第21章 二次根式（高效培优单元测试·提升卷）数学华东师大版九年级上册

第21章 二次根式（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的概念，熟练掌握二次根式的概念是解决本题的关键． 根据二次根式的概念，即形如的式子叫做二次根式，由此概念判断选项即可． 【详解】解：A选项，中，是二次根式； B选项，中时，式子无意义，不一定是二次根式； C选项，中的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； D选项，中，式子无意义，不是二次根式． 故选：A ． 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键；直接合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故选：C． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次根式的计算，根据二次根式的乘法，二次根式的性质分别计算、化简，再判断，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A.与无意义，故此项不正确； B.不相等，故此项不正确； C.，相等，故此项正确； D.，不相等，故此项不正确； 故选：C． 4．估计的值应在（　　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】先计算原式的结果，再根据结果判断范围． 【详解】原式， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数的估算问题，掌握计算规则并准确化简是解决问题的关键． 5．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故选：D． 6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式，直接利用最简二次根式的定义，进而分析得出答案． 【详解】解：A．，被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D．，在分母中，不是最简二次根式，不符合题意， 故选：B． 7．已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 8．化简：，那么化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．已知，则的值是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 10．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘法运算法则． 利用二次根式乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．请用“>，=，<”符号比较大小： ； 【答案】> 【分析】本题考查了算术平方根和实数的大小比较，求出，，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为： 13.如图，点A，B，C在数轴上，且点A是的中点，点A，B表示的数分别为，，则点C表示的数为 ． 【答案】 【分析】由题意得，进而求得点C表示的数即可． 本题考查了实数与数轴，熟练掌握实数与数轴的对应关系是解题的关键． 【详解】解：点A是的中点， ， 点C表示的数为 故答案为： 14．已知，则 ． 【答案】5 【详解】解：， ， 解得， ， ， 故答案为：5． 15．已知，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ． 故答案为：． 16．若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分） 计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； 利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18． （本题8分） 教材第16页的阅读与思考：海伦－秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，米，米，米，请你用海伦－秦九韶公式求的面积． 【答案】平方米 【分析】本题考查二次根式的运算，直接根据海伦－秦九韶公式求解，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵米，米，米， ∴， ∴（平方米）． 答：的面积是平方米． 19．（本题8分） 已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，正确计算是解题的关键： （1）先求出，再代入求值即可； （2）先求出，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 20．（本题8分） 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下： ，如 ． (1)填空，　 　． (2)若，求x的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据定义得到计算即可． （2）根据定义得到，代入方程计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：3． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故x的值为． 【点睛】本题考查了新定义运算，分母有理化，解一元一次方程，熟练掌握新定义的运算法则是解题的关键． 21．（本题10分） 观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，验证见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式． （1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：． 【详解】（1） 验证： ； （2）． 验证： ． 22．（本题10分） 比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 因为，所以， 即． 仔细研读上面的解题方法，完成下列问题： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解： ； ． 因为， 所以， 即． （2） ． 23．（本题10分） 规定两个整数a，b之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以请解决下列问题： (1)填空：_________，，则_________； (2)如果整数a，m，n，满足，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算的理解与应用，需根据定义将问题转化为指数方程求解，解题的关键是注意整数条件的限制． （1）根据定义求解即可； （2）先根据定义得出，然后将方程相乘，再与 ③联立列出得出关于的一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：； 【小问2】 整数a，m，n，满足，，， ， 得，④， 由③、④得，， ，解得，． 24．（本题13分） 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，均为整数，分两种情况求出，； （3）设，两边平方并结合题意计算得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，(，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，(，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或； （3）解：设， 则 ， ∴原式． 25．（本题13分） 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值是_____ 【实际应用】（4）已知，，满足，求． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）；（4） 【分析】本题考查了非负数的性质，完全平方公式，二次根式的性质，读懂题目信息，理解“完美数”的定义并熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解； （3）利用配方法和非负数的性质即可求解； （4）利用配方法和非负数的性质即可求解． 【详解】（1）由条件可知； 故答案为：； （2） ， 由条件可知，即． （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得，， 则． 故答案为：4． （4）由条件可转化为， ，，， ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 二次根式（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D．2 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．估计的值应在（　　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 8．化简：，那么化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知，则的值是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 10．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．计算： ． 12．请用“>，=，<”符号比较大小： ； 13.如图，点A，B，C在数轴上，且点A是的中点，点A，B表示的数分别为，，则点C表示的数为 ． 14．已知，则 ． 15．已知，，则 ． 16．若满足关系式 ，则 ． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分） 计算 (1)； (2)． 18． （本题8分） 教材第16页的阅读与思考：海伦－秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，米，米，米，请你用海伦－秦九韶公式求的面积． 19．（本题8分） 已知，， (1)求的值； (2)求的值． 20．（本题8分） 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下： ，如 ． (1)填空，　 　． (2)若，求x的值． 21．（本题10分） 观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 22．（本题10分） 比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 因为，所以， 即． 仔细研读上面的解题方法，完成下列问题： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算：． 23．（本题10分） 规定两个整数a，b之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以请解决下列问题： (1)填空：_________，，则_________； (2)如果整数a，m，n，满足，，，求的值． 24．（本题13分） 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 25．（本题13分） 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值是_____ 【实际应用】（4）已知，，满足，求． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $