1.1.1 空间向量及其运算-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

第一章空间向量与立体几何。 N第一章空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其运算 4.在空间四边形OABC中，OB=OC, 效果评价 ∠A0B=∠A0C=牙，则cos(OA',BC)的值 1.已知a+b+c=0,lal=2,b1=3,lcl=4, 为() 则a与b的夹角〈a,b〉=() A.30° B.45 A司 B.V② 2 C.60° D.以上都不对 2.如图所示，在正方体ABCD-ABCD C.- D.0 中，下列各式中：①(AB+BC)+CC1; 5.在三棱锥O-ABC中，OA=a,OB=b, ②(AA+AD)+D,C;③(AB+BB)+B,C; OC=C,G是△ABC的重心，则OG等于 ④(AA1+AB)+B,C.运算结果为向量AC的 () 个数为() A.a+b-c A.1 B.2 B.a+b+c C.3 D.4 C.(a+bte) D.号ab+e) 6.正方体ABCD-ABCD1中，点E为 上底面ABCD1的中心，若向量AE=AA+ 第2题图 第3题图 xAB+yAD,则实数x,y的值分别为 3.如图，空间四边形ABCD的每条边和 7.已知向量a,b,c两两夹角都是60°， 对角线的长都等于1，E,F,G分别是AB, 且la=lb1=lc=1,则la-2b+cl= AD,DC的中点，则FG.AB=() 8.四棱柱ABCD-ABCD,各棱长均为1， A.V3 B. ∠AAB=∠AAD=∠BAD=60°，则点B与点 D1两点间的距离为 c D.V3 2 9.如图所示，在平行六面体ABCD- N 高中数学选择性必修第一册人教B版 ABCD1中，AB=a,AD=b,AA=C,M是 10.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位 CD的中点，点N是CA1上的点，且CN: 向量，且a=e+e2,b=e1-2e2,则向量a与b NA=4:1.用a,b,c表示以下向量： 之间的夹角是() (1)AM;(2)AN, A.60° B.120° C.30° D.90° 提升练习 11.已知空间向量a,b,c满足a+b+c= 0,lal=3,b1=1,lcl=4,则ab+bc+ca的值 第9题图 为 12.如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E, F分别为棱AB,AD的中 点，则AB+BC= 第12题图 BC-EFI- 2)练练习手册参芳答案 第一章 空间 >m1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其运算 效果评价 1.D【解析】a+b+c=0,a+b=-c,(a+b)2=laP+b+ 2aa办号awa,b8岛-子放连D 2.D【解析】根据空间向量的加法法则以及正方体 的性质逐一进行判断： (AB+BC)+CCT=AC+CCI=ACT. 2(AA+AD )+DC=AD+DC-AC (AB+BB)+BC=AB+B CT=AC. (AA+A B)+B.Cr-AB+B,Cr-AC. 故所给4个式子的运算结果都是AC.故选D. 3.B【解析】由题意可得FC=)AC,FC,AB Xx1xco60产=}故选B 4.D【解析】如图所示，OA· BC=0A.(0元-0B)=0A.0C-0A. OB-0A 1-10C1-COSLAOC-0A 1-10BI- cos∠A0B=0,.OA⊥BC,(OA, 第4题答图 BC)=牙，cos(O1,BC)-0.故选D. 5.D【解析】如图所示，0G= oA+MC=01+号AB+4C =01+3(0成-01+0d-0i) =号（a+b4c).放选D 第5题答图 6子方【解桥】A正-4+M正 -AA+4.C -AA (ABAD) +)4B+2AD 第6题答图 参考答案。 句量与立体几何 故子 7.V3【解析】la-2b+cP=2+4b2+c2-4ab-4bc+ 2a·c=1+4+1-4×c0s60°-4xc0s60°+2×cos60°=3，∴.la-2h+ cl=V3. 8.√2【解析】如图，四 棱柱ABCD-AB,C,D,各棱长均为 1,∠AAB=∠AAD=∠BAD=60° ..BDT=BA +AD+DD, ..BD=(BA'+AD+DD )2 第8题答图 =BA+AD+DD42BAAD+2BA'.DD +2AD.DD =1+1+1+2×1×1xcos120°+2×1×1×c0s120°+2×1×1× cos60°=2，lBDl=V2,.点B与点D,两点间的距离 为V2. g.解：(DA-CMd =号[(a店+Ai+M+(4i4A] -(AB+2AD+2AA:)=a+btc. (2)AN-AC+CN-AC+4(AA-AC) =g店+写0+号4=ga+写+c 5 10.B【解析】a~b=(e+e2)·(e1-2e)=e-e1e-2e =1-1xx分2-是， lal=Va=V(er+e2)=Vei+2erexte =V1+1+1=V3, blVB=V(er 2e2)-Ve-4erex4e =V1-214=V3, 3 osa,b-8路亨-子a,b=120放选B 提升练习 11.-13【解析】a+b+c=0,∴.(a+b+c)P-0, .a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0, a-b+b-c+ea=-3+44-13 2 63 高中数学选择性必修第一册人教B版 12.2V3【解析】MB+RC-C2,E亦=)BD BD .BC-2x2xcos60-2.HIBC-EFP-BC-BD-BC BCRDD243.G-EF-V3. 1.1.2空间向量基本定理 效果评价 1.D【解析】p=2a=m+n,即p可由m,n线性表示， m,n,p共面.故选D. 2B【解折】0亦号0+}o丽+号0元，30 3 0A+0B+0C,.0p_0A=(0店-0P)+(0C-0P),.:AP PB+PC,PA=-PB-PC,P,A,B,C共面.故选B. 3.D【解析】如图，由条件AF:之EF知，EF=2AF, .AE=AF+EF=3AF, a庆}应号a或 号+}C =3+名AD+公) 第3题答图 =号产4名+名.故选D, 4.D【解析】如图，由已知 o元-0c=(o+MC =圣1o+3a可 =oi+4[(oi-0i+(od-o1 第4题答图 可=子，24+2=2故选D. 5.C【解析】(a+b)+(a-b)=2a,.向量a,a+b, a-b是共面向量，因此这三个向量不能构成基底，故A 不符合题意：.(a+b)+(-1)(a-b)=2b,.向量b,a+b, α-b是共面向量，因此这三个向量不能构成基底，故B 不符合题意；{a,b,c}为空间的一组基底，.这三 个向量不共面，若c,a+b,a-b不构成一组基底，则有 c=x(a+b)+y(a-b)→c=(x+y)a+(x-y)b,∴.向量a,b,c 是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正 确，因此c,a+b,a-b能构成一组基底，故C符合题 意；2a+b=子(a+b)+号a-b),向量a+b,a-b,2a+b 是共面向量，因此a+b,a-b,2a+b不能构成一组基底， 64 故D不符合题意.故选C 6-方a+号b-e【解析】B=-A瓜=方（国+ A功-+=-号正+号40-n-a+b-e 7.解：连接AC,AD',AC'(图略. ()AP-AC+A产)=2(AB+Ai+AA产)=2(ab+c). 2)AM-2(AGAD)a#2 D)+女 (3)AN=2(AC+D) =[a店4i++MM刀 =3(A店+2Ai+2产)=2a+b+c (④)Ad-aC+0-ad+专a-) =5C+号5丽+0+号 8.证明：OA+AB=0B,kOA+kAB=k0B,而 OE=k0A,OF-k0B,..0E+kAB=k (0A+AB)=k0B= 0F.又0E+EF=0F,EF=kAB,同理EH=kAD, EG-AC.:四边形ABCD是平行四边形，.AC=AB+AD, :配_E正，丽，即EG-E+Ei.又~它们有同一个 kkk 公共点E,点E,F,G,H共面. 9.B【解析】如图， -(00) 2 -o+0i+c 4 第9题答图 =4(Oi00心.故选B 10.BCD【解析】M,N分别是四面体OABC的边 OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点(Q靠近点M), ·AB=0B-OA,BC-0C-0B, MN-MA AB BN-0A AB+BC =号01+(0成-0i)+2(0元-0成 =20㎡+2o丽+2oc, 00-o+d-}oi+号m