专题02 等差数列及其前项和（期中复习讲义）高二数学上学期湘教版2019

专题02 等差数列及其前项和（期中复习讲义） 【考试要求】 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系。 【命题规律】 等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明是考查的热点。本节内容在考试中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查。解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中低档。 1.等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，定义表达式为 或 。 （2）等差中项 若三个数 , , 成等差数列，则 叫做 与 的等差中项，且有 。 2.等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列 的首项为 ,公差为 ,那么它的通项公式是 。 （2）等差数列的前 项和公式1 设等差数列 的公差为 ,其前 项和 或 。 注意：等差数列的前 项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。 3.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广： 。 （2）若 为等差数列，且 ，则 。 （3）若 是等差数列，公差为 ,则 也是等差数列，公差为 。 （4）若 , 是等差数列，则 也是等差数列。 （5）若 是等差数列，公差为 ,则 , , , 是公差为 的等差数列。 （6）数列 , , , 也是等差数列。 （7）。 （8）若项数 为偶数，则； （9）若项数 为奇数，则（中间项）。 注意：等差数列与函数的关系： ①通项公式：当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且一次项系数为公差 。若公差 ，则为递增数列，若公差 ,则为递减数列。 ②前 项和公式：当公差 时， 是关于 的二次函数且常数项为0。 类型一 等差数列的基本运算 1.记 为等差数列 的前 项和。已知 , ，则( ) A. B. C. D. 2.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则公差 ( ) A. B. C. D. 3.记 为等差数列 的前 项和。若 , ,则 。 4.已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 5.已知数列 是等差数列， ，公差 ,则其前11项和等于( ) A. B. C. D. 总结反思 1.等差数列的通项公式及前 项和公式共涉及五个量 , , , , ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题。 2.数列的通项公式和前 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 和 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。 类型二 等差数列的判断与证明 1.已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立。 ①数列 是等差数列； ②数列 是等差数列；③ 。 2.记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，已知 。 （1） 证明：数列 是等差数列； （2） 求 的通项公式。 3.已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋4，数列{bn}的首项b1＝2.若{bn}是公差为3的等差数列，求证：}也是等差数列． 总结反思 判断数列 是等差数列的常用方法 1.定义法：对任意 , 是同一常数。 2.等差中项法：对任意 , ，满足 。 3.通项公式法：对任意 ，都满足 （ , 为常数）。 4.前 项和公式法：对任意 ，都满足 （ , 为常数）。 类型三 等差数列的性质及应用 1.已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a3＋a4等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，则S9等于(　　) A．225 B．250 C．270 D．300 3.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，若，则＝(　　) A． B． C． D． 4.若等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且，则＝(　　) A． B． C． D． 5.等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？ 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　) A．－2 B． C．1 D． 7.已知单调递增数列{an}满足an＋2＝2an＋1－an(n∈N＋)，其前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　) A．若a2，a6为方程x2＋2x－35＝0的两根，则2a3＋a6＝3 B.若a9＋a5<0，S14>0，则a7是数列{an}中最大的负数项 C．若S6＝4S3，则S12－S9＝S6 D．S9＝2(S6－S3) 反思总结： 求等差数列前n项和最值的常用方法 (1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋. (2)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足的项数n使得Sn取得最大值；当a1<0，d>0时，满足的项数n使得Sn取得最小值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a5＝10，且a4·a6＝96，则公差为(　　) A．－2 B．2 C．－2或2 D．4 2．在等差数列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，则a3＋a9＝(　　) A．30 B．40 C．60 D．80 3．已知数列{an}满足对于∀m，n∈N＋，am＋n＝am＋an.若a2023＝2023，则a1＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．2023 4．已知公差不为0的等差数列{an}中，a2＋a4＝a6，a9＝，则a10＝(　　) A． B．5 C．10 D．40 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a5＝－4，S5＝－40，则(　　) A．a10＝6 B．S10＝－30 C．当且仅当n＝6时，Sn取最小值 D．a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0 2.记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a1a4＝a5，则an＝ ． 3．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，，a1＝2，则{bn}的公差为 ． 4．已知数列{an}满足a1＝2，a2＝4，an＋2－an＝(－1)n＋3，则数列{an}的前10项和为 ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 2.已知数列{an}的各项都是正数，n∈N＋. (1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝，n∈N＋，求证：数列{cn}是等差数列； (2)若，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等差数列及其前项和（期中复习讲义） 【考试要求】 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系。 【命题规律】 等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明是考查的热点。本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查。解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中低档。 1.等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，定义表达式为 （常数） 或 （常数） 。 （2）等差中项 若三个数 , , 成等差数列，则 叫做 与 的等差中项，且有 。 2.等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列 的首项为 ,公差为 ,那么它的通项公式是 。 （2）等差数列的前 项和公式1 设等差数列 的公差为 ,其前 项和 或 。 注意：等差数列的前 项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。 3.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广： 。 （2）若 为等差数列，且 ，则 。 （3）若 是等差数列，公差为 ,则 也是等差数列，公差为 。 （4）若 , 是等差数列，则 也是等差数列。 （5）若 是等差数列，公差为 ,则 , , , 是公差为 的等差数列。 （6）数列 , , , 也是等差数列。 （7） 。 （8）若项数 为偶数，则 ； （9）若项数 为奇数，则 （中间项）。 注意：等差数列与函数的关系： ①通项公式：当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且一次项系数为公差 。若公差 ，则为递增数列，若公差 ,则为递减数列。 ②前 项和公式：当公差 时， 是关于 的二次函数且常数项为0。 类型一 等差数列的基本运算 1.记 为等差数列 的前 项和。已知 , ，则( A ) A. B. C. D. [解析]设该等差数列 的公差为 ，由题知， 解得 所以 ， 。 2.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则公差 ( D ) A. B. C. D. [解析]因为 ,所以 ，所以 ，则 。所以 。 3.记 为等差数列 的前 项和。若 , ,则 。 [解析]设等差数列 的公差为 ,又 , ,所以 。则 。 4.已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ( C ) A. B. C. D. [解析]解法一：因为 ，所以 ，所以 ，故选C。 解法二：设等差数列 的公差为 ，则由题意，得 解得 所以 ，故选C。 5.已知数列 是等差数列， ，公差 ,则其前11项和等于( A ) A. B. C. D. [解析]解法一：因为 ,所以 ,所以前11项和 ，故选A。 解法二：由 ，得 ,解得 ，所以前11项和 ,故选A。 总结反思 1.等差数列的通项公式及前 项和公式共涉及五个量 , , , , ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题。 2.数列的通项公式和前 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 和 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。 类型二 等差数列的判断与证明 1.已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立。 ①数列 是等差数列；②数列 是等差数列；③ 。 [答案]【解】 ①③ ②。 已知 是等差数列， 。 设数列 的公差为 ，则 ，得 ，所以 。 1:求出 的前 项和 因为数列 的各项均为正数，所以 ，所以 （常数） 所以数列 是等差数列。 ①② ③。 已知 是等差数列， 是等差数列。 设数列 的公差为 ， 则 。 1:求出 表达式 因为数列 是等差数列，所以数列 的通项公式是关于 的一次函数，则 ， 2:利用等差数列通项的一次函数性质，即 ，所以 。 ②③ ①。 已知数列 是等差数列， ，所以 ， 。 设数列 的公差为 ， ，则 ,得 ， 1:求出首项与公差的关系 所以 ,所以 ， 2:由②求 表达式，所以 , 3:由 与 关系求。 