的一个交点坐标为则另一个交点的坐标为 ． 26．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，经过坐标原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图像上． （1）的值为 ． （2）若，，则的值为 ． 考点10反比例函数与一次函数的交点问题 27．（22-23九年级上·全国·期中）直线与双曲线交于，两点，则代数式的值为（    ） A．6 B．﹣9 C．27 D．18 28．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）把直线的图象向下平移个单位，与反比例函数的图象只有一个交点，则的值为（    ） A．1 B．5 C．2或4 D．1或5 29．（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 30．（24-25九年级上·青海西宁·期中）关于反比例函数的下列说法：①若，两点在该函数图象上，且，则：②当时，或；③当时，；④若反比例函数与一次函数的图象无交点，则的范围是．其中正确的是 （填序号）． 考点11反比例函数与一次函数综合问题 31．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 32．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点P的坐标； (3)当时，求x的取值范围． 33．（22-23九年级上·全国·期中）已知一次函数和反比例函数． (1)如图1，若，且函数、的图象都经过点． ①求，的值； ②直接写出当时，的取值范围； (2)如图2，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点．若，直线与函数的图象相交于点．当点，，中的一点到另外两点的距离相等时，求的值． 考点12反比例函数的应用 34．（24-25九年级上·河北沧州·期中）某市在创建文明城市工作中，充分了解民意后，预计将一处生活垃圾存放点改建成一所老年活动中心，这样必须把的生活垃圾运走，若每天运走，则需要天运完．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若减小，则减小 C．若，则 D．若减小一半，则增大一倍 35．（24-25九年级上·河北衡水·期中）矩形的面积为4．两邻边长分别为x，y，则y与x关系的图像大致为（   ） A． B． C． D． 36．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 37．（24-25九年级上·山东德州·期末）李明在“鱼菜共生系统对水质的影响”实验研究中，针对水质中的氨氮含量进行了实时监测，如图是水质中氨氮含量与时间x（天）的变化图象，其中为一条线段，段满足反比例函数关系， (1)段的函数解析式为________； (2)李明以普通养殖塘为对照组，发现对照组的氨氮含量与时间满足直线的函数解析式，则在第40天时，鱼菜共生系统水中的氨氮含量比普通养殖塘低多少？ 考点13反比例函数与跨学科应用问题 38．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度（，单位：）成反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（   ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体密度 D．当液体密度时，浸在液体中的高度 39．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．根据图象可知，下列说法不正确的是（　　）    A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的变化范围是 40．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在物理中，压强，压力，受力面积满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有____________；填写序号） (2)已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 41．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在物理实验室小红设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长且质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在左侧距离中点O处挂一个重的物体，为了保持木杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂），在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，改变弹簧测力计与中点O距离，看弹簧测力计的示数的变化情况．在做此实验后，得到的数据如表所示． 第1组 第2组 第3组 第4组 L/cm a 30 32 37.5 F/N 4.8 4 b 3.2 (1)在已学过的函数中选择合适的模型，求与的函数表达式； (2)补充表中数据：______，______； (3)在实验中发现，在弹簧测力计承受范围内，为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就______ A．变大    B．变小    C．不变 (4)若弹簧测力计的最大量程是，求L的取值范围． 考点14类反比例函数的性质探究问题 42．（24-25九年级上·广西贵港·期中）（综合与实践）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图．列表：下表是与的几组对应值，其中_____； x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题； ①当时，随增大而_____；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由函数的图象向_____平移_____一个单位长度而得到； ③函数的图象关于点_____成中心对称．（填点的坐标） (3)设、是函数的图象上的两点，且，试求的值． 43．（24-25九年级上·山东济南·期中）小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） (3)类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 考点15反比例函数的新定义综合问题 44．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”． 