圆的方程知识点与题型总结讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆的方程知识点与题型总结讲义 圆的方程知识点与题型总结讲义 考点目录 圆的定义与方程 以圆为背景的位置关系问题 以圆为背景的弦长问题 以圆为背景的切线 切线长定理 以圆为背景的最值问题 以圆为背景的对称问题 考点一 圆的定义与方程 【知识点解析】 1. 圆的定义与方程 知识点 知识点解析 圆的定义 到定点的距离相等的点的集合. 圆的两要素 圆心与半径. 圆的标准方程 若已知圆的圆心为，半径为，则标准方程为. 圆的一般方程 ，其中. ①若题目提及圆心与半径，优先考虑用圆的标准方程. ②满足形式的不一定是圆的方程，配方变形成标准方程之后需保证方程右边为正数. 2.求轨迹方程的五个步骤 （1）设定变量与坐标系：建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点的坐标； （2）分析几何条件：写出适合条件的点的集合； （3）代数化几何条件：用坐标表示条件，列出方程； （4）化简方程：化方程为最简形式； （5）査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 【例题分析】 考向一 圆的标准方程 1．（25-26高二上·天津·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 2．（25-26高三上·北京房山·开学考试）把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为原点， 原点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到， 故得到. 故选：C 3．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为. 故选：B. 4．（2025·北京海淀·二模）圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为且与轴相切，所以半径， 则圆的方程为. 故选：D 5．（24-25高二下·河南周口·期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆心坐标为： 由题意可知圆的标准方程为：， 由圆过点， 所以，解得：， 所以圆的标准方程为， 故选：C 6．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆心为的圆的方程为， 又因为原点在圆上，则， 所以. 故选：D. 7．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设圆的标准方程为， 由题意得， 解得， 故圆的方程为， 故选：B 8．（24-25高二上·吉林长春·期中）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点，在圆上，，中点坐标为， 则直线的垂直平分线的直线方程为即， 则圆心为直线与垂直平分线的交点，则联立方程组： ，解得，则圆心为，， 所以圆的方程为：. 故选：A 考向二 圆的一般方程 1．（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 得， 可知圆C的圆心坐标为． 故选：C 2．（24-25高一下·浙江宁波·期末）“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】由题意有， 所以或， 由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件， 故选：A. 3．（24-25高三下·山西·期中）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将圆方程化为标准方程得， 所以圆心坐标为． 故选：D 4．（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若方程表示圆，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 5．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）过，，三点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设所求圆的一般方程为， 代入A，B，C三点，得，解得， 所以圆的一般方程为，即. 故选：B 6．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， ，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 7．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过三点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆的方程为， 因为圆三点，，， 可得，解方程可得， 即圆的方程为，即圆的标准方程为. 故选：A. 8．（24-25高二上·广东佛山·期中）若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】圆化为标准方程为， 则圆心为，半径， 由题意得，解得. 故选：C. 考向三 曲线的轨迹方程 1．（2025·内蒙古赤峰·一模）在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则点、， 设点，由可得， 整理可得，化为标准方程得，如下图所示： 所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 因此，点轨迹的长度为. 故选：A. 2．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知平面直角系中，，，点满足，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为，则，整理得. 故选：B． 3．（24-25高二上·广西·期中）已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，所以， 又在圆：上， 故，即的方程为． 故选：C 4．（24-25高二下·广西·开学考试）已知两定点，若动点满足，则点的轨迹所围成的图形的面积等于 ． 【答案】 【详解】设，则，整理得， 因此点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 所以点的轨迹所围成的图形的面积等于. 故答案为： 5．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是 ． 【答案】 【详解】设平面内的动点，由得， 所以， 化简得，整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以周长是. 故答案为：. 6．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)最小值是，最大值是 【详解】（1） 设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆. （2） 由（1）可知：，半径是2，圆心． 因，故在圆外， 故的最小值是，最大值是. 考点二 以圆为背景的位置关系问题 【知识点解析】 1．点与圆的位置关系 点与圆和的位置关系是： 位置关系 几何法 代数法 在圆内 点到圆心的距离小于半径 或 在圆上 点到圆心的距离等于半径 或 在圆外 点到圆心的距离大于半径 或 2．直线与圆的位置关系 位置关系 几何法 代数法 相切 圆心到直线的距离等于半径 联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式 相交 圆心到直线的距离小于半径 联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式 相离 圆心到直线的距离大于半径 联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式 3．圆与圆的位置关系 ：与：的位置关系是： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内离 判定方法 【例题分析】 考向一 直线与圆的位置关系 1．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】C 【详解】由， 可知：圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相离， 故选：C 2．（25-26高三上·江西·阶段练习）圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】A 【详解】圆圆心到直线的距离， 所以圆与直线的位置关系是相交. 故选：A 3．（25-26高三上·广西·开学考试）已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【详解】由题意可得直线：过定点. 因为，所以点在圆内， 则直线与圆相交. 故选：C. 4．（2025·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【详解】已知圆：，则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，即直线经过圆心. 故选：C. 5．（2025·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】C 【详解】因直线过定点， 由配方得：，可得圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内，故直线与圆相交. 故选：C. 6．（24-25高二下·浙江·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【详解】由，即圆心，半径， 所以到的距离， 所以直线与圆相交. 故选：B 7．（25-26高三上·福建漳州·开学考试）将直线沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数 . 【答案】或 【详解】向左平移个单位得到， 圆化为，圆心为，半径为， 因为相切，所以解得或， 故答案为：或 8．（2025·北京顺义·一模）已知直线：与圆：有两个交点，则可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】由圆：，可知：圆心，半径. 直线方程的一般式为. 由点到直线距离公式和题意可得： ，解得：. 所以可以是. 故答案为：（答案不唯一） 考向二 圆与圆的位置关系 1．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】B 【详解】对于圆，圆心为，半径； 对于圆，圆心为，半径. 两圆圆心距，又， 所以，所以两圆外切. 故选：B 2．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 圆的圆心，半径， 而，所以圆和圆相交. 故选：C 4．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为， 则，故两圆外切， 因圆C覆盖圆，，所以圆半径的最小值为. 故选：A. 5．（2025·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得， 解得：． 故选：B 6．