基本不等式专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

基本不等式专项训练 基本不等式专项训练 考点目录 基本不等式的定义及其使用 利用基本不等式求最值----凑项与凑系数 利用基本不等式求最值----分式型 利用基本不等式求最值----“”的妙用 利用基本不等式求最值----联立消元法与设“”法 利用基本不等式证明不等关系 基本不等式的实际应用 考点一 基本不等式的定义及其使用 1．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）函数的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由基本不等式有，当且仅当即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：B. 2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【详解】因，则，则， 等号成立时， 故的最小值为. 故选：D 3．（2024·江苏南通·模拟预测）若命题“”是假命题，则可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为时，，当且仅当时取等， 则当命题“”为真命题时， 所以命题为假命题时. 故选：D. 4．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 【答案】C 【详解】当时，函数无最小值，故A错误； 函数，当且仅当时取等号，明显不成立，故B错误； 当时，函数，当且仅当时取等号，故C正确, D错误. 故选：C. 5．（2025·上海金山·三模）若，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 6．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）的最小值为 . 【答案】2 【详解】依题意，，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 7．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知，则的最大值为 ，当且仅当 时，等号成立. 【答案】 【详解】， 当且仅当即时等号成立， 故的最大值为，此时， 故答案为：，. 8．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）若，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 考点二 利用基本不等式求最值----凑项与凑系数 1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数（）的最大值为（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以，即（当时取等号）， 所以的最大值为 故选：D 2．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】A 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是. 故选：A 3．（24-25高一下·广东·期中）函数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】， 当且仅当，即时，函数取得最小值4. 故选：C. 4．（24-25高一上·河南郑州·期中）若，则（    ） A．有最小值5 B．有最大值5 C．有最小值4 D．有最大值4 【答案】A 【详解】，当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：A. 5．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）当时，则函数的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】由，则，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 即最大值为， 故答案为：. 6．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】 【详解】，， ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 7．（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）已知，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】由，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为5. 故答案为：5. 8．（24-25高二下·河北·期末）已知函数，则函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 考点三 利用基本不等式求最值----分式型 1．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】当时，，函数， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为2. 故选：A 2．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 4．（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【详解】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A 5．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 6．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 7．（24-25高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 8．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）已知，的最小值为 . 【答案】 【详解】由，则， 当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值． 故答案为： 考点四 利用基本不等式求最值----“”的妙用 1．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．10 【答案】B 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号，即时取等号， 所以的最小值为 故选：B 3．（2025·四川巴中·模拟预测）已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：C 4．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【详解】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 5．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 6．（25-26高一上·天津·期中）已知均为正数，且，则的最小值 . 【答案】 【详解】已知均为正数，且，所以， 则， 当且仅当，即时，取得等号， 又，所以当，时，取得最小值. 故答案为： 7．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知，，且，则的最小值是 . 【答案】8 【详解】因为，所以，则. 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是8. 故答案为：8. 8．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 9．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 【答案】(1)16 (2) 【详解】（1）由，得，当且仅当，即，时取等号. 则，而，解得，所以的最小值为16. （2）由，，得， 因此， 当且仅当，即，时取等号， 所以的取值范围为. 10．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得，得， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． （2）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． （3）由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 11．（24-25高一上·安徽淮南·期末）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1)16； (2)16； (3)9. 【详解】（1），，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值16. （2），，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值16. （3），由，得， 则，当且仅当时取等号， 所以汉时，取得最小值9. 12．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【详解】（1）∵，∴， ∵x，y为正数，∴， ∴． （2）∵，∴， ∴ ， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为． （3）∵， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 考点五 利用基本不等式求最值----联立消元法与设“”法 1．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 【答案】C 【详解】，因a，， 则，同理易得. 则. 从而， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 3．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 4．（25-26高三上·安徽安庆·开学考试）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，可得. 对于A，，（当且仅当时取等号），故A错误； 对于B，，（当且仅当时取等号），故B错误； 对于C，因，由B已得；， 则，（当且仅当时取等号），故C错误； 对于D，因， 由C项已得：，则，故，即得， （当且仅当时取等号），故D正确. 故选：D． 5．（24-25高二下·广西梧州·期末·多选）已知正数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意， 对于A，，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， 当时，有最小值，而，故D错误. 故选：BC. 6．（24-25高二下·江苏南京·期末·多选）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最小值为8 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最小值为2 【答案】ABD 【详解】A. ，，，得，当时，等号成立，故A正确； B.，当，即时等号成立，故B正确； C.，第一个等号成立的条件是，由A可知，第二个等号成立的条件是，两个等号不能同时成立，所以，故C错误； D.由，即，， 由A可知，等号成立的条件为，故D正确. 故选：ABD 7．（2025·内蒙古包头·模拟预测·多选）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 【答案】ABD 【详解】由，可得， 对于A中，令，则且， 可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确； 对于D中，由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 8．（24-25高三下·湖南永州·阶段练习·多选）对实数，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】选项A：当时，得或，显然不满足，故A错误； 选项B：当， 时，成立，此时，故B错误 因为， 因为， 所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以有 得，所以有，当或时等号成立. CD正确； 故选：CD 9．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，且满足，则的最小值为 ． 【答案】1 【详解】由可得，即， 令，则， ， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：1 10．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知，，且满足，则的最大值为 . 【答案】2 【详解】因，，，得. 再由，得，所以. 所以的最大值为2. 故答案为：2. 11．（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 【答案】27 【详解】因为，所以， 所以 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 12．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知，，若，则的最小值为 ；的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以 又因为 所以， 当且仅当时取等号，的最小值为． 因为，则， 所以， 因为，所以，所以 故答案为：；． 13．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知，且． (1)证明：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）已知，且， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，证毕； （2）因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为 14．（24-25高一上·江西·期中）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得. 因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. （2）由，得，即. 令，则（当且仅当，即时取等号）. 由，得，故. 整理得，解得或. 又由，得（当且仅当，时取等号）， 故的最小值为. 考点六 利用基本不等式证明不等关系 1．（25-26高三上·山西长治·阶段练习·多选）下列命题正确的有（    ） A．若，，则 B．若，则的最小值为4 C．已知都是正数，且，则 D．若且，则的取值范围为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以，，又，所以．正确； 对于B， ，则， 当且仅当即时取等号，所以的最小值为4，正确； 对于C，因为都是正数，且，所以， 所以，所以，错误； 对于D，，当且仅当时取等号， 即，即，得到或（舍去）， 故的取值范围为，正确. 故选：ABD 2．（25-26高三上·福建莆田·开学考试·多选）下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【详解】A中，因为，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 而，故，此时必定成立，故A正确； B中，因为，所以，所以，所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； C中，因为，由基本不等式可知成立，当时等号成立， 故,故C错误； D中，因为，由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD 3．（23-24高一上·湖北十堰·期末·多选）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】令，满足，但故A错误， ∵，∴，故B正确， 令，满足，但 ，故C错误， ，当且仅当，即时，等号成立，故D 正确． 故选：BD． 4．（24-25高一上·福建泉州·期末·多选）设，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A，因为，， 所以，当且仅当且， 即时取等号，故A正确， B，因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误， C，因为，当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时取等号，所以，即，故C正确， D，因为，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：ACD. 5．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 ；（2） ． 【详解】（1）方法1： ， ∴； 方法2：∵，，， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 故. （2）由恒成立，知， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即， ∴，解得或， 故m的取值范围为. 6．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知． (1)若，证明：； (2)若，证明：； (3)若，证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）要证，因为，两边同时平方，即证. 展开得，已知，所以即证， 也就是证，即证. 对于，有，已知，所以，则， 当且仅当时等号成立. 所以得证. （2）根据二项式，将，代入可得： 整理得 因为，所以 已知，可得，即 ，当且仅当时取等号. 同时，由第一问可知（当且仅当时等号成立）. 将和代入可得： ，当且仅当时等号成立. 综上，若，得证. （3）因为，所以， 以上三个式子相加得， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，且，所以， 所以，所以. 7．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）① 证明见解析；②证明见解析 ；（2）． 【详解】（1）①，，均为正实数， 则（当且仅当时取“＝”）， 同理可得：，（当且仅当，时等号成立）， 故（当且仅当时取“＝”）， 又，故； ② （当且仅当时取“＝”）， 同理（当且仅当时取“＝”）， （当且仅当时取“＝”）. 又由，， 所以，（当且仅当时取“＝”）， 所以， 故 ， （当且仅当时取“＝”）． （2）因为对任意，不等式恒成立， 所以，则，， 令，则，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 即当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 8．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），均为正数，且， ， ，， （当且仅当时取“”）， 的最小值为； （2） ， 当且仅当，时等号成立， 故不等式. 考点七 基本不等式的实际应用 1．（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 2．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设长方体车厢（无盖）的长为，高为，， 则由题得，即， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 由，解，得，即， 因为车厢的容积为且，仅当时等号成立，所以车厢的最大容积是. 故选：D. 3．（24-25高一上·安徽六安·期中）在经济学中，函数的边际函数.某公司每月最多生产台光刻机的某种设备，生产台时()这种设备的收入函数为（单位：千万元），其成本函数为（单位:千万元）． (1)求成本函数的边际函数的最大值； (2)求生产台光刻机的这种设备的利润的最小值． 【答案】(1) (2)（千万元） 【详解】（1）由，， 可得，， 在时单调递增， 故当时， （2）由, 故． 记，则该函数在上递减，在上递增，且， 于是当时，得最小值. 由，解得或，（千万元） 4．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）近日，随着暑期来临，莆田市政府积极制定政策，决定政企联动，为某制衣有限公司在暑假期间加班追产提供(万元)的专项补贴.某制衣有限公司在收到莆田市政府（万元）补贴后，产量将增加到(万件).同时某制衣有限公司生产(万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益＝销售金额+政府专项补贴－成本. (1)求某制衣有限公司暑假期间，加班追产所获收益(万元)关于政府补贴（万元）的表达式； (2)莆田市政府的专项补贴为多少万元时，某制衣有限公司暑假期间加班追产所获收益(万元)最大? 【答案】(1)， (2)当莆田市政府的专项补贴为6万元时，所获收益最大. 【详解】（1）， 因为，所以， （2）， 因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， ， 故当莆田市政府的专项补贴为6万元时，所获收益取得最大值30万元. 5．（25-26高三上·广东中山·阶段练习）我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 当时，万元， 当时，，当且仅当，即时等号成立，万元. 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 6．（24-25高一下·湖南娄底·期中）娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转的时间（单位：年）的函数关系为. (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 【答案】(1)第7年时，可获得最大利润45万元 (2) 【详解】（1）故当时，取得最大值，最大值为45，所以这批机器运转第7年时，可获得最大利润45万元； （2）记年平均利润为，则14 当且仅当，即时，等号成立. 7．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2) (3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）当时，， 当时，， 所以所求函数解析式为. （3）当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为， 所以当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 8．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）今年春节一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某企业春节期间加班追产提供（万元）的专项补. 企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出. 注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本. (1)求企业春节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式； (2)当政府的专项补贴为多少万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大？ 【答案】(1)； (2)4万元. 【详解】（1）解：由题意可得销售金额为（万元）； 政府补贴为（万元），成本为（万元）， 所以； （2）解：由（1）可得， 当且仅当，即时，等号成立； 所以当政府的专项补贴为4万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大. 9．（25-26高二上·辽宁·阶段练习）交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为. (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？ (2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围？（结果精确到个位） 【答案】(1)当汽车的平均速度为35千米/时时，车流量最大，最大车流量是12千辆/时 (2) 【详解】（1）因为， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，因为， 所以当汽车的平均速度为35千米/时时，车流量最大，最大车流量是12千辆/时. （2）当时，由，解得，当时，满足题意，即； 当时，由及， 可得， 即，解得，即. 故汽车的平均速度应在范围内. 10．（24-25高一上·云南·阶段练习）年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击.为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用. (1)一次喷洒个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒个单位的消毒剂，小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的小时中能够持续有效消毒，试求的最小值．（精确到，参考数据：取） 【答案】(1)小时 (2) 【详解】（1）因为一次喷洒个单位的消毒剂， 所以浓度. 则当时，令，解得，故； 当时，令，解得，故， 综上，. 故若一次喷洒个单位消毒的消毒剂，则有效消毒时间可达小时. （2）设从第一次喷洒起，经小时后， 浓度， 因为，，所以由基本不等式可得 ， 当且仅当，即时，等号成立，有最小值为. 令，解得. 又，所以， 所以的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $基本不等式专项训练 基本不等式专项训练 考点目录 基本不等式的定义及其使用 利用基本不等式求最值----凑项与凑系数 利用基本不等式求最值----分式型 利用基本不等式求最值----“”的妙用 利用基本不等式求最值----联立消元法与设“”法 利用基本不等式证明不等关系 基本不等式的实际应用 考点一 基本不等式的定义及其使用 1．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）函数的最大值为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 3．（2024·江苏南通·模拟预测）若命题“”是假命题，则可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 5．（2025·上海金山·三模）若，，且，则的最小值为 ． 6．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）的最小值为 . 7．（24-25高一上·北京延庆·期末）已知，则的最大值为 ，当且仅当 时，等号成立. 8．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）若，则的最大值为 ． 考点二 利用基本不等式求最值----凑项与凑系数 1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数（）的最大值为（    ） A． B．3 C．1 D． 2．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B．1 C．4 D．7 3．（24-25高一下·广东·期中）函数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高一上·河南郑州·期中）若，则（    ） A．有最小值5 B．有最大值5 C．有最小值4 D．有最大值4 5．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）当时，则函数的最大值为 ． 6．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则的最小值为 . 7．（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）已知，则的最小值为 ． 8．（24-25高二下·河北·期末）已知函数，则函数的最小值为 ． 考点三 利用基本不等式求最值----分式型 1．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 5．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 6．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）函数的最小值为 ． 7．（24-25高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ． 8．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）已知，的最小值为 . 考点四 利用基本不等式求最值----“”的妙用 1．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．10 3．（2025·四川巴中·模拟预测）已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 4．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 5．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 6．（25-26高一上·天津·期中）已知均为正数，且，则的最小值 . 7．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知，，且，则的最小值是 . 8．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 9．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 10．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 11．（24-25高一上·安徽淮南·期末）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 12．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 考点五 利用基本不等式求最值----联立消元法与设“”法 1．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 3．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·安徽安庆·开学考试）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·广西梧州·期末·多选）已知正数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏南京·期末·多选）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．ab的最小值为8 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最小值为2 7．（2025·内蒙古包头·模拟预测·多选）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 8．（24-25高三下·湖南永州·阶段练习·多选）对实数，，满足，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，且满足，则的最小值为 ． 10．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知，，且满足，则的最大值为 . 11．（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 12．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知，，若，则的最小值为 ；的取值范围是 ． 13．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知，且． (1)证明：； (2)求的最小值． 14．（24-25高一上·江西·期中）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 考点六 利用基本不等式证明不等关系 1．（25-26高三上·山西长治·阶段练习·多选）下列命题正确的有（    ） A．若，，则 B．若，则的最小值为4 C．已知都是正数，且，则 D．若且，则的取值范围为 2．（25-26高三上·福建莆田·开学考试·多选）下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．（23-24高一上·湖北十堰·期末·多选）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高一上·福建泉州·期末·多选）设，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 6．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知． (1)若，证明：； (2)若，证明：； (3)若，证明． 7．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 8．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 考点七 基本不等式的实际应用 1．（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 2．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽六安·期中）在经济学中，函数的边际函数.某公司每月最多生产台光刻机的某种设备，生产台时()这种设备的收入函数为（单位：千万元），其成本函数为（单位:千万元）． (1)求成本函数的边际函数的最大值； (2)求生产台光刻机的这种设备的利润的最小值． 4．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）近日，随着暑期来临，莆田市政府积极制定政策，决定政企联动，为某制衣有限公司在暑假期间加班追产提供(万元)的专项补贴.某制衣有限公司在收到莆田市政府（万元）补贴后，产量将增加到(万件).同时某制衣有限公司生产(万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益＝销售金额+政府专项补贴－成本. (1)求某制衣有限公司暑假期间，加班追产所获收益(万元)关于政府补贴（万元）的表达式； (2)莆田市政府的专项补贴为多少万元时，某制衣有限公司暑假期间加班追产所获收益(万元)最大? 5．（25-26高三上·广东中山·阶段练习）我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 6．（24-25高一下·湖南娄底·期中）娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转的时间（单位：年）的函数关系为. (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 7．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 8．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）今年春节一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某企业春节期间加班追产提供（万元）的专项补. 企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出. 注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本. (1)求企业春节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式； (2)当政府的专项补贴为多少万元时，企业春节期间加班追产所获收益最大？ 9．（25-26高二上·辽宁·阶段练习）交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为. (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？ (2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围？（结果精确到个位） 10．（24-25高一上·云南·阶段练习）年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击.为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用. (1)一次喷洒个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒个单位的消毒剂，小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的小时中能够持续有效消毒，试求的最小值．（精确到，参考数据：取） 2 学科网（北京）股份有限公司 $