专题01数列的概念与简单表示法（期中复习讲义）高二数学上学期湘教版2019

专题01 数列的概念与简单表示法（期中复习讲义） 【考试要求】 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）； 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数。 【命题规律】以考查与的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点。在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档。 1.数列的有关概念 （1）数列的定义 按照 排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的 。 （2）数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数 无穷数列 项数 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数 ，使 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 周期数列 对 ，存在正整数常数 ，使 （3）数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 、 和 。 注意：数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊法。 2.数列的通项公式 （1）数列的通项公式 如果数列 的第 项 与 之间的对应关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 （2）已知数列 的前 项和 ，则｛ , , , 。 注意：①并不是所有的数列都有通项公式；②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一。 3.数列的递推公式 如果已知数列 的首项（或前几项），且 与它的 （或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。 类型一 归纳数列的通项公式 1. 数列 , , , , , 的一个通项公式为 ( ) A. B. C. D. 2. 数列 ， ， ， ， 的通项公式不可能为( ) A. B. C. D. 3. 已知数列 的前5项为 , , , , ，则 的一个通项公式为 。 4. ， ， , ， 的一个通项公式是 。 反思总结：根据数列的前几项归纳通项公式时应考虑 1.分式中分子、分母的特征。 2.相邻项的变化特征。 3.拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分。 4.各项的符号特征。 类型二 由 与 的关系求通项公式 1.设数列 满足 ,则 。 2.记 为数列 的前 项和。若 ，则 。 3.已知 的前 项和为 ，满足 ，则 。 4.设 是数列 的前 项和，已知 , ，则 。 5.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N＋)，则an＝ ． 6.已知数列{an}满足1＋a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)2n+1＋2，n∈N＋，则数列{an}的通项公式为 ． 7.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N＋)，则an＝ ． 8.已知在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝ ． 总结反思 1．已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式． 2．Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 类型三 由数列的递推关系求通项公式 1.在数列 中， , ，则通项公式 。 2.设数列 是首项为1的正项数列，且 ，则它的通项公式是 。 3.已知数列 中， ， ,则 。 4.若 ， ,则通项公式 。 5.若 ， ,则数列 的通项公式 。 总结反思 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 1.当出现 时，用累加法求解。 2.当出现 时，用累乘法求解。 类型四　数列的性质 1.数列{an}满足a1＝(n∈N＋)，则a2027＝(　　) A．　　 B．3　　 C．－2　　 D．－ 2.设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn，若数列{an}是递增数列，则实数k的取值范围为 ． 3.已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则数列{an}的最大项为第 项． 反思感悟 1.解决数列单调性问题的几种方法 (1)作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列． (2)作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与“1”的大小关系进行判断． (3)结合相应函数的图象直观判断． 2．解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3．求数列的最大项或最小项的常用方法 (1)函数法，利用函数的单调性求最值． (2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. 已知数列 的通项公式为 , 为其前 项和，则 ( ) A. B. C. D. 2. 若数列 的通项公式为 ，则数列 的前 项和 ( ) A. B. C. D. 3. 若数列 , 满足 , ，则 的前10项之和为( ) A. B. C. D. 4. 已知在等差数列 中， ，等比数列 的公比 满足 且 ，则 ( ) A. B. C. D. 5. ( ) A. B. C. D. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1. 已知数列 为等差数列，首项为1，公差为2。数列 为等比数列，首项为1，公比为2。设 , 为数列 的前 项和，则当 时， 的值可以是( ) A. B. C. 或9 D. 2.已知数列 满足 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 3.已知数列 的前 项和 满足 ，记数列 的前 项和为 , ，则使得 成立的 的最大值为( ) A. B. C. D. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1. 。 2.已知数列 的前 项和 ，则 的前 项和 。 3.已知函数 。数列 满足 ，则数列 的前100项和是 。 4.已知等差数列 的前 项和为 , ,且 , , 成等比数列。 （1） 求数列 的通项公式； （2） 若 , 是数列 的前 项和，求 。 5.已知数列 的前 项和为 ，且满足 , 。 （1） 求数列 的通项公式； （2） 数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，求数列 的前 项和。 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列的概念与简单表示法（期中复习讲义） 【考试要求】 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）； 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数。 【命题规律】以考查与的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点。在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档。 1.数列的有关概念 （1）数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。 （2）数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 ＞ 其中 递减数列 ＜ 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数 ，使 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 周期数列 对 ，存在正整数常数 ，使 （3）数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法。 注意：数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊法。 2.数列的通项公式 （1）数列的通项公式 如果数列 的第 项 与序号 之间的对应关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 （2）已知数列 的前 项和 ，则 ｛ , , , 。 注意：①并不是所有的数列都有通项公式；②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一。 3.数列的递推公式 如果已知数列 的首项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。 类型一 归纳数列的通项公式 1. 数列 , , , , , 的一个通项公式为 ( D ) A. B. C. D. [解析]数列转化为 , ， , , ， ，所以该数列的一个通项公式为 。 2. 数列 ， ， ， ， 的通项公式不可能为( B ) A. B. C. D. [解析]对于A，当 为奇数时， ，当 为偶数时, ，故A正确；对于B，当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，故B不正确；对于C，当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，故C正确；对于D，当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，故D正确。故选B。 3. 已知数列 的前5项为 , , , , ，则 的一个通项公式为 。 [解析]因为2， ， ， ，30分别可分解为 , , , , ，所以 的第 项的分子可表示为 ；因为3， ， ， ，3分别减4得 , , , , ，所以数列 的第 项的分母可表示为 。故数列 的一个通项公式为 。 4. ， ， , ， 的一个通项公式是 , 。 [解析]这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是 , 。 反思总结：根据数列的前几项归纳通项公式时应考虑 1.分式中分子、分母的特征。 2.相邻项的变化特征。 3.拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分。 4.各项的符号特征。 类型二 由 与 的关系求通项公式 1.设数列 满足 ,则 。 [解析]因为 ,故当 时， 。两式相减得 ，所以 。又由题设可得 ，满足上式，从而 的通项公式为 。 2.记 为数列 的前 项和。若 ，则 。 [解析]由 ，得 ，所以 , 。当 时， ，即 ，所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，所以 ，则 ，当 时， 。 3.已知 的前 项和为 ，满足 ，则 。 [解析]因为 ,所以 。当 时， 。当 时， ，因为 不满足此等式，所以 4.设 是数列 的前 项和，已知 , ，则 。 [解析]依题意得 ，整理得 ，又 ，则数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，因此 ，即 。 5.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N＋)，则an＝ ． 解析：由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.因此an＝ 答案： 6.已知数列{an}满足1＋a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)2n+1＋2，n∈N＋，则数列{an}的通项公式为 ． 解析：对于1＋a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)·2n+1＋2(n∈N＋)， 当n≥2时，可得1＋a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)·an－1＝(n－2)·2n＋2， 两式相减得nan＝(n－1)·2n+1－(n－2)·2n＝n·2n，即an＝2n(n≥2)． 当n＝1时，可得1＋a1＝2，a1＝1，不满足上式，所以数列 {an}的通项公式为an＝ 答案：an＝ 7.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N＋)，则an＝ ． 解析：由an＋1＝3Sn得Sn＋1－Sn＝3Sn， ∴Sn＋1＝4Sn，又S1＝a1＝1≠0， ∴{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，∴Sn＝4n-1. ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n-1－4n-2＝3×4n-2，又n＝1时，不适合上式， ∴an＝ 答案： 8.已知在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝ ． 解析：当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，所以a1＝－1. 当n≥2时，Sn＝2an＋1，① Sn－1＝2an－1＋1，② ①－②得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，所以数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列．所以an＝a1·qn-1＝－2n-1. 答案：－2n-1 总结反思 1．已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式． 2．Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 类型三 由数列的递推关系求通项公式 1.在数列 中， , ，则通项公式 。 [解析]（累加法）原递推公式可化为 ，则 , , , , 。逐项相加，得 。又 ，故 。 2.设数列 是首项为1的正项数列，且 ，则它的通项公式是 。 [解析]原式可化为 。因为 ，所以 。则 , , , , ，逐项相乘，得 ，又 ，故 。 3.已知数列 中， ， ,则 。 [解析]依题意得 , 。 4.若 ， ,则通项公式 。 [解析]由 ,得 ,所以 。又 适合上式，故 。 5.若 ， ,则数列 的通项公式 。 [解析]因为 ， ，所以 ，所以 ，即 。又 ，则 ，所以 是以1为首项， 为公差的等差数列。所以 。所以 。 总结反思 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 1.当出现 时，用累加法求解。 2.当出现 时，用累乘法求解。 类型四　数列的性质 1.数列{an}满足a1＝(n∈N＋)，则a2027＝(　　) A．　　 B．3　　 C．－2　　 D．－ 解析：C　因为数列{an}满足a1＝(n∈N＋)， 所以a2＝＝－2，a4＝， 则{an}是以4为周期的周期数列，所以a2027＝a506×4＋3＝a3＝－2.故选C. 2.设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn，若数列{an}是递增数列，则实数k的取值范围为 ． 解析：由数列{an}是递增数列，可得an＋1＞an对于任意的n∈N＋恒成立，即(n＋1)2＋k(n＋1)＞n2＋kn，即2n＋1＋k＞0，即k＞－2n－1对于任意的n∈N＋恒成立．因为f(n)＝－2n－1(n∈N＋)递减，所以f(n)max＝f(1)＝－3，所以k＞－3. 答案：(－3，＋∞) 3.已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则数列{an}的最大项为第 项． 解析：法一：因为an＋1－an＝，所以当n≥4时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an；当n≤3时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an.得a1＜a2＜a3＜a4＞a5＞a6＞…，故数列{an}的最大项为第4项． 法二：设数列{an}中的最大项为ak，则即解得.因为k∈N＋，所以k＝4.故数列{an}的最大项为第4项．答案：4 反思感悟 1.解决数列单调性问题的几种方法 (1)作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列． (2)作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与“1”的大小关系进行判断． (3)结合相应函数的图象直观判断． 2．解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3．求数列的最大项或最小项的常用方法 (1)函数法，利用函数的单调性求最值． (2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. 已知数列 的通项公式为 , 为其前 项和，则 ( D ) A. B. C. D. [解析]因为 ,所以 , ,所以 。故选D。 2. 若数列 的通项公式为 ，则数列 的前 项和 ( D ) A. B. C. D. [解析] 。故选D。 3. 若数列 , 满足 , ，则 的前10项之和为( B ) A. B. C. D. [解析]因为 ，所以 。 4. 已知在等差数列 中， ，等比数列 的公比 满足 且 ，则 ( B ) A. B. C. D. [解析]因为 , ，所以 。所以 ，即 是首项为3，公比为4的等比数列。所以 。故选B。 5. ( B ) A. B. C. D. [解析]由 ，得 ，两式相减得 ，所以 。故选B。 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1. 已知数列 为等差数列，首项为1，公差为2。数列 为等比数列，首项为1，公比为2。设 , 为数列 的前 项和，则当 时， 的值可以是( C ) A. B. C. 或9 D. [解析]由题意， , , ，则数列 为递增数列，其前 项和 。当 时， ；当 时， 。所以 的取值可以是8, 。故选C。 2.已知数列 满足 ， ，则 ( D ) A. B. C. D. [解析]因为 ①，所以 ②,① ②,得 ,又 ，当 时， ，所以 ，所以数列 从第2项开始，每隔一项，即偶数项，构成以2为首项，2为公比的等比数列， ， ， ， ， ，共1 010项；从第1项开始，每隔一项，即奇数项，构成以1为首项，2为公比的等比数列， ， ， ， ， ，共1 011项。所以 ，故选D。 3.已知数列 的前 项和 满足 ，记数列 的前 项和为 , ，则使得 成立的 的最大值为( C ) A. B. C. D. [解析]当 时， ，当 时， ①，当 时满足①，所以 ,所以 ,所以数列 的前 项和 ，由 ,解得 ,故使得 成立的 的最大值为19，故选C。 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1. 。 [解析]通项 ，所以 。 2.已知数列 的前 项和 ，则 的前 项和 。 [解析]由 ，得 是等差数列，且首项为 ，公差为2，所以 。所以当 时， ；当 时， 。所以 3.已知函数 。数列 满足 ，则数列 的前100项和是100。 [解析]由题意，当 , 时， 。设数列 的前 项和为 ，则 。 4.已知等差数列 的前 项和为 , ,且 , , 成等比数列。 （1） 求数列 的通项公式； （2） 若 , 是数列 的前 项和，求 。 [答案]解（1）因为 ，所以 。 设数列 的公差为 ，由 ， ， 成等比数列得 ， 所以 ，所以 ，所以 。 （2）因为 ，所以 ， 所以 。 5.已知数列 的前 项和为 ，且满足 , 。 （1） 求数列 的通项公式； （2） 数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，求数列 的前 项和。 [答案]解（1）因为 ①, 所以 ②,由①-②得 ，即 ， 当 时， , , 所以数列 为等比数列，其首项为2，公比为2，所以 。 （2）由（1）得 ，所以 , ， 所以数列 的前 项和为 。 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $