3.1函数的概念及其表示专题讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1 函数的概念及其表示 目录 知识点概要 0 考点1 函数定义的理解 2 考点2 具体函数的定义域 3 考点3 抽象函数的定义域 3 考点4 复合函数的定义域 4 考点5 求函数值 4 考点6 求函数的值域 5 考点7 判断是否是相同函数 5 考点8 求函数解析式 6 考点9 分段函数 7 知识点概要 1．函数的概念及其表示 函数的概念及其表示 函数的概念 定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称：为从集合A到集合B的一个函数，记作 三要素：定义域；对应关系；值域 同一个函数 两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致 函数的三种表示法 解析法、列表法、图象法 分段函数 定义：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域是各段函数的值域的并集 2．函数定义域 （1）具体函数定义域：使函数解析式有意义的自变量的取值集合。例：分母不为0，偶次根式下被开方数大于或等于0，0次方的底数不为0等 （2）抽象函数定义域，由下面两点决定： ①相同对应关系下的“整体变量”的取值范围不变，与中与的取值范围一致 ②定义域永远指的使自变量的取值范围 3．函数的值和值域 （1）求函数值：将对应代入到解析式中计算，复合函数由里到外逐层计算即可。 （2）求函数值域常用方法： ①配方法 ①数形结合 ③ 换元法 ④函数单调性法 ⑤分离常数法 ⑥基本不等式法 4．求函数的解析式 （1）已知函数类型：待定系数法 ，先设出解析式，再根据题目条件求出。 （2）复杂函数类型：换元或配凑法 5．分段函数 对分段函数，先要确定自变量的取值范围，画函数图像是处理分段函数很好且直观的方法，要注意的是分段区间交接处的函数值。 考点1 函数定义的理解 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高一上·河南郑州·期中）下列的说法正确的是（    ） A．函数就是两个集合之间的对应关系 B．若函数的值域只含有一个元素，则定义域也一定只含有一个元素 C．若，则一定成立 D．若两个函数相等，则这两个函数的定义域和对应关系一定相同 3．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 考点2 具体函数的定义域 1．（25-26高三上·天津·开学考试）函数的定义域是 ． 2．（25-26高三上·广东·阶段练习）函数的定义域是 ． 3．（25-26高一上·天津·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点3 抽象函数的定义域 1．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·云南·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知的定义域为，则的定义域为 ． 4．（24-25高一上·四川广安·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是 ． 考点4 复合函数的定义域 1．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 2．（24-25高二下·天津静海·阶段练习）已知的定义域为，函数的定义域为 ． 3．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数，则函数的定义域为 ． 考点5 求函数值 1．（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ． 2．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，当时， ． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 5．（24-25高三上·山东滨州·阶段练习）已知函数，若，则 ． 考点6 求函数的值域 1．（25-26高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数，则的值域为 . 4．（25-26高三上·陕西·阶段练习）函数的值域为 ． 5．（2025高一·全国·专题练习）求函数的值域． 6．（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 考点7 判断是否是相同函数 1．（25-26高一上·新疆·期中）下列函数与函数不是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏连云港·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点8 求函数解析式 1．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 2．（2025高一·全国·专题练习）（1），求的解析式； （2）已知，求； （3）已知为二次函数，且，求； （4）已知且，求． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数，则 ． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数对于任意的都有，求的解析式. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3），求； （4）已知函数求． 考点9 分段函数 1．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数，则 . 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．的解集为 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数，若，则 ． 4．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 函数的概念及其表示 目录 知识点概要 0 考点1 函数定义的理解 2 考点2 具体函数的定义域 3 考点3 抽象函数的定义域 4 考点4 复合函数的定义域 6 考点5 求函数值 7 考点6 求函数的值域 9 考点7 判断是否是相同函数 11 考点8 求函数解析式 14 考点9 分段函数 18 知识点概要 1．函数的概念及其表示 函数的概念及其表示 函数的概念 定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称：为从集合A到集合B的一个函数，记作 三要素：定义域；对应关系；值域 同一个函数 两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致 函数的三种表示法 解析法、列表法、图象法 分段函数 定义：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域是各段函数的值域的并集 2．函数定义域 （1）具体函数定义域：使函数解析式有意义的自变量的取值集合。例：分母不为0，偶次根式下被开方数大于或等于0，0次方的底数不为0等 （2）抽象函数定义域，由下面两点决定： ①相同对应关系下的“整体变量”的取值范围不变，与中与的取值范围一致 ②定义域永远指的使自变量的取值范围 3．函数的值和值域 （1）求函数值：将对应代入到解析式中计算，复合函数由里到外逐层计算即可。 （2）求函数值域常用方法： ①配方法 ①数形结合 ③ 换元法 ④函数单调性法 ⑤分离常数法 ⑥基本不等式法 4．求函数的解析式 （1）已知函数类型：待定系数法 ，先设出解析式，再根据题目条件求出。 （2）复杂函数类型：换元或配凑法 5．分段函数 对分段函数，先要确定自变量的取值范围，画函数图像是处理分段函数很好且直观的方法，要注意的是分段区间交接处的函数值。 考点1 函数定义的理解 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可. 【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合. 故选：C. 2．（24-25高一上·河南郑州·期中）下列的说法正确的是（    ） A．函数就是两个集合之间的对应关系 B．若函数的值域只含有一个元素，则定义域也一定只含有一个元素 C．若，则一定成立 D．若两个函数相等，则这两个函数的定义域和对应关系一定相同 【答案】CD 【分析】根据函数的定义、定义域和值域的性质，结合相等函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：由函数的定义可知，必须是两个非空数集，所以本选项说法不正确； B：设函数，显然值域为，所以本选项说法不正确； C：因为，所以，因此本选项说法正确； D：由相等函数的定义可知本选项正确， 故选：CD 3．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据函数的定义一一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，因此不符合题意，故A错误； 对于B，因为任意一个实数x的是一个确定的实数，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，因为集合A是自然数集，，但此时，所以y不是x的函数，故D错误. 故选：B. 考点2 具体函数的定义域 1．（25-26高三上·天津·开学考试）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】利用给定的函数有意义列式，求出定义域即可. 【详解】要使原函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 2．（25-26高三上·广东·阶段练习）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据根式有意义的条件，解一元二次不等式即可. 【详解】由题意可得，，即， 解得. 故函数的定义域是. 故答案为： 3．（25-26高一上·天津·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式列出不等式求解即可. 【详解】函数有意义， 则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故选：C 4．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，得，所以，解得，或，所以函数的定义域为． 故选：C． 考点3 抽象函数的定义域 1．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意有，解不等式即可． 【详解】函数的定义域为，则对于函数， 应有，解得， 故的定义域为． 故选：B． 2．（25-26高二上·云南·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数求定义域的方法求解即可. 【详解】由，得，所以的定义域为， 令，得，所以的定义域为， 故答案为：. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】由抽象函数的定义域求法，可得出关于的不等式组，由此可解得所求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数，有， 解得， 故函数的定义域为． 故答案为： 4．（24-25高一上·四川广安·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，解出即可. 【详解】由函数的定义域是， 则对，有，解得， 故的定义域是. 故答案为：. 考点4 复合函数的定义域 1．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得. 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 2．（24-25高二下·天津静海·阶段练习）已知的定义域为，函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意列不等式组求函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，须有： ，所以或. 所以所求函数的定义域为：. 故答案为： 3．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据被开方数非负，列出不等式求得的定义域，进而可求的定义域. 【详解】要使函数，有意义，必须，解得， 函数的定义域为； 由函数，令，解得， 函数的定义域是． 故答案为：. 考点5 求函数值 1．（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】15 【分析】令，即，即可得． 【详解】令，即，得． 故答案为：15． 2．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，当时， ． 【答案】/ 【分析】根据求解即可. 【详解】由题得，解得． 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，再用计算即可. 【详解】令，解得，则，则． 故选：D. 5．（24-25高三上·山东滨州·阶段练习）已知函数，若，则 ． 【答案】6 【分析】根据题意，由可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数，且， 即，解得， 所以， 则. 故答案为：6 考点6 求函数的值域 1．（25-26高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； （3）利用分离常数法求解即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 【点睛】方法点晴：（1）观察法，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域． （2）配方法．求形如的函数的值域可用配方法，但要注意的取值范围． （3）分离常数法．形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是． （4）换元法．形如的函数常用换元法求值域，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域． （5）均值不等式法．若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，即，由，得，所以． 3．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】令，求得，结合基本不等式，求得，进而求得函数的值域，得到答案. 【详解】由函数，可得且，解得， 又由，则，可得， 因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，可得， 所以函数的值域是. 故答案为：. 4．（25-26高三上·陕西·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】先根据题意得替换化简结合分式不等式解得函数值域. 【详解】由题意得得则， 得，解得或． 故函数的值域为． 故答案为：. 5．（2025高一·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】对于分段函数的值域问题，通常选择数形结合法，画出对应函数的图象，即可解得函数的值域． 【详解】 画出分段函数的图象，如图，    结合图象可知，即函数的值域为． 6．（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 【答案】D 【分析】分别求出各函数的值域即可. 【详解】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：D． 考点7 判断是否是相同函数 1．（25-26高一上·新疆·期中）下列函数与函数不是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】要判断两个函数是否为同一函数，需要从函数的定义域和对应法则两方面进行分析；如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么它们就是同一函数，否则不是. 【详解】的定义域为， A、的定义域为，不是同一函数； B、，解析式不同，不是同一函数； C、的定义域为，对应关系相同，是同一函数； D、的定义域为，定义域不同，不是同一函数. 故选：ABD. 2．（25-26高三上·江苏连云港·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为R， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于B，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故C错误； 对于D，的定义域为R，的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确. 故选：AD. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可. 【详解】函数的定义域为，对应关系为 的定义域为，但对应关系不同，A错误； ，且定义域为，因为定义域与对应关系均相同，所以为同一函数，B正确； 的定义域为，C错误； 的定义域为，即或，D错误． 故选：B. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 考点8 求函数解析式 1．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果； （2）利用待定系数法，即可求得答案． 【详解】（1）设，则， ，解得，或， 或． （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以． 2．（2025高一·全国·专题练习）（1），求的解析式； （2）已知，求； （3）已知为二次函数，且，求； （4）已知且，求． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）将代入即可求解； （2）解法1令，利用换元法即可求解；解法2配凑法由进而求解； （3）设，利用待定系数法即可求解； （4）利用方程组法即可求解. 【详解】（1）． （2）解法1 换元法．令，则， 所以，所以． 解法2配凑法， 所以． （3）设， 则， 所以，解得， 所以． （4）由题意可得，解方程组，可得． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数，则 ． 【答案】或 【分析】根据函数的性质，令，解出相应的值，把原函数变形为，代入相应的值求解. 【详解】令，解得或， 又， 所以： 当时，； 当时，． 故答案为：或. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数对于任意的都有，求的解析式. 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）变形得到，且，从而得到； （2）将x替换为，得，方程思想，求出解析式. 【详解】（1），其中， 故所求函数的解析式为，其中. （2）∵对于任意的x都有， ∴将x替换为，得， 联立方程组：，     消去，可得. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解. 【详解】令，则，因为，所以， 则，故. 故选：B. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3），求； （4）已知函数求． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）令，表示出，代入化简，最后对应即可得到答案 （2）分别将与代入解析式，解出与即可得到答案 （3）方法一：配凑法，，代入原式，再用代替即可得到答案 方法二：换元法：令，，得，化简得到答案 （4）讨论，的的取值范围，得到对应表达式，代入即可得到答案 【详解】解（1）令，又， 所以， 所以，故． （2）由题可得，与联立，所以，则，故． （3）方法一：配凑法．因为， 所以． 方法二：换元法．令，，则，则，所以． （4）①当时，，此时， ②当时，，此时， ③当时，，， 综上所述， 考点9 分段函数 1．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数，则 . 【答案】5 【分析】根据分段函数解析式，先求出的值，再代入求出即可. 【详解】根据题意知， 则. 故答案为：5 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．的解集为 【答案】BD 【分析】根据分段函数的解析式直接计算求解可判断答案. 【详解】，故A选项错误； ，故B选项正确； 当时，，解得，当时，，解得，即的解集为，故C选项错误； 当时，，解得，当时，，解得，综上，的解集为，故D选项正确； 故选：BD. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数，若，则 ． 【答案】0 【分析】根据求得的值，再代入求值即可. 【详解】因为，所以，解得，则， 所以. 故答案为：0. 4．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】AC 【分析】对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分别求出当时，时，的取值范围即可得；对D：分及解不等式即可得. 【详解】对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B错误； 对C：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故C正确； 对D：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为；故D错误 故选：AC. 学科网（北京）股份有限公司 $