1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

第一章空间向量与立体几何。 1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 6.向量a=(1,2,x),b=(-2,y,4), 效果评价 若a∥b,则x-y=() 1.已知点A(2,3,4),B(1,2,1), A.4 B.2 C.1 D BC=3OA,且O为坐标原点，则C点的坐标 7.已知向量a=(1,0,-1),b=(1,1, 为() 0),则lal= ；向量a与b的夹角是 A.(6,8,9) B.(6,9,12) C.(7,11,13)D.(-7,-11,-13) 8.长方体ABCD-ABCD1的底面是边长 2.已知线段AB的两端点坐标为A(9, 为1的正方形，高为2，M,N分别是四边 -3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平 形BBCC和正方形ABCD1的中心，则向 面() 量BM与DN夹角的余弦值是 A.xOy平行 B.xO2平行 C.y0z平行 D.yOz相交 9.如图所示，在正方体ABCD-AB,CD 中，M,N分别是CC,BC1的中点.求证： 3.设向量c-2,20.ecoa,-分，小 MN∥平面ABD. (0°<a<180),若a⊥b,则角a=() A.30° B.60 C.120 D.150° 4.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD1 第9题图 中，O是底面ABCD的中心，E,F分别是 CC1,AD的中点，那么异面直线OE和FD1 所成角的余弦值等于() A.V15 B.V10 5 5 c号 D.号 5.(多选题)已知空间向量a,b,a⊥ b,a=(1,3,5),则b的坐标可以是（) A.(5,0,-1) B-2,3,3 C.(5,-3,-1)D.(8,-1,-1) 练(9 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 10.如图，在直三棱柱ABC-ABC1的底 提升练习 面△ABC中，CA=CB=1,∠BCA=90°，棱 AA=2,M是AB的中点 11.设向量=(1,2，入)，b=(2,2,-1), (I)求cos(BA,CB)的值； 若cosa,b)=号， 则实数入的值为 (2)求证：AB⊥CM 12.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是一直角梯形，PA⊥底面ABCD,∠BAD= 90°，AD∥BC,AB=BC=1,AD=AP=2,E为 PD的中点.以A为坐标原点，分别以AB, 第10题图 AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如 图所示的空间直角坐标系O-xyz. (I)求BE的模； (2)求(AE,DC),异面直线AE与 CD所成的角； (3)设n=(1,p,q),满足n⊥平面PCD, 求n的坐标. 第12题图 10)练BC=(2,-3,1),.lAB1=V344+(-8=V89,AC= V5+1+(-7y=V75,BC=V2+(-3)+平=V14,.MCP +BCP75+14-89=ABP,.△4BC为直角三角形.故选C 4c将折1日a6v点g号 解得A=-2或入号放选C 5.B【解析】4B1=V(2a-1)2+(-7-a)P+(-2+5) =V5a+10a+59=V5(a+1)2+54, 当a=-1时，AB1mm=V54=3V6.故选B. 6.4【解析】a∥b,.b=λa, A=-2,入=-2， x入=4，=-2，x-y=4. 3A=y,0=-6, 7.2牙【解析】(2a+b)c=2a:c+b-c=-10,又ac= 4.e32.o ,ce0,],,c-2 3 8.-2或号【解析】a=AB=(1,1,0),b=AC= (-1,0,2), ka-b=(k+1,k,-2),ka+2b=(k-2,k,4). (ka-b)⊥(ka+2b),∴(ka-b)(ka+2b)=0,即(k+1, k,-2)·(k-2,k,4)=(k+1)(k-2)+h2-8=0,解得=-2 或太=多放所求k的值为-2或子 9.解：0A=(1,0,0),0B=(0,-1,1),:.0A+ A0B=(1,-A,A),.(0A+A0B)0B=A+A=2入. 又·.0A+A0B=V1++=V1+2,IOB1=V2, c0s120°=(0+h0B)-02=2A 10A+a0B0BiV2V1+2元2， 6又2 V2V1+22 <0,即A<0,A=-V6 6 10.解：(1)a∥b,.存在实数入，使a=λb, 2=3入， 3 .(2,4,5)=A(3,x,y),4=x,x=6, 5=y, (2)向量(-3，-4,5)的模为V(-3)+(-4)+5= 5V2,与向量(-3，-4,5)共线的单位向量为 参考答案。 3234列贤3.4，列，0 5V2 2Y2,-2和-3y2,-2V2,2 5 2 10 5 2 提升练习 1.-号（专，号，）【解折1设00-0丽以. 入，2A),故Q(A,A,2A),.Q4=(1-入，2-入，3- 2A),QB=(2-入，1-入，2-2A),.QA.QB=6A2-16A+10= 6入专号，00店的最小值为-号，此时A-专， 0点的坐标为告，号，多 2最告音告) a-AB-0. 【解析】设a=(x,y,z),由题意有aAC=0, lal=1, 3 3 x13 代入坐标可解得一音或)音： 4 号 导 "1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 效果评价 1.C【解析】设C(x,y,z),则BC=(x-1,y-2,8 1),0A=(2,3,4),.30A=(6,9,12).由BC=-30A, x-1=6,x=7, 得y-2=9,y=11,.C(7,11,13).故选C. z-1=12, z=13, 2.C【解析】：AB=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5, -3),AB∥平面yOz.故选C. 3B【解析】：向量a=2,2,0),b=cosa,7,1, (0°<a<180°)，a⊥b,ab= 12 20a-10,60a=分0<a< D A 180°，∴.a=60°.故选B. D 4.A【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA,DC,DD的 方向为x轴、y轴、z轴的正方 第4题答图 67 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 向建立空间直角坐标系，则F(1,0,0),D(0,0,2), 0(1,1,0),E(0,2,1),则0E=(-1,1,1),FD= (-1,0,2),0E1=V3,IFD=V5,0E.FD-3, a配，m震哥9成 选A. 5.ABD【解析】a=(1,3,5),a⊥b,ab=0,即 ab=(1,3,5)(5,0,-1)=1×5+3×0+5×(-1)=0,故A 正确；ab=(1,3,5-2.3,-号1x-2+3x3+5x (子-0，放B正确：ab=(1.3.5)-(5,-3,-1-x 5+3x(-3)+5×(-1)=-9≠0，故C错误；ab=(1,3,5) (8,-1,-1)=1×8+3×(-1)+5×(-1)=0,故D正确.故选 ABD. 6.B【解析】向量a=(1,2,x),b=(-2,y,4),若 a0,则之子音解得2 x-y=-2-(-4)=2.故 x=-2, 选B 7.V260°【解析】向量a=(1,0,-1),b= (1,1,0),则la=V+0+(-1P=V2;cos(a,b)= 品V2万分，向量a与方的夹痛是@ ab 1 8.0【解析】如图，以 30 D D为原点，DA所在直线为x轴， A DC所在直线为y轴，DD所在直 线为z轴，建立空间直角坐标系， DL B(1,1,0),M3,1,1, n0.0.0),N3分，2 第8题答图 B丽-分，0,1.-}，号，2：设向量m与 7 DN的夹角为，则cos0=BD丽 4 IBM IIDNI ?⑧ 7D.故向量BM与DN夹角的余弦值为y0 30 30 9.证明：如图，以D为原 点，DA,DC,DD1所在直线分 别为x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标系，设正方体的棱 长为1，可求得M0,1,, 第9题答图 68 N3,1,1,D(0,0,0), A1,0,1,于是-分，0，，A-1.0., 得DA=2MN,.DA∥MN,.DA∥MN.而MNC平面 ABD,DAC平面ABD,MN∥平面ABD. 10.(1)解：如图，以C为原 点，CA,CB,CC:所在直线分别为 x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐 标系，A(1,0,2),B(0,1,0), B Y C(0,0,0),B(0,1,2),BA= (1,-1,2),CB=(0,1,2), 第10题答图 .Cos(BA,CB)=BACB=3 =V30 IBA:IICB I V6.V5 10 (2)证明：A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0, 2),M(3,,2,4正=(-1,1，-2)，C= (分方，0，义aB.G0.4B16M 提升练习 11.-122或2【解析】向量a=(1,2,),b= 7 (2,2,-1),.ab=2+4-λ=6-入，la=V1+4+=V5+2, V44I=3若cosa,b=号，则的-6A lallbl V5+Ax3 合，化简得7108A-24=0,解得A=-空或A-2,则 实数A的值为-1学或2 12.解：(1)由已知可得A(0,0,0),B(1,0,0), C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E为PD的中 点，.E(0,1,1),BE1=V0-14(1-0)+(1-0y=V3. (2)AE=(0,1,1),DC=(1,-1,0), :o,DC-4延C-1-号 WEIDC V2xV22 aE,Ce0,a正，)-2罗， 即异面直线AE与CD所成的角为牙。 (3)n⊥平面PCD,nlPD,nlCD 又=(1，p,9),PD=(0,2,-2),CD=(-1,1,0), n-PD=2p-2q=0,nCD=-1+p-0, 解得p=1,q=1,即n=(1,1,1).