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C 7．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 【答案】或 【详解】圆和圆有一个公共点，则两圆内切或外切， 由题可得，解得或． 故答案为：或 8．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知圆与圆内切，则实数 ． 【答案】 【详解】，故圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 因为两圆内切，所以两圆圆心距离为两半径之差，故，解得. 故答案为： 9．（24-25高二上·河南·期末）若圆与圆恰有一个公共点，则的值为 ． 【答案】或6 【详解】圆，该圆的圆心坐标为，半径（）. 而圆的圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，两圆的圆心距. 因为两圆恰有一个公共点，所以两圆内切或外切. 当两圆外切时， ，可得，解得； 当两圆内切时， ，可得. 当时，解得. 当时，（不成立，因为算术平方根是非负的）. 故的值为或. 故答案为：或. 10．（24-25高二上·北京·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则半径r可以是 ．（写出一个符合题目要求的取值即可） 【答案】3（答案不唯一） 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为r， 因为圆和圆相交于A，B两点， 所以. 故答案为：3（答案不唯一） 考向三 直线与半圆的交点问题 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）过定点的直线与曲线交于不同的两点，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【详解】由已知曲线表示的是以为圆心，以为半径的上半圆， 由题意可知直线的斜率一定存在且大于零，可设方程为，即 当直线与圆相切时，即，得，解得， 所以直线的斜率的取值范围是. 2．（24-25高二下·上海·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【详解】曲线即, 如图所示，当即时，直线与曲线有两个公共点， 直线向左上移动，当直线与曲线相切时，有一个公共点， 原点到直线的距离为半径，即，解得， 所以，当有两个公共点时. 故答案为：. 3．（2025·重庆·二模）过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 . 【答案】 【详解】由曲线，得， 作出图象如下： 设过点且与半圆相切的直线的斜率为， 则直线方程为，即． 由，解得或（舍去）， 直线的斜率的最大值为． 故答案为： 4．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）已知直线与曲线有一个公共点，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】曲线， ，即曲线表示圆的上半圆， 直线变形可得， 该直线过定点，且斜率为，如图所示，    当直线与半圆相切时， 则有，即， 解得，由图得，舍去， 当直线过点时，， 当直线过点时，， 由图形可知， 当曲线与直线有一个公共点时， 或． 故答案为：或． 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是 . 【答案】 【详解】曲线即，表示以为圆心，以1为半径的一个半圆， 直线表示斜率为1的一组平行线，当直线过时，， 当直线和半圆相切时，由，解得或（舍去）， 要使曲线与直线有两个相异的交点，则b满足， 故答案为：.    6．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆， 是倾斜角为的直线，与曲线有且只有一个公共点有两种情况： ①直线与半圆相切，根据圆心到直线的距离，结合图象可得； ②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知. 综上可知，或 故答案为： 7．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】直线，即，过定点， 曲线（）， 可化为（）， 即以为圆心，半径为的圆的上半部分， 画出直线和半圆的图象如下图所示， 设，则的最小值为. 当直线与半圆相切于点时，圆心到直线的距离： ，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 8．（2025·云南·模拟预测）若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，，即； 当时，，即. 如图：    直线恒过，记， 则，， 当与相切时，，解得， 当与相切时，，解得， 结合图象可知，实数的取值范围是. 故答案为： 考点三 弦长问题 【知识点解析】 1. 直线与圆的弦长问题：若直线：与圆的方程为相交 处理方法 处理步骤 图解 几何法 （1）求圆心到直线的距离，圆的半径； （2）弦长为，则，整理得. 代数法 （1）联立直线与圆的方程，消元得二次方程，整理韦达定理； （2）设直线与圆的两交点分别是， 则. ※不管用哪种方法，设直线时需考虑直线斜率是否存在 2. 圆与圆的公共弦问题：若：与：相交 问题 处理方法 公共弦方程 将与的方程联立，消去与，可得公共弦方程. 公共弦弦长 先求公共弦，再转化为公共弦与圆的弦长问题. 【例题分析】 考向一 弦长问题 1．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题设即， 令得，所以直线过定点， 而即， 所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时. 故选：D 2．（25-26高三上·北京·开学考试）直线被圆所截得的弦长为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】由， 可得圆的圆心为，半径为. 因圆心到直线的距离为：，则直线经过圆心. 所以直线被圆所截得的弦长为圆的直径，为. 故选：C 3．（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆心到直线的距离为， 则， 所以. 故选：A. 4．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 【答案】A 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 所以， 故选：A． 5．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】原圆方程配方得， 所以圆心为，半径， 因为直线， 所以直线过定点，因为定点和圆心的距离， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为， 所以弦长最短为. 故选：C. 6．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 【答案】A 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为， 所以， 化简得，解得. 故选：A. 7．（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为圆，所以圆心为，半径为. 设圆心到直线距离为：. 因为直线与圆截得的弦长为. 所以. 解得：. 故选：. 8．（2025·福建·模拟预测）已知直线与圆相交于，两点，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】设圆心到直线的距离为， 则由点到直线的距离公式可得， 因为，圆的半径为，所以，解得. 故选：D. 9．（25-26高二上·湖北·期中）已知三点，记的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将三点代入上式可得，， 解得， 所以圆的一般方程为 将其化为标准方程为； （2）由（1）可知，圆心，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. 10．（24-25高二上·天津·期中）已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； （2）圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 11．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆心为的圆经过点 (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆C交于两点，且，求的值. (3)求直线被圆截得弦长的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）圆的半径为， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）可知，圆的圆心是，半径为， 圆心到直线的距离， ，由于， 所以，， 所以或. （3）直线，即， 所以直线过定点，与圆心的距离为， 所以最短弦长为. 12．（24-25高二上·浙江·期中）如图，已知圆为坐标原点，过点作直线交圆于点，过点分别作圆的切线，两条切线相交于点． (1)若直线的斜率为1，求的值； (2)求点的轨迹方程； (3)若两条切线与轴分别交于点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）直线l为，圆的半径，圆心到直线的距离，所以. （2）由（1）知，直线l的斜率不能为0，故可设直线l的方程为， 代入圆M的方程，消去y，得：, 设， 则，， 过点A的圆的切线方程为：① 过点B的圆的切线方程为：,② 由①②解得,所以点P的轨迹是直线. （3）①中令,, ②中令,, 则. 当时，最小值为.此时直线l为，. 考向二 公共弦问题 1．（24-25高二上·湖南长沙·期中）圆与圆的交点为A，B，则公共弦AB所在的直线的方程是 . 【答案】 【详解】由题意可知圆与圆相交， 两圆方程相减得，， 故公共弦AB所在的直线的方程是. 故答案为： 2．（24-25高二上·吉林四平·期末）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【详解】：和圆：的圆心和半径分别为, 故，故两个圆相交， 因此公共弦所在的直线方程为，即， 故答案为： 3．（2024·新疆喀什·二模）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ． 【答案】 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 显然，因此圆相交， 所以两圆公共弦所在直线的方程为，即. 故答案为： 4．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦的弦长为 . 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，即圆与圆相交，其公共弦所在直线的方程为， 点到直线的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 5．（24-25高二上·天津河北·期中）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ：公共弦长为 . 