又 符合上式，所以 ，因为 为常数， 所以数列 是等差数列。 2.记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，已知 。 （1） 证明：数列 是等差数列； （2） 求 的通项公式。 证明（1）：因为 是数列 的前 项积，所以 时， ,代入 可得， ，整理可得 ，即 。又 ，所以 ，故 是以 为首项， 为公差的等差数列。 （2）由（1）可知， ,则 ，所以 ，当 时， ，当 时， 。而 不适合上式，故 3.已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋4，数列{bn}的首项b1＝2.若{bn}是公差为3的等差数列，求证：}也是等差数列． 证明：因为{bn}是公差为3的等差数列， 所以bn＋1－bn＝3. 又an＝2n＋4，所以＝(2bn＋1＋4)－(2bn＋4)＝2(bn＋1－bn)＝6，所以}是等差数列． 总结反思 判断数列 是等差数列的常用方法 1.定义法：对任意 , 是同一常数。 2.等差中项法：对任意 , ，满足 。 3.通项公式法：对任意 ，都满足 （ , 为常数）。 4.前 项和公式法：对任意 ，都满足 （ , 为常数）。 类型三 等差数列的性质及应用 1.已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a3＋a4等于(　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：B　因为2an＝an－1＋an＋1，所以{an}是等差数列， 由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9， 所以a3＋a4＝3＋4＝7. 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，则S9等于(　　) A．225 B．250 C．270 D．300 解析：C　等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝150，解得a5＝30，∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝270. 3.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，若，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：A　由{an}为等差数列，可知S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12构成等差数列， 设S4＝x，因为，所以S8＝3x，所以x，2x，S12－3x，S16－S12成等差数列，所以S12＝6x，S16＝10x，则.故选A. 4.若等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：B　由等差数列的前n项和公式可得， 又，∴，故选B. 5.等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？ 解：法一：设公差为d.由S3＝S11，可得3a1＋d，即d＝－a1. 从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，因为a1>0，所以－<0. 故当n＝7时，Sn最大． 法二：易知Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数， 由S3＝S11，可知Sn＝An2＋Bn的图象关于直线n＝＝7对称． 由法一可知A＝－<0，故当n＝7时，Sn最大． 法三：设公差为d.由法一可知d＝要使Sn最大，则有 即解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大． 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　) A．－2 B． C．1 D． 解析：D　法一：设等差数列{an}的公差为d，由S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝1，得a1＋4d＝，则a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝，故选D. 法二：因为{an}为等差数列，所以S9＝＝9a5＝1，得a5＝，则a3＋a7＝2a5＝，故选D. 7.已知单调递增数列{an}满足an＋2＝2an＋1－an(n∈N＋)，其前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　) A.若a2，a6为方程x2＋2x－35＝0的两根，则2a3＋a6＝3 B.若a9＋a5<0，S14>0，则a7是数列{an}中最大的负数项 C.若S6＝4S3，则S12－S9＝S6 D.S9＝2(S6－S3) 解析：BC　∵an＋2＝2an＋1－an(n∈N＋)， ∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴数列{an}是等差数列，又{an}单调递增，∴公差d>0.对于A，若a2，a6为方程x2＋2x－35＝0的两根，且a2<a6，则a2＝－7，a6＝5，故d＝＝3，∴2a3＋a6＝2(a2＋d)＋，故A错误；对于B，∵{an}是等差数列，∴a9＋a5＝2a7<0，∴a7<0，∵S14>0，∴0，∴a8>0，∵{an}单调递增，∴a7是数列{an}中最大的负数项，故B正确；对于C，∵{an}是等差数列，∴S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9构成等差数列，令S3＝k，则S6＝4k，S6－S3＝3k，易知S12－S9＝7k＝S6，故C正确；对于D，∵S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，∴S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，整理得S9＝3(S6－S3)，故D错误．故选BC. 反思总结： 求等差数列前n项和最值的常用方法 (1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋. (2)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足的项数n使得Sn取得最大值；当a1<0，d>0时，满足的项数n使得Sn取得最小值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a5＝10，且a4·a6＝96，则公差为(　　) A．－2 B．2 C．－2或2 D．4 解析：B　设等差数列{an}的公差为d，∵a4·a6＝(a5－d)(a5＋d)＝(10－d)(10＋d)＝96，∴d＝2或d＝－2，∵an＞0，∴d＞0，∴d＝2，故选B. 2．在等差数列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，则a3＋a9＝(　　) A．30 B．40 C．60 D．80 解析：C　由等差数列的性质可得a2＋2a6＋a10＝4a6＝120，所以a6＝30，所以a3＋a9＝2a6＝60，故选C. 3．已知数列{an}满足对于∀m，n∈N＋，am＋n＝am＋an.若a2023＝2023，则a1＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．2023 解析：A　令m＝1，则an＋1＝a1＋an，故an＋1－an＝a1，∵a1为常数，故数列{an}是等差数列，公差为a1， ∴a2023＝a1＋(2023－1)a1＝2023a1＝2023，则a1＝1，故选A. 4．已知公差不为0的等差数列{an}中，a2＋a4＝a6，a9＝，则a10＝(　　) A． B．5 C．10 D．40 解析：A　设公差为d，由已知得由于d≠0， 故a1＝d＝，所以a10＝. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a5＝－4，S5＝－40，则(　　) A．a10＝6 B．S10＝－30 C．当且仅当n＝6时，Sn取最小值 D．a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0 解析：AB　设等差数列{an}的公差为d，由得 解得所以an＝2n－14， Sn＝＝n2－13n，则a10＝6，S10＝－30，故A，B正确； 令an＝2n－14≤0，得n≤7，且a7＝0，则n＝6或n＝7时，Sn取最小值，故C不正确； 因为a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝5a7＝0，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝6≠0，故D不正确． 2.记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a1a4＝a5，则an＝ ． 解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由 得得∴an＝2－(n－1)＝3－n. 答案：3－n 3．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，，a1＝2，则{bn}的公差为 ． 解析：∵，∴可得Sn＝kn(3n－2)，Tn＝kn(2n＋1)，k≠0. 又∵2＝a1＝S1＝k×1×(3×1－2)，∴k＝2，∴Tn＝2n(2n＋1)＝4n2＋2n， ∴T1＝4＋2＝6＝b1，T2＝16＋4＝20＝b1＋b2＝6＋b2，∴b2＝14，b2－b1＝14－6＝8，即{bn}的公差为8. 答案：8 4．已知数列{an}满足a1＝2，a2＝4，an＋2－an＝(－1)n＋3，则数列{an}的前10项和为 ． 解析：由题意，当n为奇数时，an＋2－an＝－1＋3＝2，所以数列{a2n－1}是首项为2，公差为2的等差数列，所以a2n－1＝2＋2(n－1)＝2n. 当n为偶数时，an＋2－an＝1＋3＝4， 所以数列{a2n}是首项为4，公差为4的等差数列，所以a2n＝4＋4(n－1)＝4n. 设数列{an}的前10项和为S10， 则S10＝a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a3＋…＋a9)＋(a2＋a4＋…＋a10)＝＝90. 答案：90 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列的公差为d，由题意可得 即解得所以an＝13－2(n－1)＝15－2n. (2)因为Sn＝＝14n－n2，令an＝15－2n>0，解得n<，且n∈N＋， 当n≤7时，则an>0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝14n－n2； 当n≥8时，则an<0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a7)－(a8＋…＋an)＝2S7－Sn＝2×(14×7－72)－(14n－n2)＝n2－14n＋98； 综上所述：Tn＝ 2.已知数列{an}的各项都是正数，n∈N＋. (1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝，n∈N＋，求证：数列{cn}是等差数列； (2)若，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：由题意得＝anan＋1，则cn＝＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，∴{cn}是等差数列． (2)当n＝1时，∵a1＞0，∴a1＝1. 当n≥2时，① ，② ①－②得＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)． ∵an＞0，∴＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an，③ ∵a1＝1适合上式，∴当n≥2时＝2Sn－1－an－1，④ ③－④得＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1， ∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an＝n. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $