2.3.3 第2课时 弦长问题-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

N 高中数学选择性必修第一册人教B版 第2课时 效果评价 1.已知直线1过点P(-2,0),当直线1 与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取 值范围为() A.(-2V2,2V2) B.-V2,V2 4 4 C.(-V2,V2) D-g8 2.已知圆(x+1)2+(y-1)2=2-a截直线x+ y+2=0所得弦的长度为4，则实数a=() A.-2B.-4C.-6D.-8 3.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于 P,Q两点，且∠POQ=120°（其中0为坐标 原点)，则k的值为() A.V3 B.V2 C.V3或-V3D.V2和-V2 4.已知圆0：x2+y2=5,直线1：xcos0+ sin0=10<0<7.设圆0上到直线1的距离 等于1的个数为k,则k的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.（多选题)直线y=kx+3与圆(x-3)2+ (y-2)2=4相交于M,N两点，若MN≥2V3, 则飞的取值可以是() A.-1 B.- C.0 D.1 (50)练 弦长问题 6.(多选题)直线y=x+b与曲线x= V1-Y恰有一个交点，则实数b可取下列哪 些值() A.-V2 B.-1 C.1 D.V2 7.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+ y2-4x=0截得的弦长为 8.已知直线l1:mx+y+3m-V3=0与圆 x2+y2=12交于A,B两点，过A,B分别作1 的垂线与x轴交于C,D两点，若MB=2V3, 则m= _ICDI= 9.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4和直线1： kx-y-4k+3=0. (1)求证：不论k取何值，直线1和圆 C总相交； (2)求直线1被圆C截得的最短弦长及 此时的直线方程. 10.在平面直角坐标系xOy中，过点 P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O: x2+2=4交于点A,B,与圆M:(x-2)2+(y-1)2= 1交于点C,D. (1)若AB=3Y7,求CD的长： (2)若直线AB的斜率为2，求△ABM 的面积 B 第10题图 第二章平面解析几何。 提升练习 11.已知直线1：x-y=1与圆M:x2+y2- 2x+2y-1=0相交于A,C两点，点B,D分别 在圆M上运动，且位于直线1两侧，则四边 形ABCD面积的最大值为() A.V30 B.2V30 C.V51 D.2V51 12.已知圆x2+y2-4x-6y+12=0,点P(x, y)为圆上任意一点，求义的取值范围. 练(5112解：(1设圆心Ca,0)D-3,则410 =2,解得a-0或a=-5(舍去)，.圆C:x2+y2-4. (2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y= k(x-1),N(t,0),A(,y1),B(,2), 由4，得412-2Xx+-40. y=k(x-1) 酒器若轴平分∠A8则 k=-k,即上+2=0，：kx二+h(--0,整理 x-t x2-t x-t %2-t 得2x-+1）+,)+2=0.224)_2k2+l+2=0, k2+1 k2+1 解得t仁4， .当点N为(4,0)时，能使得x轴平分∠ANB. 第2课时弦长问题 效果评价 1.B【解析】设直线1为k-+2=0,又直线1与圆 +2-2x有两个交点，故k+2州<1，Y2k<V2 V2+1 4 4， 故选B. 2.B【解析】由题可得，圆心(-1,1)，=V2-a, 设圆心到直线的距离为d,圆截直线所得弦为AB, dV-5T-V2-m)4-V2-a. d=l+l+2-V2,V-2-a=V2, V1+1 ∴.a=-4.故选B. 3.C【解析】如图，直线过 定点(0,1)，∠P0Q=120°， ∴.∠0PQ=30°，则∠1=120°，∠2= 60°，由对称性可知k=±V3 故选C 4.D【解析】圆心(0,0) 到直线l的距离d= Vcos204sin而 第3题答图 =1,又圆的半径=V5,圆上有4个点符合条件. 故选D. 5.BC【解析】圆(x-3)2+(0y-2)2-4的圆心为(3,2)， 半径为2，由MW≥2V3可得圆心(3,2)到直线y= +3的距离-V2公T≤1.直线方程可化为-y+ 3-0,B62≤1，解得-子≤&≤0，k的取值可以 Vk2+1 参考答案。 是-3,0.放选BC 6.AC【解析】曲线x= V1-,整理得2+y2=1,x≥ 0,画出直线与曲线的图象如 图，直线y=x+b与曲线x= VI-y恰有一个交点，则be (-1,1]U{-V2.故选AC. 7.2【解析】直线方程为 第6题答图 y=V3x,圆的标准方程为(x-2)2+y2-4,圆心(2,0)到 直线的距离d2V3=V3,弦长1=2VP-d 1V(V3)2+1 2V4-3=2. 8.-34【解析】圆+=12，半径为2V了， 设圆x2+2=12的圆心(0,0)到直线1的距离为d,则 有d-V12-(V3P=3=Bm-V,整理得-2V3m V1+m2 2。mY,此时直线1的斜率为，领斜角为 30°，过A,B分别作1的垂线与x轴交于C,D两点， CD12V3-4 V3 2 9.(1)证明：由直线1的方程可得，y-3=k(x-4), 则直线1恒过点(4,3. 把(4,3)代入圆C的方程，得(4-3)+(3-4)2=2<4， 点(4,3)在圆C的内部.又直线1恒过点 (4,3),直线1与圆C总相交. (2)解：设定点为A(4,3),由题可知当直线1与 CA直线垂直时，直线1被圆C截得的弦长最短. a号-1，直线1的斜率为=1， .直线1的方程为y-3=x-4,即x-y-1=0. 设圆心C(3,4)到直线1的距离为d,则d=B-4 v2 =V2,直线1被圆C截得最短的弦长为2V4(V22= 2V2. 10.解：(1)由题可知，直线AB斜率显然存在， 设为k,则直线AB的方程为y=kx+1. ‘:0点到直线AB的距离d=1 V2+1 学南户4,2V需 97 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 由2y舞7，得15 :直线AB与直线CD互相垂直，则直线CD的方程 为. 2+1-1 .M点到直线CD的距离d2= k V+- 2+1-1 12 (2)直线AB的斜率为2，则直线AB的方程为2x- +I=0,·点0到直线AB的距离为V5 5 点N到直线AB的距离为2.A-2V个写 2.s4B4号 提升练习 11.A【解析】把圆M:x2+y2-2x+2y-1=0的方程化 为标准方程，可得(x-1)2+(+1)2=3,故圆心为M(1,-1), 半径r=V3.圆心M到直线1的距离d=l-(-l)-L V1+(-1 Y,由勾殷定理得半弦长WCLVF V3-号-Y严，故弦长Ha2x0-V0.连 2 2 接BD(图略)，B,D两点在圆上，且位于直线1的两 侧，.当BD为弦AC的垂直平分线，即BD为直径且 BD⊥AC时，四边形ABCD的面积最大，最大面积为 2MG-B1=×VI而x2V3=V30,故选A 12.解：由x2+y2-4x-6y+12= 0可得(x-22+(y-3)2=1, .点P(x,y)的轨迹是以 M(2,3)为圆心，半径为r=1 ●M 的圆，如图所示。 y=0表示圆上的点P(x, xx-0 0 y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率，第12题答图 结合图形可知，当直线OP与圆相切时，斜率取得最值. 设切线为y=kx,即kx-y=0, 圆心M(2,3)到切线kx-0的距离d-Dk-31=l, 1V1+h2 98 整理可得32-12k+8-0, 解得=6-2Y3,k=+2Y3 3 3 ￥的取值范围为6-2Y3,6+2V3】 3 3 2.3.4圆与圆的位置关系 效果评价 1.A【解析】圆O的圆心为(0,0)，半径为1， 圆02的圆心为(3，-4)，半径为4， .两圆圆心距为V(0-3)2+(0+4)严=5 恰好等于它们的半径之和，.·.两个圆外切 故选A. 2.D【解析】圆M:(x-a)2+y2=4(a>0)的圆心为 M(a,0),半径为2，圆N:x2+y-1P=1的圆心为(0,1)， 半径为1. 由题意知Va+1=2+1,且a>0,解得a=2V2, 则圆心M(2V2,0)到直线x-y-V2=0的距离 d=2V2-0-V2=1, V2 .直线x-y-V2=0被圆M截得的线段的长度为 2V4-1=2V3. 故选D. 3.D【解析】由题意可得圆C,的圆心为(0，-m), 半径为V2,圆C2的圆心为(m,0),半径为2V2, 两圆恰有两条公切线，.两圆相交，.V2<CC <3V2 .CiCl=V(0-m)+(-m-0)2=V2 Iml, .V2<V2lmlk3V2,解得-3<m<-1或1<m<3, 故选D. 4.A【解析】圆M的圆心M(0,a),半径r1=a,a> 0,圆心M到直线0的距离为V2所以V2户 22,2,所以w0.2.2 圆N的圆心为N(3,6),半径2=7，MW=2-1=5, 所以两圆的位置关系是内切，故选A. 5.CD【解析】由圆x2+y2-2x+2y-2=0和圆x2+y2- 2ax-2ay+22-9=0, 两式相减，可得公共弦所在直线的方程为(2a-2)x+ (2a+2)y+7-2d=0. 两圆的公共弦长为3Y了，且圆+y2-2+2-2-0 2 的圆心为(1，-1)，半径为2，