【答案】 【详解】易知两圆相交，将两圆方程相减可得，即； 所以两圆公共弦所在直线的方程为； 易知圆的圆心为，半径为； 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：； 考点四 切线问题 【知识点解析】 1. 过定点切线问题：若点在外，求过点与相切的直线 切线类型 处理方法 斜率存在 （1） 设切线为； （2） 利用几何法（圆心到直线距离等于半径）或代数法（直线与圆的方程联立所得二次方程根的判别式等于0）求参数. 斜率不存在 检验圆心到直线的距离与半径是否相等. 2.公切线问题 圆与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内离 公切线数量 4 3 2 1 0 图解 3. 公切线的求解：已知：与： 切线类型 处理方法 斜率存在 （1） 设公切线为； （2） 利用几何法（圆心到直线距离等于半径）或代数法（直线与圆的方程联立所得二次方程根的判别式等于0）求参数. 斜率不存在 观察图像是否存在与轴的直线与两圆同时相切 两圆相切的公切线 （1） 求直线的斜率； （2） 利用有一条公切线与直线垂直，设公切线为； （3） 利用几何法（圆心到直线距离等于半径）或代数法（直线与圆的方程联立所得二次方程根的判别式等于0）求参数. 【例题分析】 考向一 切线问题 1．（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）经过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知切线斜率存在，设该切线方程为，即， 则有，化简得，故， 故该切线方程为，即. 故选：C. 2．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以圆心，半径， ①当切线斜率不存在时，无法与圆相切，舍； ②当切线斜率存在时，不妨设，则，解得. 所以切线方程为. 故选：D. 3．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆经过点， 将点代入圆的方程可得：.即，所以， 则圆的方程为. 对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.： 根据斜率公式，这里，，则. 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则. 已知，所以切线的斜率. 又因为切线过点，根据点斜式方程（这里）， 可得切线方程为.整理得. 故选：A. 4．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，即，则其圆心为，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，解得，此时切线方程为. 故选：C. 5．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由于点在圆上， 所以，所以圆， 所以圆心，， 所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为， 化简得. 故答案为： 6．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知圆和点，则过点的的切线方程为 . 【答案】或 【详解】由圆方程可得圆心，半径； 当过点直线斜率不存在时，即时，圆心到其距离，与相切； 当过点的的切线斜率存在时，可设为，即， 圆心到切线的距离，解得：， 切线方程为，即； 综上所述：所求切线方程为或. 故答案为：或. 7．（24-25高二上·重庆长寿·期末）在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为，已知圆是以以为直径的圆． (1)求圆的方程． (2)求以点为切点的圆的切线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知点，点，根据中点坐标公式，圆心的坐标为. 根据两点间距离公式，则直径长度为， 所以圆的半径. 所以圆的方程为. （2）根据斜率公式，圆心与切点连线的斜率. 因为圆心与切点的连线和切线垂直，若两条垂直直线的斜率都存在，则它们斜率之积为. 设切线的斜率为，则，即，解得. 已知切线过点，斜率为，根据直线的点斜式方程,则切线方程为， 整理得. 8．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知圆，为圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、. (1)当点的坐标为时，求两条切线方程； (2)求的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【详解】（1）由题意可知，圆的圆心为，半径为， 若切线的斜率不存在时，则切线方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意； 所以，切线的斜率存在，设过点的切线方程为，即， 圆心到直线的距离，整理可得， 解得或， 故所求切线方程为或，即或. （2）连接，交于点，设，其中， 所以，在中，， 所以， 因为为圆上一动点，所以， 即，所以，即， 所以的取值范围为. 考向二 判断公切线数量或已知公切线数量求参 1．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有四条，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由两圆的公切线恰有四条，即两圆相离， 对于，圆心，半径， 对于，圆心，半径， 所以，则，即或. 故选：D 2．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知圆，圆，若圆与圆恰有三条公切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，且， 由题意可得，即，解得. 故选：B. 3．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由圆可得：， 所以该圆心，半径， 又由圆可得：， 所以该圆心，半径， 由于圆心距，而， 所以，即两圆相外切， 所以两圆的公切线有3条， 故选：C. 4．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知圆与圆恰有三条公切线，则（   ） A．15 B．23 C．21 D．17 【答案】B 【详解】的标准形式为. 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切， 所以，解得. 故选：B. 5．（24-25高二上·安徽合肥·期中）圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径. 因为，所以两圆外切，所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C. 6．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 【答案】 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 由，得到， 则，即，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切， 则，即，解得， 故答案为：. 7．（24-25高二上·吉林·期末）圆和圆的公切线条数为 . 【答案】4 【详解】∵圆，圆， ∴ ∴圆心距， 而两圆半径之和， ∴两个圆相离，则这两个圆的公切线有4条. 故答案为：4. 考向三 公切线方程问题 1．（2024·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由题设，圆心、，则，即两圆外切， 设切点为，，得，所以， 又过与垂直的直线为两圆的内公切线，斜率为， 该公切线方程为，整理得． 设两圆的一条外公切线与两圆的切点分别为， 连接，作，垂足为（如图）， 则， 所以， 所以直线，即直线的斜率为， 设直线为，则， 所以，故为． 由图易知，另一条外公切线的方程为． 故两圆的公切线方程为或或（填其中之一即可）． 故答案为：（答案不唯一） 2．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 3．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 【答案】 【详解】因为圆：，则，半径为， 由可得圆心为原点，半径为， 因为圆与圆有且只有一条公切线，所以两圆内切. 所以，又，所以. 所以圆：即. 所以两圆方程相减可得圆与圆的公切线为：即. 故答案为： 4．（24-25高二上·江苏苏州·期中）圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线： . 【答案】答案不唯一 【详解】设关于直线对称点的坐标为， 则，解得， 圆C的方程是，其圆心坐标为，半径为1， 两圆的圆心距， 所以两圆外离，且， 设与OC平行的公切线方程为，即， 则由O到直线的距离，可得，解得， 所以两圆的一条公切线为或， 另外，根据对称性可知，，也为两圆的公切线. 故答案为：答案不唯一 5．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 【答案】 【详解】由，圆心为，半径为， 由，圆心为，半径为， 显然，即两圆内切，且切点为， 所以两圆公切线的方程为. 故答案为： 考点五 切线长定理 【知识点解析】 1. 切线长：指从圆外一点到切点的线段长度. 2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角. 3. 图示、符号表示与推论 （1）点为外一点，过点作的两条切线，切点分别为、. （2）. （3）、. （4）. （5） （6）、、、四点共圆，圆心为线段的中点. 【例题分析】 1．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，， 则. 的最小值为. 故选：A. 2．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】由题意可知：圆O的圆心为，半径， 所以，即． 故选：B. 3．（2025·山东聊城·三模）已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】∵圆心O到直线的距离，所以， 设 ，，所以，，所以， 则面积 故选：A. 4．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】化为，圆心为，半径为2 所以点到圆心的距离为，则切线长为， 所以，则. 故选：D 5．（2025·云南·三模·多选）已知点，，点P在圆上运动，则（   ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 【答案】ACD 【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动， 则圆心为，半径为2，直线AB的方程为， 则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为， 则面积的最小值为，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确. 故选：ACD． 6．（2025·辽宁·三模·多选）已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（   ） A．直线与圆C相离 B． 的面积为12 C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为 【答案】AC 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 对于A中，圆心坐标到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以A正确； 对于B中，由点C到直线的距离为，则的面积，所以B项错误； 对于C中，如图所示，当最小时，直线与圆相切，此时，所以C正确； 对于D中，由点P到直线距离的最大值为，所以D错误． 故选：AC. 7．（24-25高二下·云南昆明·期中·多选）已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则（   ） A．圆O与直线l相离 B．存在最小值 C．存在最大值 D．存在点P使得为直角三角形 【答案】AB 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，点到直线的距离，故圆O与直线l相离，正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，正确； 对于C，由垂直平分得，， 则，当且仅当时取等号， 所以不存在最大值，错误； 对于D，由A可知，，若为直角三角形，则， 从而，又，所以不存在点P使得为直角三角形，错误. 故选：AB 8．（2025·湖南长沙·二模·多选）已知P为抛物线C：上一点，F为C的焦点，直线l的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．点P到直线l与到直线的距离之和的最小值为2 C．若存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，则r的取值范围为 D．过直线l上一点E（点E不在x轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交x轴于点A，B，外接圆面积的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，抛物线C：，焦点，准线m：，， 过点P作准线m：的垂线，垂足为Q，再过点A作准线m：的垂线，垂足为B，    由抛物线定义可知：，故A正确； 对于B，过点P作准线m：的垂线，垂足为Q，交直线n：于点N， 过点P作直线l：的垂线，垂足为H， 过点F作直线l：的垂线，垂足为G，      由点F到直线l：的距离公式可得：， 则点P到直线l与到直线的距离之和为： ，故B错误； 对于C．    根据过点P可作两条垂直的直线与圆相切，如图，设切点为T，可知． 由于两条切线垂直，可知，即，所以有， 从而把问题转化为抛物线上存在点P到圆心M的距离为， 先求抛物线上点到圆心的距离： ， 当时，取到最小值， 即，解得，故C正确． 对于D，切线，与抛物线分别切于M，N，设，， 因为，故，故，， 故直线EA：，同理，直线EB：， 由，可得，故， 又，故，， 故，同理，故，， 所以E，A，F，B四点共圆，且的外接圆的直径为， 所以即为F到直线的距离，此距离为2． 故，即的外接圆的半径的最小值为1，故的外接圆面积的最小值为．    故选：ACD. 9．（24-25高二上·重庆·阶段练习）过点向圆作切线，切点为，则 . 【答案】 【详解】由圆，圆心坐标为，半径为2， 因为过点向圆作切线，切点为，且， 所以. 故答案为： 10．（24-25高三上·山东枣庄·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 【答案】3 【详解】设切点为，则， 而的最小值为点到直线的距离，即，则的最小值为，故切线长的最小值为. 故答案为：. 11．（2025·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 . 【答案】 【详解】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得， 结合已知点，可得： 所以， 故答案为：. 12．（24-25高一下·重庆·期末）已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为 ． 【答案】1 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离，又， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1 13．（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由圆，则圆心为，半径为3， 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到切线方程为的距离为3，等于半径，满足题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 则切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （2）由切线的性质，得， 当切线为时，此时切线与轴垂直， 则. 14．（24-25高二上·云南大理·期末）一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) ，结合垂线段最短利用点线距离求解即可. 【详解】（1）设圆心坐标为， 则设过点的半径所在的直线为，代入，可得， 由解得所以. 所以， 所以圆的方程为. （2）因为到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 由题意四边形面积为， 可得，当与直线垂直时，最小，四边形面积最小. 由.所以四边形面积的最小值为. 15．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知直线和圆. (1)若直线与垂直，且经过圆的圆心，求的方程； (2)若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由直线与m：垂直，设直线：， 圆C的方程可化为，圆心为， 由直线经过圆心，得，解得， 所以的方程为. （2）设，由（1）知圆C的半径， 则， ，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 16．（24-25高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1） 由圆可得： 圆心为，半径，其中， 而圆心到直线的距离， 所以，解得， 即的值为1. （2）由（1）可知， 由勾股定理可得 四边形由两个全等的直角三角形组成。所以 ， 当且仅当时成立 所以当四边形有最大面积. 17．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的公共点都在圆上，设是直线上的一点，过向圆引两条切线，切点为. (1)求圆的标准方程； (2)若为正三角形，求点的坐标； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）依题意，当时，圆过点，当时，圆过点， 设圆的一般式方程为， 则，解得，因此， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆的圆心，半径为， 由为正三角形，得，解得， 设，则，解得或， 所以点的坐标为或. （3）圆心到直线的距离，设， ，则， ， 设，则，， 函数在上单调递增，， 所以的取值范围为. 考点六 以圆为背景的最值问题 【知识点解析】 1. 已知点在圆外，点在圆上，则 （1）的最值问题可转化为点与点的斜率的最值问题； （2）的最值问题可转化为点与点的距离的最值问题； （3）的最值问题可转化为平行的直线与圆相切时截距的最值问题. 2. 若点在圆内，过点做圆的弦，则当弦过圆心时，所得弦长最大；当该弦与过该点的直径垂直时，所得弦最短. 3. 若点在外，点在圆上，当直线过圆心时，取得最大值或最小值，，. 4. 若点在上，直线与圆相离，到直线的距离，圆心到直线的距离为，则，. 5. 求圆上存在与直线距离为的点的数量，应比较圆心到直线的距离与的大小关系，以及与的大小关系. 【例题分析】 1．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）如果实数，满足，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为实数，满足，所以是圆上的点； 所以表示直线的斜率（为坐标原点）， 由图可知，当直线与圆相切时，斜率有最大值和最小值， 设直线方程为（直线无斜率时不符合题意），即， 由，解得或，则，即， 故选：B. 2．（24-25高二上·四川达州·期末）过点的直线与曲线有交点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，两边平方得，即， 故表示的圆心为，半径为1的圆，位于轴上方的部分（含轴上的两点）， 如图所示，设，连接，并过点作半圆的切线，切点为， 其中，故， 设切线为，即， 圆心到直线的距离为1， 即，即， 解得或，由图形可知，切线斜率大于1， 故舍去， 所以直线的斜率范围为. 故选：C 3．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点，则直线的方程为， （注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程是）， 化简可得：， 所以圆心到直线的距离为： 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：C. 4．（24-25高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 5．（24-25高二下·内蒙古·期末）圆上的点到直线的距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心坐标为，半径为． 设圆心到直线的距离为，则， 所以圆上的点到直线的距离的最小值是． 故选：A 6．（25-26高三上·北京·开学考试）已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【详解】由：，即， 则圆心，半径为， 因为，，则，， 又，则，即， 要使面积最大，则在延长线上，且在圆上，如图， 此时， 则面积的最大值为. 故选：B. 7．（22-23高二上·广东肇庆·期中）实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意令，（为参数）， 所以 ， 所以的最大值是， 解法2： 由有， 所以， 当且仅当时，等号成立， 令，所以，即， 所以，所以， 所以，即， 所以的最大值是， 解法3： 设，则圆心为，半径为，由的圆心为，半径为， 设圆心距为，则，则有， 即，即， 所以的最大值为， 故选：C. 8．（25-26高三上·浙江温州·阶段练习）在平面直角坐标系中，存在圆，点和点，M为圆O上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【详解】设点，由圆，点和点， 可得， 其中，点在圆外，点在圆内， 如图所示，可得， 当且仅当为的延长线与圆的交点时，取得等号， 所以的最大值为； 又由， 当且仅当为与圆的交点 时，取得等号， 所以的最小值为. 故选：C. 9．（25-26高三上·江西南昌·开学考试·多选）已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为 C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2 【答案】ABC 【详解】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内，    所以，故A正确；所以，故B正确； 设圆心C到直线的距离为,则,当为直径时，，所以,故C正确； 由于时,所以,故D不正确； 故选：ABC 10．