2.2.4 点到直线的距离-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

则1与x轴的交点坐标为千，0面也过乐，0， 斜率=-k合：会+)即4-4C-0 法二：关于x轴对称，意味着y取相反数，x坐标 不变，因此将原方程中的y替换成-y,即可. (2)同理：关于y轴对称的直线l2:A(-x)+By+C=0 即Ax-By-C=0 (3)关于y=x对称的直线l:Ay+Bx+C=0即Bx+Ay+ C-=0 (4)关于y=-x对称的直线l4:A(-y)+B(-x)+C=0 即B+Ay-C=0 10.解：（)：直线AC的斜率为kc=7,直线 AC的方程为y-3=分(x-2),即直线4C的方程为x-2+ 4=0. (2)问题①：设点D的坐标为(m,n), 21 12 则m2 解得 m-5 /g 即点D的坐标 受-2"分+40， 2 51 号》 问题②：设点E的坐标为，1+2，B1=3, V+2+2+1-3,解得=0或=- 号，点6的坐 标为(0,2)或号，号，直线1的方程为0或 3x+4y+4=0. 提升练习 11.C【解析】由题意可知 直线BC的方程为x+y-2=0, P(1,0). 如图，记点P关于AC对 称的点为P(-1,0),设P关于 BC对称的点为P(a,b) 第11题答图 a+1+b=2 2+2 解得2， P2(2,1) 9-1 b=1, 由对称性知IPRI=PRl,IPQI=PQI, .L=PQI+IQRI+PR=P,RI+lQRI+lPQI,易知当P,Q, R,P四点共线时，L=PRI+lQRI+HPQI的值最小，∴Lm= IPP=V10.故选C. 12.A【解析】：A(a-1,a+1),B(a,a),∴kB= 参考答案。 a+1-0=-1. a-1-a 线段AB的中点为2,2，A,B两点关 2， 于直线1对称，则k=1, .直线1的方程为y 2+1=x- 2 a-l,整理得x-y+ 2 1=0.故选A 2.2.4点到直线的距离 效果评价 1.A【解析】由点到直线的距离公式可知，O-0+d< /12+12 V2,解得-2<a<2,故实数a的取值范围为(-2,2). 故选A. 2.B【解析】由直线y=kx-2k+1可得y=k(x-2)+1, 则直线过定点A(2,1).根据题意，当直线AB与直线x+ y-1=0垂直时，AB最小，点A(2,1)到直线x+y-1=0 的距离d=2+1=1=V2,即AB1的最小值为V2.故 v2 选B. 3.D【解析】3x+2y+1=0与3x+2y+4=0间距离d1= 1-4‖-3V13 V3+2 3,4r-6+c0与4x-6y+c20间距离d c=T3lees.又由正方形可知d,-d,即3Y V4+6 26 13 =Yc-c,解得c-c-6.故选D. 26 4.B【解析】设直线AB关于y=a对称的直线为l, =受，=二g3》,显然点B0,o)在1上，小 2 的方程为)=空，即(a-3+3-2a0点(-3，-2) 到1的距离d≤1，即-3(a-3)+2x(-2)-2d≤1即6d- V(a-3)+4 1山a3≤0，解得背≤0≤子，即a的取值范围为号，多引 故选B. 5.BC【解析】A,B两点到直线1的距离相等， 4B1或1过AB的中点，号=m或m+343=0, =↓或m=-6,故选BC :.m22 6.AC【解析】当PQ垂直于直线3x-4y+5=0时，PQ k豆，0到植线的距效为器号做A正确： 故0的长度范用为列等+，号<号，故D错误： 89 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 1-3m+5 当PQ最短时，设Pm, 3m+5 ,则k1-m 4 4 青解得m是号岩》.故C正确 此时直线PQ的方程是Y-1= x-1 即4x+3y-7= 25 0,故B错误.故选AC 7.(2,2)x+y=0【解析】直线：(m+1)x- (m-3)y-8=0(m∈R),整理得m(x-y)+(x+3y-8)=0, .x-y=0, 解得x=y=2,则直线l恒过定点 x+3y-8=0, A(2,2). 过原点作直线2∥，则当直线1与2的距离最大 时，12与0A所在直线垂直.由0(0,0)，A(2,2)可知 直线OA的方程为y=x,∴.直线l2的方程为y=-x,即x+ y=0. 8.4【解析】点A(0,2),B(2,0),.直线AB的 方程为之+之=l,即+-2=0，且4B卧=2V2. △ABC的面积为2，设点C到直线AB的距离为 d,则22V2d-2,可得d=v2 设点C(t,),则点C(t,P)到x+y-2=0的距离d= +-2=V2,可得+-2=2,4=4或410， v 解得=1)五，l+)y五，-1,0， 2 2 .使得△ABC的面积为2的点C的个数为4个. 9.解：(1)坐标原点0到直线11的距离d三 0-0+V2-1,坐标原点0到直线，的距离d1+2, V1+(-1)2 坐标原点0到直线飞的距离d=1+2+3,…,坐标原 点0到直线1o的距离d10=1+2+3+…+10=55. V2,ci55V2. .'dio=-cio (2)由(1)知，直线l的方程为x-y+55V2=0. 直线lo与x轴交于点M(-55V2,0),与y轴交于 点N(0,55V2, 则San=7·10MxI0NM=7×55V2)2=3025. 10解：)-1，-1，c1,1),k=号 1,∴.直线AC的方程为y-1=1(x-1),即x-y=0. (2)若选①，若△ABC是等边三角形，则AC⊥BD. AC的中点坐标为(0,0)， 90 BD过坐标原点，则直线BD的方程为y=-x.设 B(x,-x)(x>0),A Cl=IBCI, 则V(-1-1)+(-1-1了=V(x-1)+(-x-1了，解得x= V3或=-V3(舍去)， :B点的坐标为(V3,-V3), 若选②，k=1,.过点E(V3,V3)垂直于 AC的直线方程为y-V3=-(x-V3),即y=-x+2V3. 令x=0,则y=2V3,令y=0,则x=2V3,即 M(2V3,0),N0,2V3), .MN=V(2V3)2+(2V3)2=2V6 MW∥BD,AC的中点坐标为(O,O),BD过坐 标原点，.直线BD的方程为y=-x. 设B(x,-x)(x>0),则D(-x,x),MN=BD, ∴.V(2x)+(-2x)7=2V6, 解得x=V3或x=-V3(舍去)，B点的坐标为 (V3,-V3). 若选国.点E(20,s冯-lE/ BD,AC的中点坐标为(0,0)， BD过坐标原点，直线BD的方程为y=-x.设 B(x,-x)(>0),则D(-x,x), VRCI=V2x. 点B到AC的距离d-2x 又.4C1=V(-1-1)2+(-1-1)=2V2, Sm=2S2x号×MCd=4V3,即2V2× VZx=4V3,解得=V3, .点B的坐标为(V3,-V3). 提升练习 11.A【解析】a,b,c为直角三角形的三边长， 且c为斜边，2+b2-c2 :点(m,n)在直线ax+by+c=0上，Vm+m表示 原点到点(m,n)的距离， .当原点到点(m,n)的线段与直线ax+by+c=0垂 直时，m2+n2最小. :原点到直线ax+by+c=0的距离为lcl =1, Va+b .Vm+m的最小值为1.故选A. 12.BCD【解析】设P(x,y),P2(,y2), 若d=d2=l,则a+by+c=a+b2+c=Va+b，则点 P,P在直线的同一侧，且到直线距离相等，∴直线 PP与直线1平行，故A正确； 点P,P2在直线1的两侧且到直线l的距离相等， 直线PP不一定与I垂直，故B错误； 若d1=d2=0,满足d1+d2-0,即a此1+by+c=a2+by2+c= 0,则点P,P都在直线1上，此时直线PP与直线1 重合，故C错误； 若d·d≤0，即(a+by+c)(a+by2+c)≤0，.点D, P2分别位于直线l的两侧或在直线I上，∴.直线PP2与 直线I相交或重合，故D错误.故选BCD. m阶段性练习卷（四） 1D得折】可求斜率为Y,即ma 3 ae[0,T）,a=5元.故选D 6 2.A【解析】所求直线过原点，且与已知直线垂直， 可得直线)=号，向右平移1个单位长度后的直线方程 为=了(x-1),.故选A 3.A【解析】由题已知：直线AB,AC斜率存在 则a≠2，由k=kc,得8治即a4b2d,又山≠ 2-a2-0 0,1+1-1 ab-21 4.B【解析】点(0，-1)到直线y=k(x+1)的距离 正k+‖.+1≥2k,2(k+1)≥+1+2k即2(k+1)≥ V2+1 (k+1)2=k+1P(当且仅当k=1时取等号)，.k+1|≤ V2V2+I,d≤V2,点(0，-1)到直线距离的 最大值为V2.故选B. 5.C【解析】当cos=0时，a=受：当cos0≠0时， tan a=- o0mal,ae[界，受lu号， 综上可知，倾斜角a的取值范围是牙，平故选C 6.B【解析】由已知得A(-1,0),P(2,3),则B(5, O),再由直线方程的两点式或点斜式即可得PB的方程 为x+y-5=0. 7.ACD【解析】由题意可知直线1与直线l:2x-y+ 3=0的倾斜角互补， .直线1的斜率为-2，故A正确： 直线1过点P(-1,1),直线1的方程为2+y+1=0, 所调成的等暖三角形面积为×个宁号引1号， 故B错误； 直线1关于原点的对称直线方程为2x+y-1=0,故C 参考答案⊙ 正确； 原点到直线1的距离为，=5，故D正确 V2+下 5 故选ACD. 8.ABD【解析】三条直线将平面划分成六部分， .三条直线有以下两种情况： 1)三条直线交于同一点，解方程组-2+10，解 2x+y-1=0, 1 x5 得 3 ”“交点坐标为号，子，直线的0也过该 5' 点，故+4=0，=写 (2)当直线x+ky=0与x-2y+1=0平行时，k=-2; 当直线x+=0与2+y-1-0平行时，=？.综上所 述，A=-2,号，分放选ABD 9.2x-y+5=0【解析】直线1的一个法向量为=(2， -1),·k=2,则直线1的方程为y-1=2(x+2),即2x-y+ 5=0. 10.分-2【解析】建立如 图所示的平面直角坐标系，则 正方形OABC中，对角线OB 所在直线的斜率为3 9 设OB所在直线的倾斜角为 第10题答图 0,则tan0=3. 由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为0-45°， 直线OC的倾斜角为0+45°， 故k=tan(0-45°)=tan-tan45°=3-1_1 1+tan Otan4-5°1+32’ ka-mea459片=n8--2 11.1【解析】当1∥h2时，m+2=-(m+1≠2m+5 -3 ∴m=2,此时l2:4x-3y+9=0,则两直线之间的距离d= 5 =1 V4+(-37 12.4【解析】：直线)=-名+a(a>0,b>0),当x 0时，=，当=0时，x=b,.该直线在x轴与y轴上的 截距分别为b,a 又：直线y=-合x+a(a>0,b>0)过点(1,1)， a6e,p合+方l,a6-ab日+-2+合+号 91第二章平面解析几何。 2.2.4点到直线的距离 ‘、 0上的动点，定点Q(1,1),则下列说法正 效果评价 确的是( 1.已知坐标原点到直线x+y+a=0的距离 A线段PQ的长度的最小值为号 小于V2,则实数a的取值范围为( B.当PQ最短时，直线PQ的方程是 A.(-2,2)》 B.[-2,2] 3x+4y-7=0 C.[-V2,V2]D.(-V2,V2) 2.已知点A(2,1),点B为两条直线 C当P0是短时，点P的坐标为器岩 y=kx-2k+1与x+y-1=0的交点，则ABI的最 D.线段PQ的长度可能是号 小值为() 7.设直线l1:(m+1)x-(m-3)y-8=0(m∈ A.1 B.V2 C.V3 D.2 R),则直线恒过定点一； 若过原点 3.已知正方形的一组对边所在的直线方 作直线2∥1，则当直线1，与2的距离最大 程分别为3x+2y+1=0和3x+2y+4=0,另一组 时，直线2的方程为 对边所在的直线方程分别为4x-6y+c1=0和 8.已知点A(0,2),B(2,0),若点C 4x-6y+c2=0,则lc1-c2=() 在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面 A多 B.3V13 积为2的点C的个数为 13 9.已知10条直线： c.6V13 D.6 13 l:x-y+c1=0,c1=V2,l2:x-y+c2=0, 4.设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB 13:x-y+c3=0,…,l1o:x-y+C10=0, 关于y=a对称的直线1与点(-3，-2)的距 其中c1<C2<…<C0. 离不超过1，则a的取值范围为() 这10条直线中，每相邻两条直线之间 A3,B33 的距离依次为2,3,4，…，10. (1)求实数co的值； C.[1,2] D.[1,3] (2)求x-y+c1o=0与x轴、y轴围成的图 5.（多选题)若A(3,2)和B(-1,4) 形的面积. 到直线l:mx+y+3=0的距离相等，则m的值 可能为() A司 B. C.-6 D.6 6.(多选题)已知点P是直线3x-4y+5= 练(39 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 10.已知□ABCD中，A(-1,-1),C(1, 提升练习 1),点B位于第四象限. (1)求直线AC的方程 11.a,b,c为直角三角形的三边长，且 (2)若 时，求点B的坐标 c为斜边，点(m,n)在直线ax+by+c=0 (从下面三个条件中任选一个，补充在问题 上，则Vm+n的最小值是() 中并作答)》 A.1 B.V2 ①△ABC是等边三角形； C.2 D.2V2 ②过点E(V3,V3)垂直于AC的 12.(多选题)定义点P(xo,yo)到直线 直线分别x轴、y轴于M,N两点，且MN∥ 、 l:ax+by+c=0(a2+b2≠0)的有向距离为d= BD,MN=BD: ③点E(-2,O),AE∥BD,且口ABCD at+by+c.已知点P,P,到直线l的有向距离 Va+b2 的面积为4V3. 分别是d,d以下命题中不正确的有() A.若d=d2=1,则直线PP与直线l平行 B.若d=1,d2=-1,则直线PP与直线l 垂直 C.若d+d2=0,则直线PP2与直线l垂直 D.若dd≤0，则直线PP2与直线l相交 40)练