【概念辨析】 （1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”； ②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（，），依题意，，则，，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”． 那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由； （3）①如果长为x，宽为y（，）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象； ②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长． 45．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； (2)矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 考点16反比例函数与几何综合压轴问题 46．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 47．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）【阅读理解】定义：在同一平面内，有不在同一直线上的三点A、B、C，连接，设， ，则我们把称为点A到点C关于点B的“度比坐标”，把称为点C到点A关于点B的“度比坐标”． 【迁移运用】如图，在y轴的右侧，直角绕原点O按顺时针方向旋转，的两边分别与函数，的图象交于A，B两点． (1)如图1，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，求双曲线的解析式； (2)如图2，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，连接交x轴于点C，点C到点A关于点O的“度比坐标”为，； ①点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为，连接，求m的值及四边形的面积； ②将直线向右平移，分别交于点E，交于点F，问：是否存在某一位置使？若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 48．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于，B两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数解析式； (2)P为反比例函数图象上任意一点（不与重合） ①过P作交y轴于点Q，若，求P点坐标； ②如图2，直线与x轴、y轴分别交于点，直线分别与x轴y轴交于．试判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08反比例函数（16大高频考点） 16大高频考点概览 考点01反比例函数的定义 考点02反比例函数经过的点 考点03反比例函数性质的描述 考点04比较反比例函数的函数值的大小 考点05根据反比例函数经过的象限求参数 考点06反比例函数的图象问题 考点07根据反比例函数k的几何意义求面积 考点08已知面积求反比例函数的k值 考点09反比例函数的对称性 考点10反比例函数与一次函数的交点问题 考点11反比例函数与一次函数综合问题 考点12反比例函数的应用 考点13反比例函数与跨学科应用问题 考点14类反比例函数的性质探究问题 考点15反比例函数的新定义综合问题 考点16反比例函数与几何综合压轴问题 考点01反比例函数的定义 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）下列各式中，一定是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要反比例函数的定义，掌握形如（为常数且）或（）的函数是反比例函数成为解题的关键． 根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，即，符合的形式，且，因此一定是反比例函数，符合题意； B．，属于正比例函数（），不是反比例函数，不符合题意； C．，若未明确，当时，，因此不一定是反比例函数，不符合题意； D．不满足的形式，因此不是反比例函数，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的一般形式进行计算即可． 【详解】解：∵函数是关于的反比例函数， ∴，且， ∴， 故答案为：2． 3．（24-25九年级上·山东东营·期中）已知函数是反比例函数，且正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义以及正比例函数的性质．此题应根据反比例函数的定义求得k的值，再由正比例函数图象的性质确定出k的最终取值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， ∴， ∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 考点02反比例函数经过的点 4．（24-25九年级上·陕西汉中·期中）若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵，， ∴该图象也过点， 故选：． 5．（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知点，则下列各点与点A在同一反比例函数图像上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标的关系，应该满足函数解析式，即点的横纵坐标的积等于比例系数k，把各个点代入检验即可． 【详解】解：∵，，，， ∴只有A选项和点在同一反比例函数图像上． 故选：A． 6．（22-23九年级上·全国·期中）已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征得，然后求出的值即可，解题的关键是正确理解反比例函数（为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 【详解】解：∵和是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴， ∴． 故答案为：． 考点03反比例函数性质的描述 7．（24-25九年级上·全国·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．图象位于第二、四象限 D．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、当时，，图象不经过点，故选项A不符合题意； B、，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意； C、，故该函数图象位于第二、四象限，故选项C符合题意； D、反比例函数的两个分支关于原点成中心对称，也是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 8．