（24-25高二上·安徽黄山·期末·多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【详解】表示圆心为，半径为的圆，A错误； ，解得，即的最大值为，B正确； 表示圆上点到定点的距离，圆心到定点的距离为，圆上点到定点的距离的最大值为，C正确； 由得，代入得，，因为函数在上单调递增，所以的最大值为，D错误. 故选：BC 11．（2025·湖南益阳·模拟预测·多选）在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点在圆上，则（    ） A．轴与圆可能相切 B．直线与圆可能相交 C．轴被圆所截得的弦长的最大值是2 D．原点与圆上的点的距离的最大值为 【答案】AC 【详解】设圆， 因点在圆上，则， 若，则，则圆，此时轴与圆相切，故A正确； 令，则， 因直线与圆有交点，则， 得， 则圆心到直线的距离， 则，故直线与圆不可能相交，故B错误； 因，得， 令，则化为， 故当时圆与轴相交， 弦长为，等号成立时，故C正确； 因， 则可以理解为以为圆心，以为半径的圆上的点到的距离， 则的最大值为， 故， 故原点与圆上的点的距离的最大值为，故D错误. 故选：AC 12．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 . 【答案】4 【详解】因为， 所以圆心坐标为，半径. 所以圆上的点到的距离最大值为圆心到直线的距离加圆的半径，即的长度. 所以. 故答案为：4. 13．（2025·江西·三模）已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为 . 【答案】2 【详解】因为圆，圆， 所以圆心，圆的半径为1；圆心，圆的半径为1. 两圆心之间的距离为，所以两圆相离. 所以的最小值为. 故答案为：2. 14．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】可变形为，由可得，则恒过定点， 同理可得恒过定点，且有，则， 此时的轨迹是以为直径的圆：（除去点A）. 因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为. 故答案为：2. 15．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知圆，直线. (1)证明：直线恒过定点； (2)直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：整理得， 令，解得， 即直线恒过定点； （2）圆即，所以圆心，半径， 又由（1）直线恒过定点且M在圆内， 若直线与圆交于两点，当时，最小， 所以， 此时直线， 即直线的方程为. 16．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线，圆． (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)已知直线过定点，过点作圆的切线，求点的坐标及该切线方程． 【答案】(1) (2)，或 【详解】（1）圆的圆心，半径， ，圆心到直线的距离， 所以直线被圆所截得的弦长为； （2）直线变形得， 令，则， 所以直线过定点， 当直线的斜率不存在时，方程为， 此时，圆心到直线的距离等于半径，符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 则圆心到切线的距离为，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述所求直线方程为或. 17．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； (3)点是圆上任意一点，求的取值范围. 【答案】(1). (2)或. (3). 【详解】（1）设圆心的坐标为，已知圆与直线相切于点，则直线（）与直线垂直. 直线的斜率，可得直线的斜率， 即，解得，所以圆心. 圆的半径. 则圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离. 根据垂径定理，满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. 由垂径定理可得， 即，，，解得. 则直线的方程为，即. 综上，直线的一般式方程为或. （3）设，则，即. 的几何意义是圆上的点与点连线的斜率. 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，即， .由图形知道， 所以的取值范围是. 18．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知圆C的方程为. (1)求圆C关于直线对称的圆的方程； (2)若点在圆C上运动，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【详解】（1）由圆C的标准方程为，可知圆心为，半径为1. 圆心关于对称的点为， 圆C关于直线对称的圆的方程为. （2）即为圆上的点P到原点的距离的平方. 圆心到原点的距离为， 的最大值为，最小值为. 19．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【详解】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 20．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知实数满足． (1)求的最大值； (2)若恒成立，求实数的范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设表示圆上点与所成直线的斜率， 即直线与已知圆相切时存在斜率的最大值， 令圆心到直线的距离，可得， 的最大值为； （2）实数满足， 设，则， ， 的最小值为， 根据题意得，即． 考点七 以圆为背景的对称问题 【知识点解析】 对称问题 求圆关于点对称的圆的方程 处理方法 （1）求圆心关于点的对称点； （2）写出圆心为，半径为的圆的标准方程. 对称问题 求圆关于直线对称的圆的方程 处理方法 （1）求圆心关于直线的对称点； （2）写出圆心为，半径为的圆的标准方程. 对称问题 圆关于直线对称 处理方法 直线经过的圆心. 【例题分析】 1．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知圆关于直线对称，则（   ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】由圆，可得圆心， 因为圆关于直线对称，所以直线过圆心， 所以，解得. 故选：A. 2．（24-25高二上·重庆长寿·期末）圆关于直线对称，则实数（   ） A． B．4 C．或4 D．2或 【答案】C 【详解】圆的圆心为， 且，即， 因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，则， 化简得， 所以或，满足. 故选：C. 3．（24-25高一下·重庆·期末）若圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以． 所以， 所以，时，取到最小值为. 故选：B． 4．（2025·广东汕头·一模）如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】圆圆心为，圆可化为，所以圆心为， 由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程， 设， 由两直线垂直斜率关系可得直线l的为1， 又两圆中点坐标为，所以直线l的方程为，即. 故选：D. 5．（24-25高二下·河南开封·开学考试·多选）已知圆：，若圆与圆关于直线对称，则下列说法正确的是（    ） A．圆的标准方程为 B．过点可作圆的切线有两条 C．若分别为圆，圆上的点，则两点间的最大距离为 D．若E，F为圆上的两个动点，且，则线段EF的中点的轨迹方程为 【答案】ACD 【详解】对于A：易知圆，其圆心为，半径为1， 因圆与圆关于对称，故圆圆心为，半径为1， 故圆的标准方程为，故A正确； 对于B：易知点在上，故过点有且仅有一条切线，即B错误； 对于C：易知，故C正确； 对于D：设EF中点为P，则， 因为圆的半径为1，由垂径定理可知， 设，因，则可得 故点P的轨迹方程为，故D正确． 故选：ACD. 6．（24-25高二上·江苏苏州·期中）圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线： . 【答案】答案不唯一 【详解】设关于直线对称点的坐标为， 则，解得， 圆C的方程是，其圆心坐标为，半径为1， 两圆的圆心距， 所以两圆外离，且， 设与OC平行的公切线方程为，即， 则由O到直线的距离，可得，解得， 所以两圆的一条公切线为或， 另外，根据对称性可知，，也为两圆的公切线. 故答案为：答案不唯一 7．（24-25高二上·广东深圳·期末）若圆C：关于直线对称，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由题意，直线过圆心，则，且，所以， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·广西柳州·期末）圆关于直线对称，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】圆的圆心坐标为， 因为圆关于直线对称， 则直线过圆心，所以，则， 所以， 当且仅当时，即当时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 课后提升训练 1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将两个圆的方程化为一般式，分别为和， 作差整理得，即为所求． 故选：B. 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【详解】因为是方程的两个不等实数根，且. 所以，. 所以点在圆外. 故选：C. 3．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】由题意可知：圆O的圆心为，半径， 所以，即． 故选：B. 4．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 6．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D 7．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知圆，点，点，点在圆上运动，点满足（O为坐标原点），则点到直线距离的最大值为（　　） A．8 B． C． D．6 【答案】B 【详解】由点得. 设，由已知且， 所以. 又点在上，得， 故点轨迹为以为圆心，半径的圆， 则点到直线距离为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：B. 8．（24-25高二上·福建宁德·期末·多选）已知直线l：，圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．圆上的点到l的距离最大值为 C．当l与圆C相切时，直线l方程为 D．当时，圆C上有三个点到l的距离为1 【答案】BC 【详解】对于A，直线l：可化为， 所以直线l经过直线与直线的交点，故A项不正确； 对于B，圆C：的圆心为，半径 根据直线l经过定点，可知点C到直线l的最大距离为 因此，圆C上的点到l的距离最大值为，故B项正确； 对于C，当l与圆C相切时，圆心C到直线l的距离， 即，解得，可得直线l的方程为，即，故C项正确； 对于D，当时，直线l方程为，此时圆心C恰好在直线l上， 根据圆的半径，可知圆C上仅有两个点到l的距离等于1，故D项不正确． 故选：BC. 9．（24-25高二上·江西南昌·期末·多选）已知直线和圆相交于M，N，下列说法正确的是（ ） A．直线过定点 B．若圆关于对称，则 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 【详解】A选项，根据题意变形为， 故直线过定点，A正确； B选项，若圆关于对称，则圆心在直线上，即，解得，故B正错误； C选项， ， 因为的最小值为，如图， 当三点共线时，的最小值为，故C正确； D选项，，半径为，因为圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 所以圆心到直线的距离，即，解得，D错误. 故选：AC. 10．（24-25高二下·安徽合肥·期末·多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的内部 C．圆与圆C外切 D．当直线平分圆C的周长时， 【答案】ACD 【详解】对于A中，由圆的半径为， 可得，解得，即，所以A正确； 对于B中，由，可得点在圆外，所以B不正确； 对于C中，由圆，可得圆心，半径为， 又由圆的圆心，半径为， 可得， 即两圆的圆心距等于半径之和，所以两圆相外切，所以C正确； 对于D中，当直线平分圆C的周长时，圆心在直线上， 可得，解得，所以D正确． 故选：ACD. 11．（24-25高二下·河南周口·期末·多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为， 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 此时，被圆截得的弦长为，A错； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得，因此，恒过点，B对； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，C对； 对于D选项，记点，则， 当时，且直线的斜率为，此时，即当时， 圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值，且 因为，弦长的最小值为，D对. 故选：BCD. 12．（24-25高二上·安徽黄山·期末·多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【详解】表示圆心为，半径为的圆，A错误； ，解得，即的最大值为，B正确； 表示圆上点到定点的距离，圆心到定点的距离为，圆上点到定点的距离的最大值为，C正确； 由得，代入得，，因为函数在上单调递增，所以的最大值为，D错误. 故选：BC 13．（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 14．（24-25高二下·江苏南京·期末）圆与圆的公切线的条数是 条． 【答案】3 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以两圆的公切线条数是3. 故答案为：3 15．（24-25高二下·浙江·期中）已知点，直线被圆所截得弦的中点为N，则的最大值是 . 【答案】 【详解】如图： 因为直线过点， 设直线与圆相交于两点，为中点，则. 当点重合时，在中，为中点，所以. 所以弦的中点在以为圆心，1为半径的圆上，易知点也在该圆上. 所以. 故答案为： 16．（24-25高一下·上海·期末）若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若关于的方程有且只有两个不同的实数根， 则函数的图象与的图象有且只有两个交点， 由得， 所以是以为圆心，2为半径的圆在轴及轴上方的部分， 又因为的图象恒过定点， 故在同一坐标系中作出函数的图象与的图象，    当直线与半圆相切时，可得，解得， 当过点时，可得，解得， 又函数的图象与的图象有且只有两个交点， 可得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 17．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题可设圆心的坐标为，， ∵圆的半径为2，点在圆上， ∴，解得（舍去）， 故圆的标准方程为． （2）由题知，切线的斜率存在， 设切线的方程为，即， 由题意得，解得或， ∴切线的方程为或． 18．（24-25高二上·河北保定·期末）已知圆过，，三点，直线l过点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线被圆截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线的方程及最短弦长. 【答案】(1) (2)垂直，， 【详解】（1）由已知可得，，，满足， 所以为以O为直角的直角三角形，取AB中点为M， 则，所以圆心，半径，圆M标准方程为； （2）由，可知，点在圆内， 当直线l垂直于MP时截得弦长最短.直线，直线l的斜率为， 则直线l方程为，此时圆心M到直线l的距离为，最短弦长为. 19．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 【答案】(1)圆心坐标为，面积为 (2) 【详解】（1）由可得， 则圆的圆心坐标为,半径，面积； （2）依题意直线的方程为， 即， 圆心到直线的距离， 所以； 20．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 21．（2025·湖北襄阳·三模）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，且定值为 【详解】（1）依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． （2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 22．（24-25高二下·上海崇明·期末）已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由圆的一般方程可得标准方程，则，即. 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，解得，满足. 所以，. （2）由题意，联立可得， 设， 则，解得， 根据韦达定理可得， 则， 所以，满足. 所以，圆的半径满足，故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆的方程知识点与题型总结讲义 圆的方程知识点与题型总结讲义 考点目录 圆的定义与方程 以圆为背景的位置关系问题 以圆为背景的弦长问题 以圆为背景的切线 切线长定理 以圆为背景的最值问题 以圆为背景的对称问题 考点一 圆的定义与方程 【知识点解析】 1. 圆的定义与方程 知识点 知识点解析 圆的定义 到定点的距离相等的点的集合. 圆的两要素 圆心与半径. 圆的标准方程 若已知圆的圆心为，半径为，则标准方程为. 圆的一般方程 ，其中. ①若题目提及圆心与半径，优先考虑用圆的标准方程. ②满足形式的不一定是圆的方程，配方变形成标准方程之后需保证方程右边为正数. 2.求轨迹方程的五个步骤 （1）设定变量与坐标系：建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点的坐标； （2）分析几何条件：写出适合条件的点的集合； （3）代数化几何条件：用坐标表示条件，列出方程； （4）化简方程：化方程为最简形式； （5）査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 【例题分析】 考向一 圆的标准方程 1．（25-26高二上·天津·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京房山·开学考试）把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京海淀·二模）圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南周口·期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·吉林长春·期中）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 考向二 圆的一般方程 1．（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江宁波·期末）“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 3．（24-25高三下·山西·期中）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）过，，三点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过三点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广东佛山·期中）若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则（   ） A． B．1 C． D． 考向三 曲线的轨迹方程 1．（2025·内蒙古赤峰·一模）在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知平面直角系中，，，点满足，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广西·期中）已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广西·开学考试）已知两定点，若动点满足，则点的轨迹所围成的图形的面积等于 ． 5．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是 ． 6．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 考点二 以圆为背景的位置关系问题 【知识点解析】 1．点与圆的位置关系 点与圆和的位置关系是： 位置关系 几何法 代数法 在圆内 点到圆心的距离小于半径 或 在圆上 点到圆心的距离等于半径 或 在圆外 点到圆心的距离大于半径 或 2．直线与圆的位置关系 位置关系 几何法 代数法 相切 圆心到直线的距离等于半径 联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式 相交 圆心到直线的距离小于半径 联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式 相离 圆心到直线的距离大于半径 联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式 3．圆与圆的位置关系 ：与：的位置关系是： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内离 判定方法 【例题分析】 考向一 直线与圆的位置关系 1．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 2．（25-26高三上·江西·阶段练习）圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 3．（25-26高三上·广西·开学考试）已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 4．（2025·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 5．（2025·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 6．（24-25高二下·浙江·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 7．（25-26高三上·福建漳州·开学考试）将直线沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数 . 8．（2025·北京顺义·一模）已知直线：与圆：有两个交点，则可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 考向二 圆与圆的位置关系 1．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 4．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2025·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 8．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知圆与圆内切，则实数 ． 9．（24-25高二上·河南·期末）若圆与圆恰有一个公共点，则的值为 ． 10．（24-25高二上·北京·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则半径r可以是 ．（写出一个符合题目要求的取值即可） 考向三 直线与半圆的交点问题 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）过定点的直线与曲线交于不同的两点，则直线的斜率的取值范围是 . 2．（24-25高二下·上海·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是 . 3．（2025·重庆·二模）过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 . 4．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）已知直线与曲线有一个公共点，则实数的取值范围为 ． 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是 . 6．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围是 7．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 8．（2025·云南·模拟预测）若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是 . 考点三 弦长问题 【知识点解析】 1. 直线与圆的弦长问题：若直线：与圆的方程为相交 处理方法 处理步骤 图解 几何法 （1）求圆心到直线的距离，圆的半径； （2）弦长为，则，整理得. 代数法 （1）联立直线与圆的方程，消元得二次方程，整理韦达定理； （2）设直线与圆的两交点分别是， 则. ※不管用哪种方法，设直线时需考虑直线斜率是否存在 2. 圆与圆的公共弦问题：若：与：相交 问题 处理方法 公共弦方程 将与的方程联立，消去与，可得公共弦方程. 公共弦弦长 先求公共弦，再转化为公共弦与圆的弦长问题. 【例题分析】 考向一 弦长问题 1．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．2 2．（25-26高三上·北京·开学考试）直线被圆所截得的弦长为（　　） A． B．2 C． D．4 3．（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 5．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 6．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 7．（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 8．（2025·福建·模拟预测）已知直线与圆相交于，两点，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 9．（25-26高二上·湖北·期中）已知三点，记的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 10．（24-25高二上·天津·期中）已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 11．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆心为的圆经过点 (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆C交于两点，且，求的值. (3)求直线被圆截得弦长的最小值. 12．（24-25高二上·浙江·期中）如图，已知圆为坐标原点，过点作直线交圆于点，过点分别作圆的切线，两条切线相交于点． (1)若直线的斜率为1，求的值； (2)求点的轨迹方程； (3)若两条切线与轴分别交于点，求的最小值． 考向二 公共弦问题 1．（24-25高二上·湖南长沙·期中）圆与圆的交点为A，B，则公共弦AB所在的直线的方程是 . 2．（24-25高二上·吉林四平·期末）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在的直线方程为 . 3．（2024·新疆喀什·二模）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ． 4．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦的弦长为 . 5．（24-25高二上·天津河北·期中）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ：公共弦长为 . 考点四 切线问题 【知识点解析】 1. 过定点切线问题：若点在外，求过点与相切的直线 切线类型 处理方法 斜率存在 （1） 设切线为； （2） 利用几何法（圆心到直线距离等于半径）或代数法（直线与圆的方程联立所得二次方程根的判别式等于0）求参数. 斜率不存在 检验圆心到直线的距离与半径是否相等. 2.公切线问题 圆与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内离 公切线数量 4 3 2 1 0 图解 3. 公切线的求解：已知：与： 切线类型 处理方法 斜率存在 （1） 设公切线为； （2） 利用几何法（圆心到直线距离等于半径）或代数法（直线与圆的方程联立所得二次方程根的判别式等于0）求参数. 斜率不存在 观察图像是否存在与轴的直线与两圆同时相切 两圆相切的公切线 （1） 求直线的斜率； （2） 利用有一条公切线与直线垂直，设公切线为； （3） 利用几何法（圆心到直线距离等于半径）或代数法（直线与圆的方程联立所得二次方程根的判别式等于0）求参数. 【例题分析】 考向一 切线问题 1．（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）经过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 6．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知圆和点，则过点的的切线方程为 . 7．（24-25高二上·重庆长寿·期末）在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为，已知圆是以以为直径的圆． (1)求圆的方程． (2)求以点为切点的圆的切线方程． 8．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知圆，为圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、. (1)当点的坐标为时，求两条切线方程； (2)求的取值范围. 考向二 判断公切线数量或已知公切线数量求参 1．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知圆，圆，若两圆的公切线恰有四条，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知圆，圆，若圆与圆恰有三条公切线，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知圆与圆恰有三条公切线，则（   ） A．15 B．23 C．21 D．17 5．（24-25高二上·安徽合肥·期中）圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 7．（24-25高二上·吉林·期末）圆和圆的公切线条数为 . 考向三 公切线方程问题 1．（2024·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程 ． 2．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 3．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 4．（24-25高二上·江苏苏州·期中）圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线： . 5．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为 . 考点五 切线长定理 【知识点解析】 1. 切线长：指从圆外一点到切点的线段长度. 2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角. 3. 图示、符号表示与推论 （1）点为外一点，过点作的两条切线，切点分别为、. （2）. （3）、. （4）. （5） （6）、、、四点共圆，圆心为线段的中点. 【例题分析】 1．（2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 2．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 3．（2025·山东聊城·三模）已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 5．（2025·云南·三模·多选）已知点，，点P在圆上运动，则（   ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 6．（2025·辽宁·三模·多选）已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（   ） A．直线与圆C相离 B． 的面积为12 C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为 7．（24-25高二下·云南昆明·期中·多选）已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则（   ） A．圆O与直线l相离 B．存在最小值 C．存在最大值 D．存在点P使得为直角三角形 8．（2025·湖南长沙·二模·多选）已知P为抛物线C：上一点，F为C的焦点，直线l的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．点P到直线l与到直线的距离之和的最小值为2 C．若存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，则r的取值范围为 D．过直线l上一点E（点E不在x轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交x轴于点A，B，外接圆面积的最小值为 9．（24-25高二上·重庆·阶段练习）过点向圆作切线，切点为，则 . 10．（24-25高三上·山东枣庄·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 11．（2025·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 . 12．（24-25高一下·重庆·期末）已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为 ． 13．（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 14．（24-25高二上·云南大理·期末）一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 15．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知直线和圆. (1)若直线与垂直，且经过圆的圆心，求的方程； (2)若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求的最小值. 16．（24-25高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 17．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的公共点都在圆上，设是直线上的一点，过向圆引两条切线，切点为. (1)求圆的标准方程； (2)若为正三角形，求点的坐标； (3)求的取值范围. 考点六 以圆为背景的最值问题 【知识点解析】 1. 已知点在圆外，点在圆上，则 （1）的最值问题可转化为点与点的斜率的最值问题； （2）的最值问题可转化为点与点的距离的最值问题； （3）的最值问题可转化为平行的直线与圆相切时截距的最值问题. 2. 若点在圆内，过点做圆的弦，则当弦过圆心时，所得弦长最大；当该弦与过该点的直径垂直时，所得弦最短. 3. 若点在外，点在圆上，当直线过圆心时，取得最大值或最小值，，. 4. 若点在上，直线与圆相离，到直线的距离，圆心到直线的距离为，则，. 5. 求圆上存在与直线距离为的点的数量，应比较圆心到直线的距离与的大小关系，以及与的大小关系. 【例题分析】 1．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）如果实数，满足，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川达州·期末）过点的直线与曲线有交点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 5．（24-25高二下·内蒙古·期末）圆上的点到直线的距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·北京·开学考试）已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 7．（22-23高二上·广东肇庆·期中）实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·浙江温州·阶段练习）在平面直角坐标系中，存在圆，点和点，M为圆O上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 9．（25-26高三上·江西南昌·开学考试·多选）已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为 C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2 10．（24-25高二上·安徽黄山·期末·多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 11．（2025·湖南益阳·模拟预测·多选）在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点在圆上，则（    ） A．轴与圆可能相切 B．直线与圆可能相交 C．轴被圆所截得的弦长的最大值是2 D．原点与圆上的点的距离的最大值为 12．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 . 13．（2025·江西·三模）已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为 . 14．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为 ． 15．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知圆，直线. (1)证明：直线恒过定点； (2)直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程. 16．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线，圆． (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)已知直线过定点，过点作圆的切线，求点的坐标及该切线方程． 17．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； (3)点是圆上任意一点，求的取值范围. 18．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知圆C的方程为. (1)求圆C关于直线对称的圆的方程； (2)若点在圆C上运动，求的最大值和最小值. 19．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 20．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知实数满足． (1)求的最大值； (2)若恒成立，求实数的范围． 考点七 以圆为背景的对称问题 【知识点解析】 对称问题 求圆关于点对称的圆的方程 处理方法 （1）求圆心关于点的对称点； （2）写出圆心为，半径为的圆的标准方程. 对称问题 求圆关于直线对称的圆的方程 处理方法 （1）求圆心关于直线的对称点； （2）写出圆心为，半径为的圆的标准方程. 对称问题 圆关于直线对称 处理方法 直线经过的圆心. 【例题分析】 1．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知圆关于直线对称，则（   ） A． B．3 C．1 D． 2．（24-25高二上·重庆长寿·期末）圆关于直线对称，则实数（   ） A． B．4 C．或4 D．2或 3．（24-25高一下·重庆·期末）若圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 4．（2025·广东汕头·一模）如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D． 5．（24-25高二下·河南开封·开学考试·多选）已知圆：，若圆与圆关于直线对称，则下列说法正确的是（    ） A．圆的标准方程为 B．过点可作圆的切线有两条 C．若分别为圆，圆上的点，则两点间的最大距离为 D．若E，F为圆上的两个动点，且，则线段EF的中点的轨迹方程为 6．（24-25高二上·江苏苏州·期中）圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线： . 7．（24-25高二上·广东深圳·期末）若圆C：关于直线对称，则的最小值是 ． 8．（24-25高二上·广西柳州·期末）圆关于直线对称，则的最小值是 ． 课后提升训练 1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 3．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 4．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知圆，点，点，点在圆上运动，点满足（O为坐标原点），则点到直线距离的最大值为（　　） A．8 B． C． D．6 8．（24-25高二上·福建宁德·期末·多选）已知直线l：，圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．圆上的点到l的距离最大值为 C．当l与圆C相切时，直线l方程为 D．当时，圆C上有三个点到l的距离为1 9．（24-25高二上·江西南昌·期末·多选）已知直线和圆相交于M，N，下列说法正确的是（ ） A．直线过定点 B．若圆关于对称，则 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 10．（24-25高二下·安徽合肥·期末·多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的内部 C．圆与圆C外切 D．当直线平分圆C的周长时， 11．（24-25高二下·河南周口·期末·多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 12．（24-25高二上·安徽黄山·期末·多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 13．（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 14．（24-25高二下·江苏南京·期末）圆与圆的公切线的条数是 条． 15．（24-25高二下·浙江·期中）已知点，直线被圆所截得弦的中点为N，则的最大值是 . 16．（24-25高一下·上海·期末）若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 17．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 18．（24-25高二上·河北保定·期末）已知圆过，，三点，直线l过点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线被圆截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线的方程及最短弦长. 19．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 20．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 21．（2025·湖北襄阳·三模）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 22．（24-25高二下·上海崇明·期末）已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 2 学科网（北京）股份有限公司 $