1.2.4 二面角-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1.2.4二面角 L.在三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分 别为，，若(，〉=号，则二面角A-BD-C的大小 为() A哥 B.2m 3 c号或 D.T或T 6或3 2.已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD= Y3a,则二面角A-BC-D的大小为（） 2 A.30° B.45° C.60° D.90° 3.在正方体ABCD-ABCD中，E为BB1的中点，则平面 AED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 4.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=V73,AB=10,BC=8, CA=6,求二面角P-AC-B的大小. 和 5.如图1，正方形ABCD的边长为4，AB=AE=BF=1EF, 2 AB∥EF,把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥平面 AEFB,G是EF的中点，如图2. (1)求证：AG⊥平面BCE; (2)求二面角C-AE-F的余弦值. D D -1B G 图1 图2 第5题图 12 N高中数学选择性必修第一册人教B版 1.2.4二面角 1.C【解析】当二面角A-BD-C为锐角时，其大小为 ,=号当二面角A-BD.C为钝角时，其大小为 ma-m哥放选C 2.C【解析】如图，取BC的 中点为E,连接AE,DE,由题意 得AE⊥BC,DE⊥BC,且AE=DE -.c 号a又AD-AFD- BD 第2题答图 60°，即二面角A-BC-D的大小为60°.故选C. 3.子【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设 正方体的棱长为1，则D(0,0,0),A(1,0,1), 1,1,,Dm=1,0,10.D,1, 第3题答图 设平面AED的一个法向量为n=(x,y,z),则n· x+2=0, DA=0,且nDE=0,即 令1，得)分1，，之-小 又平面ABCD的一个法向量为DD=(0,0,1), 则cos(n,DD)-n:DD= InllDD:I 3 4.解：如图，在三棱锥PABC 中，PA=PB=PC=V73,AB=10, BC =8,CA =6,.AC2 +BC2=AB2 D ∴.△ABC是以AB为斜边的直角三 角形，P在底面△ABC内的射影 第4题答图 D是△ABC的外心，即斜边AB的 中点D是P在底面△ABC内的射影.作DE⊥AC,交AC 于点E,连接PE,则∠PED是所求二面角的平面角，由 题意得DE=4,PE=8,cos∠PED==号，∠PED 140 60°，.二面角P-AC-B的大小为60° 5.(1)证明：连接BG,BC∥AD,AD⊥底面 AEFB,.BC⊥底面AEFB. 又AGC底面AEFB,.BC⊥AG.AB=AE,四边 形ABGE为菱形，：AG⊥BE. 又BC∩BE=B,BEC平面BCE,BCC平面BCE, ∴.AG⊥平面BCE. (2)解：由(1)知四边形ABGE为菱形，AG⊥ BE.AE=EG=BG=AB-4. 设AG∩BE=0,∴.OE=0B=21V3,OA=OG=2 以0为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， --0/ G 第5题答图 则0(0,0,0)，A(-2,0,0),E(0,-2V3,0), F(4,2V3,0),C(0,2V3,4),D(-2,0,4), AC=(2,2V3,4),AE=(2,-2V3,0). 设平面ACE的法向量为n=(x,y,z), n:a0,即22V3+4=0, 则 nAE=0,2x-2V3y=0, 令y=l,则x=V3,=-V3, 即平面ACE的一个法向量为n=(V3,1,-V3), 易知平面AEF的一个法向量为AD=(0,0,4). 设二面角CAEF的大小为A,由图易知0e0,受， cos0-AD=4V3=V2工，故二面角CAEF InllADI V7x4 7 的余弦值为V21 7 1.2.5空间中的距离 1.C【解析】p=(x+2,2,4),而d=P团m 9,即上2244-9，解得-1或-1.故选C V4+4+13 2.D【解析】如图，AC∥平面ABCD,AC,到平 面ABCD的距离等于点A,到平面ABCD的距离，由AB1