专题03 等比数列及其前项和（期中复习讲义）高二数学上学期湘教版2019

专题03 等比数列及其前项和（期中复习讲义） 【考试要求】 1.理解等比数列的概念； 2.掌握等比数列的通项公式与前 项和公式； 3.了解等比数列与指数函数的关系。 【命题规律】等比数列也是高考的常考内容，以等比数列的基本公式及基本运算为基础，可考查单一的等比数列问题，但更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等。从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性。 1.等比数列的有关概念 （1）定义 ①文字语言：从 起，每一项与它的前一项的 都等于 一个常数（非零）。 ②符号语言： （ , 为非零常数）。 （2）等比中项：如果 , , 成等比数列，那么 叫做与的等比中项。即 是与的等比中项 , , 成等比数列 注意：等比数列中每一项与公比都不是0。 2.等比数列的有关公式 （1）通项公式： 。 （2）前 项和公式： 注意：等比数列前项和中不能忽视这种特殊情况。 3.等比数列的性质 （1）通项公式的推广： 。 （2）对任意的正整数,,,,若 ,则。 特别地，若 ,则 。 （3）若等比数列前 项和为 ,则 , , 仍成等比数列，即 （ ,公比 ）。 （4）数列 是等比数列，则数列 （ , 是常数）也是 数列。 （5）在等比数列 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 , , , , 为等比数列，公比为 。 （6）若 或 则等比数列 递增。若 或 则等比数列 递减。 注意：在等比数列 中，若 ，则不一定有 成立，如当数列 是非零常数列时，此结论不成立。当 且 为偶数时， , , ， 不是等比数列。 类型一 等比数列的基本运算 1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a4＝，则公比q等于(　　) A．－ B．－2 C．2 D．± 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝－8，a7＝，则S6＝(　　) A．－ B． C． D． 3．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 4．已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5＝(　　) A．－2 B．±2 C．2 D．± 5. 已知等比数列 满足 , ，则 ( ) A. B. C. D. 6. 设等比数列 的公比为 ，首项 ，则“ ”是“对 ， ”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设 是首项为2的等比数列， 是其前 项和。若 ，则 反思总结： 等比数列基本运算中的常用思想方法 (1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解． (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，q表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． (3)分类讨论思想：若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式时要对q分q＝1和q≠1两种情况进行讨论． 类型二 等比数列的判定与证明 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N＋)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列． 2.已知数列{an}满足a1＝1，且点(an，an＋1－2n)在函数f(x)＝3x的图象上． 求证：是等比数列，并求{an}的通项公式． 3.已知各项均为正数的数列 满足 , 。 （1） 证明：数列 为等比数列，并求通项公式； （2） 若数列 的前 项和为 ,且 ,求 的最小值。 4.已知数列 的前 项和为 ,且满足 。 （1） 求证：数列 为等比数列；（2） 求数列 的前 项和 。 反思总结 1．等比数列的证明方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：若数列{an}中an≠0且＝an·an＋2(n∈N＋)，则数列{an}是等比数列． 2．等比数列的其他判定方法(常用于主观题的判定) (1)通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn-1(c，q均为不为0的常数，n∈N＋)，则{an}是等比数列． (2)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列． 类型三 等比数列的性质及综合问题 1.在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两个实数根，则的值为(　　) A． B．3 C．± D．±3 2.(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 3.若等差数列{an}的公差不为0，数列{an}中的部分项组成的数列，…恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝4，k3＝10，则满足kn>100的最小的整数n是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 反思总结 解决等差数列与等比数列综合问题的技巧 (1)解决等差数列与等比数列的公共项问题时，应根据两种数列的通项公式，对公共项用两种形式表示，从而建立基本量之间的关系进行求解． (2)注意等差数列与等比数列之间可以相互转化，对正项等比数列取同底数的对数可得到等差数列，以等差数列的项为幂指数的同底数的幂值则构成等比数列． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知正项等比数列{an}满足a3为2a2与a6的等比中项，则＝(　　) A． B． C． D．2 2．(经典高考题)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 3．在数列{an}中，a1＝14，－3，则(　　) A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 4．(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　) A．3 B．18 C．54 D．152 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1. 在各项均为正数的等比数列 中， , ，则 ( B ) A. B. C. D. 2. 在各项均为正数的等比数列 中， ，则 的最大值是( ) A. B. C. D. 3. 设等比数列 的前 项和为 ,若 ，则 。 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.在①q·d＝1，②a2＋b3＝0，③S2＝T2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的λ存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由． 若Sn是公差为d的等差数列{an}的前n项和，Tn是公比为q的等比数列{bn}的前n项和， ，a1＝1，S5＝25，a2＝b2，是否存在正数λ，使得λ|Tn|<12? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等比数列及其前项和（期中复习讲义） 【考试要求】 1.理解等比数列的概念； 2.掌握等比数列的通项公式与前 项和公式； 3.了解等比数列与指数函数的关系。 【命题规律】等比数列也是高考的常考内容，以等比数列的基本公式及基本运算为基础，可考查单一的等比数列问题，但更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等。从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性。 1.等比数列的有关概念 （1）定义 ①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数（非零）。 ②符号语言：（ , 为非零常数）。 （2）等比中项：如果 , , 成等比数列，那么 叫做与的等比中项。即 是与的等比中项 , , 成等比数列 。 注意：等比数列中每一项与公比都不是0。 2.等比数列的有关公式 （1）通项公式： 。 （2）前 项和公式： ｛ , , = , 。 注意：等比数列前项和中不能忽视这种特殊情况。 3.等比数列的性质 （1）通项公式的推广： 。 （2）对任意的正整数,,,,若 ,则。 特别地，若 ,则 。 （3）若等比数列前 项和为 ,则 , , 仍成等比数列，即 （ ,公比 ）。 （4）数列 是等比数列，则数列 （ , 是常数）也是等比数列。 （5）在等比数列 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 , , , , 为等比数列，公比为 。 （6）若 或 则等比数列 递增。若 或 则等比数列 递减。 注意：在等比数列 中，若 ，则不一定有 成立，如当数列 是非零常数列时，此结论不成立。当 且 为偶数时， , , ， 不是等比数列。 类型一 等比数列的基本运算 1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a4＝，则公比q等于(　　) A．－ B．－2 C．2 D．± 解析：D　设等比数列的公比为q, 由{an}是等比数列．a2＝2，a4＝，则q2＝，解得q＝±. 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝－8，a7＝，则S6＝(　　) A．－ B． C． D． 解析：C　设等比数列{an}的公比为q，由a2＝－8，a7＝，得q5＝，∴q＝－，a1＝16，故S6＝. 3．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 解析：C　当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－.综上，q的值是1或－. 4．已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5＝(　　) A．－2 B．±2 C．2 D．± 解析：C　因为a2a3a4＝1，所以a3＝1，因为a6a7a8＝64，所以a7＝4， 又＝a3a7＝4，又a5与a3同号，所以a5＝2. 5. 已知等比数列 满足 , ，则 ( A ) A. B. C. D. [解析]因为 ，所以 ，所以 。设数列 的公比为 。再由 得 ，则 。故选A。 6. 设等比数列 的公比为 ，首项 ，则“ ”是“对 ， ”的( B ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]由 ，得 ，因为 ，即为 ，即 ，得 或 ，所以“ ”是“对 , ”的充分不必要条件。故选B。 7. 设 是首项为2的等比数列， 是其前 项和。若 ，则 。 [解析]设等比数列 的公比为 ，由题意知 ，又 ，所以 , 。 反思总结： 等比数列基本运算中的常用思想方法 (1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解． (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，q表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． (3)分类讨论思想：若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式时要对q分q＝1和q≠1两种情况进行讨论． 类型二 等比数列的判定与证明 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N＋)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列． 证明：因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，所以 ＝＝2. 因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3. 所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列． 2.已知数列{an}满足a1＝1，且点(an，an＋1－2n)在函数f(x)＝3x的图象上． 求证：是等比数列，并求{an}的通项公式． 证明：由点(an，an＋1－2n)在函数f(x)＝3x的图象上，可得an＋1＝2n＋3an， 所以＋1，即，也即， 由a1＝1，得，所以是首项和公比均为的等比数列， 则＋1＝n，所以an＝3n－2n. 3.已知各项均为正数的数列 满足 , 。 （1） 证明：数列 为等比数列，并求通项公式； （2） 若数列 的前 项和为 ,且 ,求 的最小值。 解 证明（1）：因为 ,所以 。又数列 的各项均为正数，所以 ,所以 ,即 ，所以数列 是首项 ，公比为2的等比数列，所以数列 的通项公式为 。 （2）解 ,所以 ,又 ，所以 ,即 ,所以 ,又 ，所以正整数 的最小值为4。 4.已知数列 的前 项和为 ,且满足 。 （1） 求证：数列 为等比数列；（2） 求数列 的前 项和 。 证明（1）： ,当 时， ,两式相减，得 ,即 。所以 ,由 得 所以数列 为等比数列。 （2）由（1）知，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列。所以 ,所以 ，所以 ,所以 。 反思总结 1．等比数列的证明方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：若数列{an}中an≠0且＝an·an＋2(n∈N＋)，则数列{an}是等比数列． 2．等比数列的其他判定方法(常用于主观题的判定) (1)通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn-1(c，q均为不为0的常数，n∈N＋)，则{an}是等比数列． (2)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列． 类型三 等比数列的性质及综合问题 1.在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两个实数根，则的值为(　　) A． B．3 C．± D．±3 解析：B　∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两个实数根，∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9，∴a1>0，a13>0，a1·a13＝a2·a12＝＝9.又等比数列中奇数项的正负号相同，∴a7＝3，∴＝3，故选B. 2.(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 解析：C　法一：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝. 当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85； 当S2＝时，结合S4＝－5得 化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85，故选C. 法二：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 由题意易知q≠1，则化简整理得 所以S8＝(1－44)＝－85.故选C. 3.若等差数列{an}的公差不为0，数列{an}中的部分项组成的数列，…恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝4，k3＝10，则满足kn>100的最小的整数n是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：B　已知等差数列{an}的公差d≠0，数列}恰为等比数列．由k1＝1，k2＝4，k3＝10，可得＝a10，因此＝a1a10，得(a1＋3d)2＝a1(a1＋9d)，所以a1＝3d，所以an＝a1＋(n－1)d＝(n＋2)d，所以数列}为首项为3d，公比为＝2的等比数列，则＝3d·2n-1＝(kn＋2)d，所以kn＝3·2n-1－2.由kn>100，得3·2n-1－2>100，所以2n-1>34，解得n≥7，所以满足kn>100的最小的整数n是7.故选B. 反思总结 解决等差数列与等比数列综合问题的技巧 (1)解决等差数列与等比数列的公共项问题时，应根据两种数列的通项公式，对公共项用两种形式表示，从而建立基本量之间的关系进行求解． (2)注意等差数列与等比数列之间可以相互转化，对正项等比数列取同底数的对数可得到等差数列，以等差数列的项为幂指数的同底数的幂值则构成等比数列． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知正项等比数列{an}满足a3为2a2与a6的等比中项，则＝(　　) A． B． C． D．2 解析：B　设等比数列{an}的公比为q，由题意得＝2a2·a6，即q6，所以q2＝，所以，故选B. 2．(经典高考题)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：A　易知S2，S4 －S2，S6 －S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2， 即4(S6－6)＝22，所以S6＝7. 3．在数列{an}中，a1＝14，－3，则(　　) A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 解析：B　由题知－3，所以－3＝2，又－3＝4≠0，所以是等比数列，且首项为4，公比为2.故选B. 4．(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　) A．3 B．18 C．54 D．152 解析：C　法一：因为an＋1＝2Sn＋2，所以当n≥2时，an＝2Sn－1＋2，两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，所以数列{an}是公比q＝＝3的等比数列．当n＝1时，a2＝2S1＋2＝2a1＋2，又a2＝3a1，所以3a1＝2a1＋2，解得a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54，故选C. 法二：设等比数列{an}的公比为q，因为an＋1＝2Sn＋2，所以公比q≠1，且a1qn＝＋2，所以又a1≠0，所以q＝3，a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54，故选C. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1. 在各项均为正数的等比数列 中， , ，则 ( B ) A. B. C. D. [解析]由等比数列的性质得 。故选B。 2. 在各项均为正数的等比数列 中， ，则 的最大值是( B ) A. B. C. D. [解析]由题意利用等比数列的性质知 ，又因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号。故选B。 3. 设等比数列 的前 项和为 ,若 ，则 。 [解析]解法一：由等比数列的性质知， , , 仍成等比数列，由已知得 ，所以 ，即 , ,所以 。 解法二：因为 的等比数列，由 ,设 , ,所以 , , 为等比数列，即 , , 成等比数列，所以 ，解得 ，所以 。 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.在①q·d＝1，②a2＋b3＝0，③S2＝T2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的λ存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由． 若Sn是公差为d的等差数列{an}的前n项和，Tn是公比为q的等比数列{bn}的前n项和， ，a1＝1，S5＝25，a2＝b2，是否存在正数λ，使得λ|Tn|<12? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：∵S5＝25＝5a3，∴a3＝5， ∴a2＝＝3，∴b2＝a2＝3. ∴d＝a2－a1＝3－1＝2. 若选①，∵q·d＝1，∴q＝， ∴b1＝3×2＝6， ∴Tn＝＝12×， 由λ|Tn|<12得λ≤1，又λ>0， 所以λ的取值范围为(0，1]. 若选②，∵a2＋b3＝0， ∴b3＝－a2＝－3，又b2＝a2＝3， ∴q＝－1，b1＝－3， ∴当n为偶数时，Tn＝0，则λ>0； 当n为奇数时，Tn＝－3，由λ|Tn|<12得λ<4. 综上得λ的取值范围为(0，4)． 若选③，由S2＝T2得 b1＝a1＋a2－b2＝1＋3－3＝1， ∴q＝＝3， ∴Tn＝， 由指数函数的性质可知当n→＋∞时，Tn无限增大． ∴不存在正数λ，使得λ|Tn|<12. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $