3.2.1单调性与最大（小）值专题讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 单调性与最大（小）值 目录 知识点概要 0 考点1 单调性定义的理解 3 考点2 基本初等函数的单调性 3 考点3 复合函数的单调性 4 考点4 根据函数的单调性求参 5 考点5 函数的最值 5 考点6 分段函数的单调性与最值 6 考点7 构造单调性不等式 6 考点8 用定义证明单调性 7 知识点概要 1．单调性定义的理解 一般地，设函数的定义域为： ①如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时都有．那么就说在这个区间上是增函数．在单调区间上，增函数的图像是上升的； ②如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时都有．那么就说在这个区间上是减函数．在单调区间上，减函数的图像是下降的． 注意: （1）函数单调性定义中的、有三个特征，一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间． （2）单调性定义的等价形式 ①设，那么在是增函数；在是减函数； ② 在是减函数. 在是增函数. 2．单调区间 如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间． 3．常见函数的单调性 (1)一次函数，单调性由决定，，， 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减． (2)二次函数， 当时，在 上单调递减，在 上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． (3)反比例函数 当时，在和上分别单调递减； 当时，在和上分别单调递增． 4．函数的单调性的运算 ①增函数增函数是增函数； ②减函数减函数是减函数； ③增函数减函数是增函数； ④减函数增函数是减函数. 5．复合函数的单调性 判断复合函数单调性的步骤： ①确定函数定义域； ②将复合函数分解成； ③分别确定这两个函数的单调性； ④若这两个函数在对应区间上同增或同减，则为增函数；若这两个函数为一增一减，则为减函数． 判断方法如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 注：此表格所给复合函数的单调性规律可总结为：“同增异减”． 考点1 单调性定义的理解 1．（25-26高一上·江苏南通·开学考试）设函数的定义域为，则“”是“不是减函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 4．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）已知定义在R上的函数，集合，那么“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点2 基本初等函数的单调性 1．（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西大同·期末）已知函数（），下列说法正确的是（    ） A．当时，函数的值域为 B．当时，函数有最小值没有最大值 C．当时，函数在区间上单调递增 D．当时，函数的值域为 3.（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在和上单调递减 D．在上单调递减 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若在区间上，随着自变量的减小，函数值反而增大，则在上单调递减 B．函数在上单调递增 C．函数在定义域内为增函数 D．函数的单调递减区间为 考点3 复合函数的单调性 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 2．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调减区间 . 4．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 5．（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间，并指出其值域 考点4 根据函数的单调性求参 1．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 3．（2025高二·全国·专题练习）若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是 . 4．（2025高一·全国·专题练习）设实数，若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． 5．（2025高一·全国·专题练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ． 考点5 函数的最值 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数满足，则在区间内的最小值是 ． 2．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点6 分段函数的单调性与最值 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数的最小值为，则实数的取值范围 . 2．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数存在最小值，则m的最大值为 ． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知（且）的最小值是，那么a的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 考点7 构造单调性不等式 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·陕西商洛·阶段练习）已知定义在上的函数 满足 ，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为 . 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对于，，有，且，则不等式的解集为 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 考点8 用定义证明单调性 1．（25-26高一上·全国·随堂练习）求证：函数在上是减函数. 2．（25-26高一上·全国·随堂练习）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，试用定义探求的单调区间． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 单调性与最大（小）值 目录 知识点概要 0 考点1 单调性定义的理解 3 考点2 基本初等函数的单调性 4 考点3 复合函数的单调性 6 考点4 根据函数的单调性求参 9 考点5 函数的最值 11 考点6 分段函数的单调性与最值 13 考点7 构造单调性不等式 14 考点8 用定义证明单调性 17 知识点概要 1．单调性定义的理解 一般地，设函数的定义域为： ①如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时都有．那么就说在这个区间上是增函数．在单调区间上，增函数的图像是上升的； ②如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时都有．那么就说在这个区间上是减函数．在单调区间上，减函数的图像是下降的． 注意: （1）函数单调性定义中的、有三个特征，一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间． （2）单调性定义的等价形式 ①设，那么在是增函数；在是减函数； ② 在是减函数. 在是增函数. 2．单调区间 如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间． 3．常见函数的单调性 (1)一次函数，单调性由决定，，， 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减． (2)二次函数， 当时，在 上单调递减，在 上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． (3)反比例函数 当时，在和上分别单调递减； 当时，在和上分别单调递增． 4．函数的单调性的运算 ①增函数增函数是增函数； ②减函数减函数是减函数； ③增函数减函数是增函数； ④减函数增函数是减函数. 5．复合函数的单调性 判断复合函数单调性的步骤： ①确定函数定义域； ②将复合函数分解成； ③分别确定这两个函数的单调性； ④若这两个函数在对应区间上同增或同减，则为增函数；若这两个函数为一增一减，则为减函数． 判断方法如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 注：此表格所给复合函数的单调性规律可总结为：“同增异减”． 考点1 单调性定义的理解 1．（25-26高一上·江苏南通·开学考试）设函数的定义域为，则“”是“不是减函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合函数的单调性的概念，判断两个命题之间的关系. 【详解】首先，若，则函数必定不是减函数，所以“不是减函数”，所以“”是“不是减函数”的充分条件； 其次，若不是减函数，则至少存在一组，使得，但并不一定是，这一组. 比如，在上单调递减，在上单调递增，所以函数不是减函数，但是,所以“不是减函数”不能推出“”，即“”不是“不是减函数”的必要条件. 故“”是“不是减函数”的充分不必要条件. 故选：A 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 【答案】B 【分析】利用给定条件结合函数单调性的定义求解即可. 【详解】因为，所以和异号， 所以当时，，当时，， 故在上是严格减函数，故B正确. 故选：B 4．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）已知定义在R上的函数，集合，那么“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题设，结合函数单调性的定义、充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】若，则，由， 任取，且， 由于，则， 而，则，所以在上单调递减，充分性成立； 若在上单调递减，取，满足在上单调递减， 也满足，而此时，必要性不成立. 则“”是“在上单调递减”的充分而不必要条件. 故选：A. 考点2 基本初等函数的单调性 1．（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式直接判断即可. 【详解】为上的减函数；，在上单调递减； 为上的增函数，符合题意；在上单调递减； 故选：C 2．（24-25高一下·山西大同·期末）已知函数（），下列说法正确的是（    ） A．当时，函数的值域为 B．当时，函数有最小值没有最大值 C．当时，函数在区间上单调递增 D．当时，函数的值域为 【答案】AD 【分析】根据基本不等式，结合奇函数的性质即可求解A，根据对勾函数以及函数的单调性和奇偶性，即可求解BCD. 【详解】对于A， 时，，当，当且仅当时取到等号， 由于，故为奇函数，故当， 因此函数的值域为，故A正确； 对于B，当时，，由于函数均在上单调递增， 故在上单调递增，，， 故在内无最大值也无最小值， 结合，故为奇函数，因此在内也无最大值和最小值， 综上，函数无最大值和最小值，故B错误； 对于C ， 当时，，函数，根据对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，由B可知，当时，在上单调递增，且为奇函数，因此函数的值域为，D正确， 故选：AD 3.（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在和上单调递减 D．在上单调递减 【答案】C 【分析】利用二次、绝对值、分式、初等函数的单调性判断各函数在对应区间的单调性即可. 【详解】的图象开口向上，对称轴为直线，故在上单调递减，在上单调递增，A错误； 当时，，单调递减，B错误； 的图象是由的图象向右平移2个单位长度得到的，故在和上单调递减，C正确； 因为和均在上单调递增，由增函数+增函数＝增函数，D错误． 故选：C 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若在区间上，随着自变量的减小，函数值反而增大，则在上单调递减 B．函数在上单调递增 C．函数在定义域内为增函数 D．函数的单调递减区间为 【答案】AB 【分析】根据函数的单调性定义可判断A项，根据函数的定义域和基本初等函数的图象即可对B，C，D项分别判断. 【详解】对于A.由题意，任意取若，则，由函数单调性知在上是减函数，故A正确； 对于B，因函数的图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线，故函数在上单调递增，即B正确； 对于C，因函数的图象为双曲线，在和上分别单调递增，但不能说在定义域内单调递增，故C错误； 对于D，因函数的图象为双曲线，在和上分别单调递减，单调递减区间为和，故D错误． 故选：AB. 考点3 复合函数的单调性 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 【答案】 和 和 【分析】结合对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为， 根据对勾函数的性质得函数在和上单调递减， 在和上单调递增， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为和． 故答案为：和；和． 2．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 3．（2025高一·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调减区间 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，结合图形即可求解. 【详解】， 作出函数的图象，如图所示， 由图象可知函数的单调递减区间是. 故答案为：. 4．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】应用分段函数性质结合二次函数的单调性即可判断. 【详解】函数， 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间，并指出其值域 【答案】单调递增区间为和，递减区间为和，值域为. 【分析】去绝对值，对函数进行分段，然后作出图像，根据函数图像确定单调区间及值域. 【详解】 即 图象如图所示 由图象知，函数在和上是增函数， 在和上是减函数,, 所以函数的单调递增区间为和， 递减区间为和， 值域为. 考点4 根据函数的单调性求参 1．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数化成分段函数的形式，判断单调性即可得解. 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上不单调，所以， 故的取值范围是． 故答案为：. 3．（2025高二·全国·专题练习）若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论两种情况，其中，时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间上不具有单调性，可判断对称轴在区间上，进而得到答案. 【详解】时，，，在上单调递减，具有单调性，不符合题意； 时，的图象为抛物线，对称轴为， 根据题意，在上不具有单调性， 所以，解得. 故答案为： 4．（2025高一·全国·专题练习）设实数，若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，分、两种情况讨论，可知对任意成立，分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【详解】令，分以下两种情况讨论： （ⅰ）当时，对任意成立， 由于函数在区间上是减函数，则在区间上是增函数， 所以实数应满足，即； （ⅱ）当时，对任意成立， 由于函数在区间上是减函数，则在区间上是减函数， 所以实数应满足解得，所以． 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 5．（2025高一·全国·专题练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用单调性的定义来进行判断，结合分离参数，即可求出参数范围. 【详解】 对任意，都有， 即成立，所以，即实数的取值范围为． 故答案为： 考点5 函数的最值 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数满足，则在区间内的最小值是 ． 【答案】 【分析】解方程组法求出的解析式，然后利用定义法判断其单调性，由单调性可得最值. 【详解】因为①，所以②， 由得，即． 设2，则，故在内单调递增，所以． 故答案为： 2．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 综上所述，. 故选：D 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对勾函数的单调性可得，分，，三种情况讨论即可. 【详解】因为，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 函数的最大值，所以，舍去； 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 解得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：. 【点睛】关键点点睛：根据对勾函数可得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行分类讨论，分，，三种情况逐一分析. 考点6 分段函数的单调性与最值 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数的最小值为，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求出函数在上的最小值为，再利用二次函数的基本性质以及分段函数的最值可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为函数的最小值为，则，可得， 且有，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数存在最小值，则m的最大值为 ． 【答案】4 【分析】首先得出函数单调性，画出函数图象，进一步根据题意列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以在R上的最小值为0． 因为函数，图象开口向上且对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在R上的最小值为． 综上，对于，当时，在上单调递减，在，上单调递增，且， 则的大致图象如图所示． 由图可知，若存在最小值，则，解得，故m的最大值为4． 故答案为：4. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知（且）的最小值是，那么a的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题函数分为两部分，要使最小值在特定点，需满足左侧单调递减，右侧单调递增，同时注意分段点处的取值即可求解得到答案. 【详解】函数的最小值是， 当时，函数不单调递增，即，解得   ①； 当时，函数单调递增，即   ②， 综合①②可得， 又最小值为，故注意分段点处的取值即，解得， 综上所述，，的最大值为4． 故选：. 考点7 构造单调性不等式 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设，令，变形得到，得到在R上单调递增，并根据得到，得到不等式，求出答案. 【详解】不妨设，， 故， 令，则，所以在R上单调递增， 因为，所以， ， 所以，解得. 故选：C 2．（24-25高三下·陕西商洛·阶段练习）已知定义在上的函数 满足 ，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】设，将转化为，则在上单调递减，将所求不等式转化为，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】设，由， 得，又， 所以，即， 设，则，所以在上单调递减. 由，得， 由，得，即， 即，得，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：解决本题的思路是将转化为，判断的单调性，结合单调性解不等式即可. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对于，，有，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据单调性的定义得，在上为减函数，不等式化为，利用单调性得，解一元二次不等式即可． 【详解】对于，，有，，所以． 所以函数在上为减函数．令，易得其在上为减函数． 由，得． 由，得， 所以，即，得或． 故不等式的解集为． 故答案为： 4．（2025高一·全国·专题练习）设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据可构造出是单调递减函数，然后根据分段函数的单调性求解参数范围即可. 【详解】不妨设，则对任意，， 都有，即成立， 从而函数在上是减函数， 故实数应满足解得， 故答案为：． 考点8 用定义证明单调性 1．（25-26高一上·全国·随堂练习）求证：函数在上是减函数. 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明 【详解】对于任意的，且， 有， ， ，，， ，即. 函数在上是减函数. 2．（25-26高一上·全国·随堂练习）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明. 【答案】在上是增函数，证明见解析 【分析】先利用特殊值法猜想的单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证. 【详解】对于， 令，得， 故猜想在上是增函数，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 因此在上是增函数. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，试用定义探求的单调区间． 【答案】单调递增区间为和，单调递减区间为. 【分析】由可判断区间分界值为满足， 且的值，然后分别讨论. 【详解】设任取，且， ， （1）当时，， 所以，又， 所以，即， 所以在单调递增； （2）当时，，， 所以，又， 所以，即， 所以在单调递减； （3）当时，， 所以，又， 所以，即， 所以在单调递增； 所以单调递增区间是和，单调递减区间是. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用定义证明减函数； （2）由单调性求值域. 【详解】（1）任取，且， 则， 又因为，且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数． （2）由（1）知函数在区间上是减函数，又， 所以函数在区间上的值域为． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）对于给定的函数关系式赋值代入计算即得； （2）根据函数的单调性的定义，作差比较与的大小，此时需构造，利用题设性质证得即可． 【详解】（1）由题意，对任意的实数，都有， 令，则，所以． （2）在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 因，则，故， 所以，即， 所以在上单调递增． 学科网（北京）股份有限公司 $