3.3幂函数专题讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.3 幂函数 目录 知识点概要 0 考点1 幂函数的概念 2 考点2 幂函数图像性质 2 考点3 幂函数与单调性 4 考点4 幂函数与奇偶性 4 考点5 幂函数比较大小 5 知识点概要 1．幂函数的定义 一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1；  ②的底数是自变量；  ③指数为常数. 2．常见的5种幂函数的图象 3．常见的5种幂函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减， 在上 单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4. 幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．画幂函数图像时，先画第一象限，再根据定义域确定有没有其他象限图像，如果有，根据奇偶性画其余的图像。 (2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3) 在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 考点1 幂函数的概念 1．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）下列函数是幂函数且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 4．（24-25高一上·全国·课后作业）关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 考点2 幂函数图像性质 1．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 2．（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 考点3 幂函数与单调性 1．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）幂函数在上是减函数，则的值为 ． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数在上单调递增，则函数在上单调 （填“递增”或“递减”）． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 4．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（    ） A．2 B．2或 C． D． 考点4 幂函数与奇偶性 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．或2 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为 ． 3．（2025高一上·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 4．（24-25高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 考点5 幂函数比较大小 1．（25-26高一上·云南·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 幂函数 目录 知识点概要 0 考点1 幂函数的概念 2 考点2 幂函数图像性质 3 考点3 幂函数与单调性 5 考点4 幂函数与奇偶性 7 考点5 幂函数比较大小 9 知识点概要 1．幂函数的定义 一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1；  ②的底数是自变量；  ③指数为常数. 2．常见的5种幂函数的图象 3．常见的5种幂函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减， 在上 单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4. 幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．画幂函数图像时，先画第一象限，再根据定义域确定有没有其他象限图像，如果有，根据奇偶性画其余的图像。 (2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3) 在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 考点1 幂函数的概念 1．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的定义即可判断. 【详解】由幂函数的定义：形如,其中为常数，所以可得是幂函数． 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·期中）下列函数是幂函数且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的定义及性质逐项判断即得. 【详解】对于AB，与都是幂函数，在上都单调递增，AB不是； 对于C，函数不是幂函数，C不是； 对于D，函数是幂函数，且在上是减函数，D是. 故选：D 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论. 【详解】若的图象不过原点，A错误； 对于幂函数，当时，恒成立，因此函数图象不过第四象限，B错误； 当时，的定义域为，且在上单调递增，为非奇非偶函数，C正确； 当时，的图象过第一、三象限，D错误． 故选：C. 考点2 幂函数图像性质 1．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 2．（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 3．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象及幂函数的性质判断即可. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C 4．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 考点3 幂函数与单调性 1．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）幂函数在上是减函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】由幂函数及其单调性即可求解. 【详解】由题意可得，解得：, 所以. 故答案为： 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数在上单调递增，则函数在上单调 （填“递增”或“递减”）． 【答案】递减 【分析】根据幂函数的单调性求出，再根据，判断的单调性. 【详解】由幂函数的性质得，解得， 因为，所以，则，故在，上单调递减． 故答案为：递减. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)为奇函数． (2) 【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. （2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 4．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和单调性求的值，分析函数的奇偶性，根据为奇函数可得结果. 【详解】∵函数是幂函数，∴，解得或， ∵对任意的且，满足， ∴在上为增函数，故，即， ∵，∴为上单调递增的奇函数， ∵，∴， ∴，故. 故选：B. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（    ） A．2 B．2或 C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂函数的概念求出或，再根据幂函数在上的单调性进行选择. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或． 因为且都有成立， 所以在上单调递减，所以． 故选：D 考点4 幂函数与奇偶性 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．或2 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义求出的可能值，再结合奇偶性即可得出结果． 【详解】由为幂函数得，即，解得或． 当时，，，原幂函数为偶函数，所以； 当时，，，原幂函数为奇函数，故． 故选：A． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为 ． 【答案】1或3或5 【分析】由题意，令求出k的范围，再根据，以及幂函数的图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，由此求出k的值． 【详解】由题意，令，解得，因为，所以； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当k＝4时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 综上，k的值为1或3或5． 故答案为：1或3或5． 3．（2025高一上·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据幂函数单调性和对称性求得，然后探究函数的性质，利用单调性解不等式组即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，解得， 又，所以． 又幂函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 所以，故不等式为， 因为函数的定义域为，且在和上单调递减， 当时，，当时，， 故不等式可化为或或，解得或，即实数的取值范围为． 故答案为： 4．（24-25高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质可得，代入解不等式即可. 【详解】因为为幂函数， 则，解得或， 若，则为偶函数，符合题意； 若，则为奇函数，不符合题意； 综上所述：. 不等式，即为，等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 考点5 幂函数比较大小 1．（25-26高一上·云南·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小. 【详解】，，对于幂函数， 因为指数，故在上单调递增，又，所以． 故选：C. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，设，，由幂函数的性质可判断与的单调性，由单调性比较大小得到正确答案即可. 【详解】因为是幂函数，可设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得，所以，定义域为， 设，定义域为，因为， 所以由幂函数性质得在上单调递增， 若，则有，即，故A错误，B正确； 设，定义域为， 因为，所以由幂函数性质得在上单调递减， 若，则有，即，故C正确，D错误. 故选：BC 5．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对每个数变形，再利用幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，， 所以，又因为， 且幂函数在上单调递增.所以. 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 $