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知反比例函数下列结论中不正确的是（   ） A．图像必经过点 B．图像位于第二、四象限 C．若，则 D．在每个象限内，随的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图像性质，逐项判断即可． 【详解】A、当时，，选项错误，符合题意； B、图像位于第二、四象限，选项正确，不符合题意； C、若，则，选项正确，不符合题意； D、在每个象限内，随的增大而增大，选项正确，不符合题意； 故选：A． 考点04比较反比例函数的函数值的大小 9．（24-25九年级上·青海西宁·期中）已知，，在反比例函数的图象上，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键 根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数图象的两个分支在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，然后根据象限及反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的比例系数为， ∴图象的两个分支在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点在第四象限，点，在第二象限， ∴最小， ∵，，，y随x的增大而增大， ∴， ∴． 故选：A． 10．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小．根据反比例函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性即可判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限内随着的增大而减小， ∵和都在反比例函数图象上，且， ∴， ∵在反比例函数图象上，， ∴， ∴． 故选：D． 11．（24-25九年级上·广西·期中）某反比例函数的图象如图所示，点A是图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C，若长方形面积为12． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，是该图象上的两点，比较m，n的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． （1）设点A的坐标为，根据反比例函数系数k的几何意义即可得出结论； （2）首先由，得到在每个象限内，y随x的增大而增大，进而求解即可． 【详解】（1）解：设点A的坐标为， 设反比例函数的解析式为． ∵长方形面积为12，                                      ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 考点05根据反比例函数经过的象限求参数 12．（24-25九年级上·广西崇左·期中）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，求不等式的解集，掌握反比例函数图象经过的象限确定反比例系数大符号是解题的关键． 根据反比例函数的图象分布在第二、四象限，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得，， 故选：D ． 13．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解本题的关键．根据反比例函数的性质，当图象在第二、四象限时，，解不等式即得答案． 【详解】解：因为反比例函数的图象在第二、四象限， 所以， 解得． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，然后求解即可； （2）当时，y随x的增大而减小，得到，，然后求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， a的取值范围是； （2）解：反比例函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小， ， 解得， a的取值范围是． 考点06反比例函数的图象问题 15．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知关于的一元二次方程没有实数根，则函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，反比例函数的图像与性质，根据一元二次方程没有实数根，得到，再求出函数的解析式，最后判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴当时，的函数图像位于第四象限； 当时，的函数图像位于第三象限； ∴函数的图像位于三、四象限， 故选：A． 16．（24-25九年级上·湖南永州·期中）函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数图象和一次函数图象，从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键． 根据一次函数与反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：对一次函数解析式进行变形，可得． 当时，，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数一定经过第一、三、四象限，故A、C错误； 当时，，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数一定经过第一、二、四象限，故B错误，D正确． 故选：D． 17．（24-25九年级上·山东泰安·期中）根据所学知识，你推测函数的函数图象最可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象类型知识的推理，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式进行推理即可求解． 【详解】解：∵在函数中，在分母上， ∴， 当时，，越大，的值越小； 当是，，越大，的值越小； ∴函数的图象形如反比例函数的图象， 故选：A ． 考点07根据反比例函数k的几何意义求面积 18．（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分别为A，，则矩形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义． 根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的面积为3． 故选：C． 19．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是双曲线和双曲线的图象，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 根据已知条件求出矩形的面积，以及的面积与的面积，用矩形的面积减去两个三角形的面积就是四边形的面积． 【详解】解：设点的坐标为， 的解析式为， ， 则， 设点的坐标为， 的解析式为， ， 则， 设点的坐标为， 的解析式为， ， 则， ， 故选：C． 20．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于x轴，垂足为点M，则的面积为 ． 【答案】/1.5/ 【分析】本题考查了反比例函数解析式中k的几何意义，根据反比例函数解析式中k的几何意义即可解答． 【详解】解：由题意得：，则， 设， ∴， 将代入反比例函数得：，即， 又∵，即为直角三角形， ∴． 故答案为：． 考点08已知面积求反比例函数的k值 21．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图像的一个分支上有一点A，平行于x轴，交y轴于点B，的面积是1，则反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的性质及三角形面积的计算；掌握利用坐标表示线段长度并结合面积公式求出的绝对值是解题的关键．通过设点A坐标，利用反比例函数性质得到，结合平行于轴确定点B坐标，再根据三角形面积公式求出，进而得到 ，确定反比例函数表达式． 【详解】设点A的坐标为，因为点A在反比例函数的图像上，所以满足，即， 由于平行于x轴且交y轴于点B，则点B与点A的纵坐标相同（均为b），且点B在y轴上（横坐标为0），因此点B的坐标为， 的三个顶点坐标分别为、、， 的长度为点A与点B的水平距离，即； 点O到的垂直距离为所在直线到原点的距离，即， 根据三角形面积公式，的面积为：面积底高， 化简得：， 由于，因此，即或， 反比例函数的表达式为或， 结合选项，因此最合理的表达式为． 22．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，设点A的坐标为，则，，，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得． 【详解】解：设点A的坐标为，则，，， ∵是的中位线， ∴，， ∵的面积为3，， ∴，即， ∴， 故选：A． 23．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，第四象限内的点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作轴于点A，当B为的中点，且面积为2，则k值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于．根据反比例函数系数k的几何意义得出的面积的面积，再根据双曲线所在的象限即可求出k的值． 【详解】解：∵点B为的中点，且面积为2， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 考点09反比例函数的对称性 24．（24-25九年级上·山东淄博·期中）正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数图象的性质．由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵A的坐标为， ∴B的坐标为， 故选：C． 25．（22-23九年级上·山东济南·期中）直线与双曲线的一个交点坐标为则另一个交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线的一个交点坐标为 ∴解得 ∴直线与双曲线的一个交点坐标为 ∴另一交点的坐标是 故答案是： 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握“反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称”是关键． 26．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，经过坐标原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图像上． （1）的值为 ． （2）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】（1）由反比例函数图象的中心对称性可得，，由反比例函数图象上点的坐标特征可得，，即，将，代入即可求出它的值； （2）连接，过点作轴于点，过点作轴于点，易证得，于是可得，由于，因而可设，，进而可得，，于是可得，设点的坐标为，则可得，，由可得，，于是可得，进而可以推出，然后由反比例函数图象上点的坐标特征即可得解． 【详解】解：（1），关于原点对称， ，， ，两点在反比例函数的图象上， ，， ， ， 故答案为：； （2）如图，连接， 由反比例函数图象的中心对称性可知：， 又， ， ， 过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 可设，， ， ， ， 设点的坐标为， 则， ， ， ， ， ， ，， ， 由（1）可得：， ， ， 点在反比例函数的图像上， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，由反比例函数图象的对称性求点的坐标，等式的性质，代数式求值，线段垂直平分线的判定，垂线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，已知两点坐标求两点距离等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 考点10反比例函数与一次函数的交点问题 27．（22-23九年级上·全国·期中）直线与双曲线交于，两点，则代数式的值为（    ） A．6 B．﹣9 C．27 D．18 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质（图象上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标关系）；掌握利用对称点的坐标关系转化表达式中的未知数是解题的关键．根据反比例函数图象上关于原点对称的点的坐标关系，结合反比例函数性质即可得出结果． 【详解】解：反比例函数图象上点的坐标特征可知点，关于原点对称， ∴，， 把代入双曲线得， ∴ ， 故选：D． 28．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）把直线的图象向下平移个单位，与反比例函数的图象只有一个交点，则的值为（    ） A．1 B．5 C．2或4 D．1或5 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，先求出平移后得到新直线，联立得出，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将直线向下平移个单位后，得到新直线， 联立该直线与反比例函数，消去得：， 两边乘以并整理为二次方程：， 令判别式， 解得或， 因此，的值为1或5， 故选：D． 29．（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，掌握函数与不等式的关系是解答关键． 根据图象确定出它们的交点，利用交点坐标来确定出不等式的解集． 【详解】解：由图象可知，一次函数与反比例函数的交点是和， 所以当或时，． 故选：C． 30．（24-25九年级上·青海西宁·期中）关于反比例函数的下列说法：①若，两点在该函数图象上，且，则：②当时，或；③当时，；④若反比例函数与一次函数的图象无交点，则的范围是．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数、二次函数与不等式、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．根据这个反比例函数的图象位于第二、四象限，与0的大小关系不能确定，由此即可判断①错误；求出当时，，再结合函数图象即可判断②正确；求出当时，，再结合函数图象即可判断③正确；联立反比例函数与一次函数的解析式可得方程，根据这个一元二次方程根的判别式小于0可得，再利用二次函数的性质解不等式，由此即可判断④正确． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴这个反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵与0的大小关系不能确定， ∴不能判断，则说法①错误； 当时，， 如图，由函数图象可知，当时，或，则说法②正确； 当时，， 由函数图象可知，当时，，则说法③正确； 联立得：， 整理得：， ∵反比例函数与一次函数的图象无交点， ∴一元二次方程没有实数根， ∴这个方程根的判别式，即， 令， 当时，，解得或， ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴的两个交点坐标为和， ∴由二次函数的性质得：当时，， 即的解集为， ∴反比例函数与一次函数的图象无交点，则的范围是，说法④正确； 综上，正确的是②③④， 故答案为：②③④． 考点11反比例函数与一次函数综合问题 31．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合运用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先把点的横坐标为1代入，求出，再用待定系数法求出的值； （2）由可得是以为底，到距离为高的三角形面积，故把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点，对应直线间距离都与到距离相等，分别联立方程组，由此可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1，且点在函数图象上， ∴， 将点代入反比例函数，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵直线与轴交点为，而， ∴把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点， 即，解得：，（舍去） 或，解得：，（舍去） ∴点的坐标为或． 32．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点P的坐标； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）先把点代入，求出的值，再用待定系数法求出的值即可； （2）先求出和长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，，，利用得到，列出方程进行求解即可； （3）首先求出一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，，然后根据图象求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得， ∴，， ∵， ∴，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，，， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴； （3）解：联立和得，， 整理得，， 解得或， 将代入， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图象可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． 33．（22-23九年级上·全国·期中）已知一次函数和反比例函数． (1)如图1，若，且函数、的图象都经过点． ①求，的值； ②直接写出当时，的取值范围； (2)如图2，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点．若，直线与函数的图象相交于点．当点，，中的一点到另外两点的距离相等时，求的值． 【答案】(1)①，；② (2)或4 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求函数解析式，关键是通过确定点的坐标，求出对应线段的长度，进而求解． （1）①将点的坐标代入一次函数表达式即可求解，将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解； ②由图象可以直接得出结论； （2），，，由或或得：或0或2，即可求解． 【详解】（1）①将点的坐标代入一次函数表达式并解得：， 将点的坐标代入反比例函数得：； ②由图象可以得：当时，； （2）当时，点、、的坐标分别为、、， 则，，， 则或或， 即：或或， 即：或0或2或4， 当时，与题意不符， 点不能在的下方，即也不存在，，故不成立， 故或4． 考点12反比例函数的应用 34．（24-25九年级上·河北沧州·期中）某市在创建文明城市工作中，充分了解民意后，预计将一处生活垃圾存放点改建成一所老年活动中心，这样必须把的生活垃圾运走，若每天运走，则需要天运完．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若减小，则减小 C．若，则 D．若减小一半，则增大一倍 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数，然后逐项计算判断即可． 【详解】解：由题意得，； A、若，则，正确，故此选项不符合题意； B、若x减小，则y增大，原说法错误，故此选项符合题意； C、若，则，正确，故此选项不符合题意； D、若x减小一半，即，所以y增大一倍，正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 35．（24-25九年级上·河北衡水·期中）矩形的面积为4．两邻边长分别为x，y，则y与x关系的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据矩形的面积求出y与x的函数关系式，根据关系式得到图像即可． 【详解】解：由题意可得：，且， ，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选C． 36．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 【答案】(1) (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得：， ∴； （2）当时，； 答：整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为． 37．（24-25九年级上·山东德州·期末）李明在“鱼菜共生系统对水质的影响”实验研究中，针对水质中的氨氮含量进行了实时监测，如图是水质中氨氮含量与时间x（天）的变化图象，其中为一条线段，段满足反比例函数关系， (1)段的函数解析式为________； (2)李明以普通养殖塘为对照组，发现对照组的氨氮含量与时间满足直线的函数解析式，则在第40天时，鱼菜共生系统水中的氨氮含量比普通养殖塘低多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设段的函数解析式为，故，从而可以得解； （2）依据题意，设直线为，又，，从而，进而求出解析式，再令，求出y，又对于函数，当时，求出y，最后比较即可得解． 【详解】（1）解：由题意，设段的函数解析式为， ， 段的函数解析式为， 故答案为：； （2）解：由题意，设直线为， 又∵，， ， ，， 直线为， 当时，， 又对于函数， 当时， ， ， 鱼菜共生系统水中的氨氮含量比普通养殖塘低． 考点13反比例函数与跨学科应用问题 38．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度（，单位：）成反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（   ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体密度 D．当液体密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意； D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，错误，因为浸在液体中的高度不能无限大，故不符合题意； 故选：C． 39．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．根据图象可知，下列说法不正确的是（　　）    A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的变化范围是 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用．设，把代入求出k，即可判断A；令，求出，即可判断B；结合图象即可判断C；当或9时，求出的对应值，即可判断D． 【详解】解：设， 把代入上式得，， ∴， ∴， 故选项A正确，不符合题意； 当时，， 故选项B正确，不符合题意； 由图象可得，当时，， 故选项C不正确，符合题意； 当时，，时，， ∴时，， 故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 40．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在物理中，压强，压力，受力面积满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有____________；填写序号） (2)已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 【答案】(1) (2)这块薄木板的面积至少． 【分析】本题考查了函数的图象，反比例函数的应用，掌握函数图象的特点是解题的关键． （）根据函数解析式即可判断求解； （）把，代入计算即可求解； 把，代入计算即可求解； 【详解】（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确； 当为定值时，，是的正比例函数，故错误； 当为定值时，是的正比例函数，故正确； ∴正确的有， 故答案为：； （2）解：把，代入 得，， ∵， ∴小明不能安全地站在这块冰面上； 把，代入得，， 解得， ∴这块薄木板的面积至少． 41．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在物理实验室小红设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长且质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在左侧距离中点O处挂一个重的物体，为了保持木杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂），在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，改变弹簧测力计与中点O距离，看弹簧测力计的示数的变化情况．在做此实验后，得到的数据如表所示． 第1组 第2组 第3组 第4组 L/cm a 30 32 37.5 F/N 4.8 4 b 3.2 (1)在已学过的函数中选择合适的模型，求与的函数表达式； (2)补充表中数据：______，______； (3)在实验中发现，在弹簧测力计承受范围内，为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就______ A．变大    B．变小    C．不变 (4)若弹簧测力计的最大量程是，求L的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)A (4) 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，理解题目中数量关系，掌握反比例函数图形的性质是解题的关键． （1）由表格中第2组和第4组的数据可得，从而可得结论； （2）根据（1）中关系式可得结论； （3）根据实验可得为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就变大； （4）根据弹簧秤的最大量程是5牛，即可得到结论． 【详解】（1）解：表格数据知． F与L的函数关系式为：； （2）解：在中， 当时，，所以，； 当时，, 故答案为：25；； （3）解：根据实验可得为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就变大； 故选：A； （4）解：当时，由得． 由题意可知，， ∴根据反比例函数的图象与性质可得，L的取值范围为． 考点14类反比例函数的性质探究问题 42．（24-25九年级上·广西贵港·期中）（综合与实践）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图．列表：下表是与的几组对应值，其中_____； x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题； ①当时，随增大而_____；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由函数的图象向_____平移_____一个单位长度而得到； ③函数的图象关于点_____成中心对称．（填点的坐标） (3)设、是函数的图象上的两点，且，试求的值． 【答案】(1)0；图见详解 (2)①减小②下，1；③ (3)2024 【分析】本题考查反比例函数的图象的平移和性质．根据列表、描点、连线画出函数图象，根据图象得到函数的性质是解题的关键． （1）将代入解析式求出函数值即可；将图中的点用平滑的曲线进行连接即可； （2）根据图象可分别求解①②③小题； （3）将点代入解析式，结合进行计算即可． 【详解】（1）解：当时：， ； 如图： 故答案为：0； （2）解：如图， ①当时，随增大而减小； ②， 函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度而得到； ③的图象关于原点对称， 的图象关于对称． 故答案为：减小；下，1；； （3）解：把，代入函数得： ，， ∵， ． 43．（24-25九年级上·山东济南·期中）小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） (3)类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 【答案】(1)①，③见详解 (2)①减小，② (3)①向右平移1个单位；②向左平移个单位 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及画反比例函数图象，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①直接把和分别代入，进行计算，③用平滑的曲线顺次连接即可作答． （2）运用数形结合思想即可作答①②． （3）运用类比法得出平移规律，即可作答． 【详解】（1）解：①把代入， 得 把代入， 得； 故答案为：， ②描点：如图所示； ③如图所示： （2）解：①当时，随的增大而减小； ②函数的图象的对称中心是， 故答案为：减小，； （3）解：①结合图象，得出函数的图象可以由反比例函数的图象经过向右平移个单位得到的； ②由反比例函数的分母特征得出函数是由向右平移个单位长度得到的， ∵与的分母差值为， ∴函数的图象向左平移个单位可以得到函数的图象 考点15反比例函数的新定义综合问题 44．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”． 【概念辨析】 （1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”； ②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（，），依题意，，则，，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”． 那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由； （3）①如果长为x，宽为y（，）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象； ②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长． 【答案】（1）①是；②24，16；（2）存在，矩形的长为：；（3）①画出函数的图象见解答，函数的表达式为：；②7.2（答案不唯一）． 【分析】（1）由新定义即可求解； (2)从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”，联立两个函数表达式得∶ ，即可求解； （3)①由新定义求出函数表达式，画出函数图象即可；②在①的图象中，函数的图象，得到两个函数交点即可． 【详解】解：（1）①边长为4的正方形的周长和面积均为16，故该正方形为“完美矩形”， 故答案为∶是； ②由新定义知，矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长24，面积为16． 故答案为∶ 24，16； （2）存在， 理由：从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”， 联立两个函数表达式得∶ ， 解得∶ 或 (舍去)， 即矩形的长为：； （3）①画出函数的图象， 由题意得，矩形的周长为，面积为，则，即， 列表如下： 描点、连线，如下图所示： ②长为x，宽为的矩形是一个“完美矩形”的周长为20，则， 即， 在①的图象中，函数的图象，两个函数的交点为∶2.9和7.2(答案不唯一)，则周长为20的“完美矩形”的长7.2(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，认真阅读理解新定义“矩形B是矩形A的n倍契合矩形”，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 45．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； (2)矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 【答案】(1)是矩形的“友好函数” (2)①；②；③ 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； 分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可； 分四种情况讨论，当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，根据矩形面积公式，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； （2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形的“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， , ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即  ，， ， ， ， 当时，， 当时，即时，如图， 设点， 则， ； 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ， ， 当时，， 综上所述，， ③当，且时，解得，则， ， ， 当，且时，解得，则， ， ， 当，且时，解得，不符合题意， 当，且时， 解得，则， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键； 考点16反比例函数与几何综合压轴问题 46．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：；一次函数的表达式为：； (2)或； (3)点的坐标为：或或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题考查函数与几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图像和性质，反比例函数的图像和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形存在性问题，进行解答，即可． （1）根据点，在一次函数和反比例函数的图像上，利用待定系数法，即可； （2）由函数图像，当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，，即可； （3）根据平行四边形的性质，分类讨论：①当，是对角线；②当，是对角线时；③当，是对角线时，根据中点坐标，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵，在反比例函数图像上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：； ∴， ∴， ∴点， ∵点，在一次函数， ∴， 解得：， ∴， ∴一次函数的表达式为：． （2）解：由（1）得，， 当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，， ∴当或时，． （3）解：∵点在轴上，点在反比例函数图像， ∴设点，， ∵四边形是平行四边形， ∴①当，是对角线， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ②当，是对角线时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③当，是对角线时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为：或或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 47．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）【阅读理解】定义：在同一平面内，有不在同一直线上的三点A、B、C，连接，设， ，则我们把称为点A到点C关于点B的“度比坐标”，把称为点C到点A关于点B的“度比坐标”． 【迁移运用】如图，在y轴的右侧，直角绕原点O按顺时针方向旋转，的两边分别与函数，的图象交于A，B两点． (1)如图1，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，求双曲线的解析式； (2)如图2，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，连接交x轴于点C，点C到点A关于点O的“度比坐标”为，； ①点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为，连接，求m的值及四边形的面积； ②将直线向右平移，分别交于点E，交于点F，问：是否存在某一位置使？若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为M、N，证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质求出的面积，进而求出比例系数即可； （2）按照（1）的方法求出反比例函数解析式，再求出点C和点A坐标，①根据点D到点A关于点O的“度比坐标”求出点D坐标即可；②根据表示出平移后与反比例函数交点坐标，代入反比例函数解析式即可． 【详解】（1）解：过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为M、N， ∴， ∵点A到点B关于点O的“度比坐标”为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A在图象上， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵点A到点B关于点O的“度比坐标”为， ∴，， 过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为H、G， 类似（1）的方法可知，且相似比是1， ∴，， ∴反比例函数解析式为， ∵点C到点A关于点O的“度比坐标”为， ∴， ∴， ∵， ∴，， 则点A坐标为，点B坐标为， 由点A坐标和点B坐标求得直线的解析式为， 当时，， ， 点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为， ∴，， ∴，， 过点D作的垂线，垂足为L， ∴， ∵， ∴，， 四边形的面积为， ②存在某一位置使； 过点E、点F作x轴的垂线，垂足分别为Q、R， 因为直线向右平移，分别交于点E，交于点F， 所以， 设，则，，，，， ，， ， ∴， 解得，，（舍去）， ， 所以点E坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数和新定义，解题关键是准确理解“度比坐标”，熟练运用反比例函数的性质和相似三角形的性质求解． 48．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于，B两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数解析式； (2)P为反比例函数图象上任意一点（不与重合） ①过P作交y轴于点Q，若，求P点坐标； ②如图2，直线与x轴、y轴分别交于点，直线分别与x轴y轴交于．试判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②是定值， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①证明，则，得到，进而求解；②求出直线的表达式为：，得到点的坐标分别为：，同理求出的坐标分别为：，即可求解． 【详解】（1）解：当时，，即点， 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：， 则反比例函数表达式为：； （2）设直线交y轴于点T，由直线的表达式知，当时，， ∴点， ∴， 联立直线和反比例函数的表达式得：， 解得：（舍去）或，则点， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ①过点P作y轴的平行线交过点Q和x轴的平行线于点N， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 即点P的横坐标为或6， 即点或； ②为定值，理由： 设点P的坐标为：， 设直线的表达式为：． 把代入得： ， ∴， ∴直线的表达式为：， 令，则，令，则， 即点的坐标分别为：、， 设直线的表达式为， 把代入得： ， ∴， ∴直线的表达式为， 令，则，令，则， ∴， ∴， ， 即． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数的性质等，分类求解和数据运算是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $