1.1.2 空间向量基本定理&1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1.1.2空间向量基本定理 1.给出下列命题： ①若{a,b,c可以作为空间的一组基底，d与c共线， d≠0，则{a,b,d也可作为空间的一组基底；②已知向 量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一组基底； ③A,B,M,N是空间四点，若BA,BM,BN不能构成空 间的一个基底，那么A,B,M,N共面；④已知向量组 {a,b,c是空间的一组基底，若m=a+c,则{a,b,m 也是空间的一组基底.其中正确命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知空间的一组基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c, 若m与n共线，则x=,y= 3.从空间一点P引出三条射线PA,PB,PC,在PA,PB,PC 上分别取PQ=a,PR=b,PS=c,点G在PQ上，且PG= 2GQ,H为RS的中点，则GH= (用a,b,c 表示)· 3 4.在空间四边形ABCD中，AB=a-2c,CD=5a-5b+8c,对角 线AC,BD的中点分别是E,F,则AB,CD,EF (填“能”或“不能”)构成一组基底. 5.如图所示，已知平行六面体ABCD-AB,CD1,设AB=a,AD =b,AA1=c,P是CA1的中点，M是CD1的中点.用基底 {a,b,c}表示以下向量： (1)AP; D (2)AM B 第5题图 日期： 班级： 姓名： 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 1.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则3a+b为 () A.(-2,-3,-2) B.(2,3,2) C.(-2,3,2) D.(4,3,2) 2.在空间直角坐标系中，点P(1,3,-5)关于平面x0y对称 的点的坐标是() A.(-1,3,-5) B.(1,3,5) C.(1,-3,5) D.(-1,-3,5) 3.已知向量M=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),lcl=V14,若 (a+b)c=7,则a与c的夹角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b 互相垂直，则k的值是 5.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3), 则AB与CA的夹角0的大小是随堂练习参芳答案 第一章 空间 >"1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其运算 1.A【解析】四个选项中两个向量的夹角依次是 45°，135°，90°，180°，故选A. 2D【解折14配A证分国应+心分da. AD44CA)=子×(2+2)=1，故选D. 3.0【解析】2AB+2BC+3CD+3DA+4C -2(AB+BC+CD+DA)+CD+DA AC -0+CA+AC-0+0=0. 4.22【解析】1a+b=-a2+2a-b+b2-132+2ab+192=242, .2a-b=46,la-b-=a2-2a-b+b2-530-46=484,.la-bl=22. 5.A【解析】若SC与BD垂直，又SA与BD垂直， 则平面SMC与BD垂直，则AC与BD垂直，与AC与 BD不一定垂直矛盾，SC与BD不一定垂直，即向量 SC,BD不一定垂直，则向量SC,BD的数量积不一定 为O,故A符合题意：由SA⊥平面ABCD,得SA⊥AD, 又由AD⊥AB,AB∩SM=A,则有AD⊥平面SAB,进而 有AD⊥SB,即向量DA,SB一定垂直，则向量DA, SB的数量积一定为0，故B不符合题意；由SA⊥平面 ABCD,得SA⊥AB,又由AD⊥AB,则有AB⊥平面 SAD,进而有AB⊥SD,即向量SD,AB一定垂直，则向量 SD,AB的数量积一定为0，故C不符合题意；由SA⊥平 面ABCD,得S4⊥CD,即向量SA,CD一定垂直，则向量 SA,CD的数量积一定为0，故D不符合题意.故选A 1.1.2空间向量基本定理 1.D【解析】根据基底的概念，知空间中任何三个 不共面的向量都可作为空间的一组基底，否则就不能构 成空间的一组基底，显然②正确.由BA,BM,BN共面 且过相同点B,故A,B,M,N共面，故③正确. 假设d与a,b共面，则存在实数入，u,使d=入aub, d与c共线，c≠0，.存在实数k,使d=kc.d≠0，k≠ 参考答案。 句量与立体几何 0,从而c=大a+b,c与a,b共面与条件矛盾，d与 a,b不共面，故①正确.同理可证④地是正确的.故选D. 2.1-1【解析】·m与n共线，.存在实数入，使 1=λx, x=1, m=An,即a-b+c=入xa+yb+入c,于是有-l=入y,解得 =-1. 1=入， 3.-号a+2b+e【解析】Cm-丽-元=2bc) 4.不能【解析】E家-7（®D+EB)=子(AD+CD)+ (AB+CB)-AB+BD+CD+A8+CD+ 4D店=}a正+dj-3a-b+3c. 假设AB,CD,EF共面，则EF=入AB+uCD=Aa 2Ac+5ua-5b+8c=(A+5u)a-5b+(8-2A)c=3a-b+3c. A+5=3, -5子解得 1 8-2λ=3， =2 EF,AB,CD共面，不能构成一组基底. 5.解：如图，在平行六面体ABCD-ABCD1中，连 接AC,AD. (①A正-号a花M =子(A应+A+MA =3ab+ce） 第5题答图 (2)A=2+AD) =2a+b+2e (137 N N 高中数学选择性必修第一册人教B版 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 1.B【解析】3a+b=3(1,1,0)+(-1,0,2)=(3,3, 0)+(-1,0,2)=(2,3,2.故选B. 2.B【解析】P(1,3,-5)关于平面xOy对称的点 的坐标为(1,3,5).故选B. 3.C【解析】a+b=(-1,-2,-3)=-a,故(a+b)·c= -ac=7,得ac=-7,而1al=V+243=V14,cos(a, e8i品=号a,e=120.故选C 4.子【解析】由于ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)= (k-1,k,2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2, -2),:两向量互相垂直，则有(k-1)x3+kx2+2×(-2)=0, 解得人=了 5.120°【解析】由于AB-(-2,-1,3),CA=(-1, 3,-2),:.AB.C4=(-2)×(-1)+(-1)×3+3×(-2)=-7. A B I=V14,ICA'l=V14,..cos0=cos(AB,CA')= 高vn方r >1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 1.B【解析】AB=(2,3,4)-(1,0,1)=(1,3,3). 故选B. 2.垂直【解析】.y1y2=-1×(-2)+1x0+2×(-1)=0, ∴.y1⊥y2. 3.45°【解析】.ab=1×V2+0x0+(-1)×0=V2, akv3,6V7,sa,b-胎-. 又.0≤(a,b)≤180°，∴.(a,b)=45. 4.解：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直 角坐标系 B M 4 第4题答图 设BC=CA=CC=2,则A(2,0,2),N(1,0,0), 138 M(1,1,0),B(0,2,2),AN=(-1,0,-2),BM= (1,-1,-2),1AN1=V-1)+0+(-27=V5,1BM= VP+(-1+(-2-V6..cos(AN.BM)=AN.BM IANIBMI -1+4=3=1V30 V5×V6V3010 5.解：以点A为原点，建立 如图所示的空间直角坐标系A-x2 A 由题意知A(0,0,0),C(0, 2,0),B(V3,1,0),B(V3, 12.,, B 第5题答图 又点N在CC:上，可设N0, 2,m)(0≤m≤2)，则AB=(V3,1,2),MN= ,宁，m,a62V7,丽V可， AB.MN=2m-1.如果异面直线AB,和MW所夹的角等于 45°，那么向量AB和MN的夹角等于45°或135. 又cos(AB,M=AE·M-2m-1 lAB:IIMN I 2V2xVm+T' 2V2双±，解得一是.这与0≤m5 2m-1 2矛盾，.在棱CC上不存在点N,使得异面直线AB和 MN所夹的角为45°. 1.2.2空间中的平面与空间向量 1.A【解析】直线1的方向向量a=(1,2,-1), 平面α的一个法向量m=(-2,-4,k),1La, am,子，解得2微进A 2.D【解析】a⊥B,∴.a⊥b,:ab=1×(-2)+2x(-4) +(-2)k=0,k=-5.故选D. 3.A【解析】设平面ABC的一个法向量n=(x,y, n-AB=x+2y+3z=0, z),则 取=-1，得到平面ABC的一 n-AC=3x+2y+z=0, 个法向量为(-1,2，-1).故选A. 4.D【解析】由题意知PA⊥平面ABCD,.与平面 上的线AB,CD都垂直，A,B正确，不符合题意.又菱 形的对角线互相垂直，AC为PC在平面ABCD内的射影且 AC⊥BD,由三垂线定理的逆定理知PC⊥BD,故C正 确，不符合题意.故选D.