1.2.5 空间中的距离-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

N 高中数学选择性必修第一册人教B版 1.2.5空间中的距离 效果评价 A.V3 -a B.V2a 2 3 1.在平面直角坐标系中，A(-2,3), C.Va D.V2 a 6 B(3,-2),沿x轴把平面直角坐标系折成 6.已知平行六面体ABCD-ABCD1中， 120°的二面角，则AB的长为() 以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2， A.V2 B.2V11 且两两夹角都是60°，则A,C1两点间的距 C.3V2 D.4V2 离是 2.已知直线1过定点A(2,3,1),且 7.已知△ABC是以 n=(0,1,1)为其一个方向向量，则点 ∠B为直角的直角三角 P(4,3,2)到直线1的距离为() 形，SA⊥平面ABC, A.3V2 B.V SA =BC=2,AB=4,M, 2 2 N,D分别是SC,AB, c.V10 第7题图 2 D.V2 BC的中点，则点A到平 3.如图所示，在长 面SVD的距离为 方体ABCD-ABCD1中， 8.如图，在三棱柱ABC AD=AA=2,AB=4,点E ABC中，所有棱长均为1， 是棱AB的中点，则点E 且AA1⊥底面ABC,则点B到 第3题图 到平面ACD1的距离为() 平面ABC,的距离为 第8题图 9.如图，在长方体ABCD-ABCD1中， A.1 B号c} D.V2 AB=AA1=AD=L,E,F分别是A,D,BC 4.已知正方体ABCD-ABCD1的棱长 为a,则平面ABD1与平面BDC的距离为 的中点，P是BD上一点，PF∥平面ECD. (1)求BP的长； ( ) (2)求点P到平面ECD的距离. A.V2a B.V3a C.V2a D.V3a 3 3 5.已知正方体ABCD-ABC,D1的棱长为 a,点E,F分别在AB,BD1上，且AE= 第9题图 号A,B,AF=号BD,则EF与平面ABCD 的距离为() 20)练 第一章空间向量与立体几何。 12.如图，直四棱柱ABCD-ABCD1的 底面是菱形，AA1=4,AB=2,∠BAD=60°， E,M,N分别是BC,BB,AD的中点 (1)求证：MN∥平面CDE; (2)求点C到平面CDE的距离. D业 B 第12题图 10.如图所示，在已知 直四棱柱ABCD-ABC,D1中， 底面为直角梯形，AB∥CD, 且∠ADC=90°，AD=1,CD= 第10题图 V3,BC=2,AA1=2,E是 CC1的中点，则AB1到平面ABE的距离为 二面角A-BE-C的余弦值为 提升练习 11.如图所示，在正四棱 1 /1B1 柱ABCD-ABCD1中，AA1= 2,AB=BC=1,动点P,Q分 DK 别在线段CD,AC上，则线 42--0 段PQ长度的最小值是() 第11题图 A.V② B.V3 3 3 c D.V5 3 练（21高中数学选择性必修第一册人教B版 如图(2)，则P(0,0,2V3),F(2,0,0),B(4, 2V3,0),C(3,3V3,0),D(0,3V3,0) PB=(4,2V3,-2V3),FB=(2,2V3,0), 可求得平面PBF的一个法向量=(V3,-1,1). PD=(0,3V3,-2V3),CD=(-3,0,0),可求 得平面PCD的一个法向量2=(0,2,3).设平面P℃D 与平面PBF所成二面角为O, 所以cou0-5V后V后 sin=8V65 65 1.2.5空间中的距离 效果评价 1.B【解析】过A,B分别作x轴的垂线，垂足分 别为A',B(图略)，则AA1=3,IBB1=2,A'B1=5. 又6-A+1F+B官，M店n-3454242x3x2x号 44,即1AB1=2VI.故选B. 2.A【解析】PA=(-2,0,-1),PAV5,PAl -竖，则点P到直线1的距离4-- V5万=3Y2.故选A 2 3.B【解析】方法一：设点E到平面ACD,的距离 为，则VeM=,号h分X2V73V互)号× 2x子×42，h号散选B 方法二：建立如图所示的 D 坐标系，A(2,0,0),D(0, 0,2),C(0,4,0),E(2,2, A 0),则AD=(-2,0,2),CD A =(0,-4,2),ED1=(-2,-2, 第3题答图 2). 设平面ACD的法向量为n=(x,y,z), 则nAD-0, 1-2x+2z=0 n.CD:=0, l-4y+2=0. 令y=1,则=2，=2， 212,4圆号放 选B 76 4.D【解析】由正方体的性 质，易得平面ABD∥平面BDC, 则两平面间的距离可转化为点B 到平面ABD1的距离.以D为坐标 原点，DA,DC,DD1所在的直线 分别为x轴、y轴、z轴建立如图 所示的空间直角坐标系，则A(a, 第4题答图 0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a),C(0,a,0),CA= (a,-a,a),BA=(0,-a,0),连接AC,由AC⊥平 面ABD,得平面ABD,的一个法向量为n=(1,-1, 1),则两平面间的距离d=BML=。-Y了a故 Inl V3 3 选D. 5.B【解析】如图所示，建 立空间直角坐标系B-yz,易得 B A /1 A D BA=(a,0,0),BC=(0, 第5题答图 a,a). 设n=(x,y,z)是平面ABCD的一个法向量， n-BA=0,1a=0, 由 n.BC=0 ay+az=0, 令z=1,得n=(0,-1,1). mg,g4,号小0.-1.10-0. ·EF⊥n,故EF∥平面ABCD 又Ea,0.子， BEn-号0,0，子小0.-1,10-号0 dBEm=V2a.故选B. 6.2V6【解析】设AB=a,AD=b,AA=c,易得 AC=a+b+c,则lACP=AC·AC=(a+b+c)(a+b+c)=a2+ 2a-b+2ac+2b-c+b2+c2-4+4+4+4+4+4=24,.4C1=2V6. 7.V6【解析】建立如图所 3 示的空间直角坐标系，则N(0,2, 0),S(0,0,2),D(-1,4,0), (A .=(0,-2,2),SD=(-1, 4,-2). 第7题答图 设平面SND的一个法向量为n=(x,y,z), n-=0,,1-242z=0, n-Sd0,-+4y-2z=0, 令，则2， y=1, n=(2,1,1).4=(0,0,2), “点A到平面SWD的距离d=n:4.2=V6 3 8.VT【解析】建立如图所 示的空间直角坐标系， 则AY.分0，a0,h, 0),B(0,1,1),C0,0,1),则 -分，cg-0 第8题答图 1,0),CB=(0,1,-1) 设平面ABC,的一个法向量为n=(x,y,z), 则有 g+0 令z=1, CB.n=y-z=0. 解得m写，1，，则所求距离为 1 V 7 9.解：(1)如图，以 A,为原点，AB,AD,AA 所在直线分别为x轴、y轴、 z轴，建立空间直角坐标系， B(1,0,1),D(0,2, 1),F(1,1,1),E(0,1, 第9题答图 0),C(1,2,0). 设P(a,b,1),BF=ABD,入∈[0,1]，ED=(0, 1,1),EC=(1,1,0),BD=(-1,2,0), 则BP=(a-1,b,0)=(-A,2A,0), P(1-A,2入，1)，PF=(,1-2X,0). 设平面DEC,的一个法向量为n=(x,y,z), 则n-E⑦0， 取x=1,得n=(1,-1,1). n.EC:=x+y=0, PF∥平面ECD,PFn=入-1+2λ=0， 解得A=写，号，子： BP的长BV号-1+号+(1-1)=5 参考答案。 (2)由(1)得平面DEC的一个法向量为n=(1, -山，I),E正-号，号，，点P到平面CD的距 离k厘：m.22V3 Inl V3 -3 10.V2Y6【解析】如 4 图，以D为原点，DA,DC,DD 分别为x轴、y轴、：轴的正方向建 立空间直角坐标系，则A(1,0,2), A(1,0,0),E0,V3,1), 过C作AB的垂线交AB于F, 第10题答图 易得BF=V3,B(1,2V3,0), AB=(0,2V3,0),BE=(-1,-V3,1). 设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z), n-AB=-0,得 2V3y=0, 则由 n.BE=0,-x-V3y+a=0, y=0,x=z,不妨取=(1,0,1). AA1=(0,0,2), AB,到平面ABE的距离 dWAi:m=2=V2 Inl v2 又B(1,2V3,2),BB=(0,0,2),CB=(1, 3,0). 设平面BCE的一个法向量为=(x',y,z'),易得 x'=-V3y',z'=0,取n=(V3,-l,0),n1与n所成 的角为0，则cos0nn型=V3=V6 Inllnl v2x2 4 提升练习 11.C【解析】建立如图所示的 空间直角坐标系，则A(1,0,0), D B(1,1,0),C(0,1,0),C(0, A B 1,2). 根据题意，可设点P的坐标为 D (0,入，2入)，入∈[0,1]，点Q的坐 B 标为(1-，，0)，u∈[0,1]， 则PQ=V(1-)+(-入)+4入2 第11题答图 =V24+5A-2-24μ+l V5a4号多号. 当且仅当入=)，以号时，线段P0的长度取得最 高中数学选择性必修第一册人教B版 小值号.放选C 12.方法一：(1)证明：如图1， 连接BC,ME,.M,E分别是BB, BC的中点， MEBC,且ME-BC 又N为AD的中点， w-4,a 图1 第12题答图 由题设知AB,DC, ∴B,C4AD,ME4ND, .四边形MNDE是平行四边形，MN∥ED. 又MNt平面CDE,MW∥平面CDE. (2)解：如图1，过C作CE的垂线，垂足为H, 由已知可得DE⊥BC,DE⊥C,C, .DE⊥平面CCE,故DE⊥CH, .CH⊥平面CDE,故CH的长即为C到平面CDE 的距离 由已知可得CE=1,CC=4, CE=V7,故CH=4Y7 17 “点C到平面CDE的距离为4Y 17 方法二：(1)证明：如图2，.·直四棱柱ABCD ABCD的底面是菱形， AA=4,AB=2,∠BAD=60°， E,M,N分别是BC,BB, AD的中点， .DD1⊥平面ABCD,DE⊥AD. 以D为原点，DA为x轴，DE 为y轴，DD为z轴，建立空间直 角坐标系， 图2 M(1,V3,2),N(1,0,2), 第12题答图 D(0,0,0),E(0,V3,0), C(-1,V3,4),MN=(0,-V3,0), DC=(-1,V3,4),DE=(0,V3,0). 设平面CDE的一个法向量为n=(x,y,z), 则 [n.DCr=-x+V3y+4:-0, In.DE=V3y=0, 取z=1,得n=(4,0,1). .MNn=-0,MWt平面C,DE,MN∥平面C,DE. (2)解：C(-1,V3,0),DC=(-1,V3,0), 78 平面CDE的一个法向量为=(4,0,1)， 点C到平面CDE的距离 d=IDC.nl_44V17 nl717 m阶段性练习卷（三） 1.C【解析】点A(2,3,2)关于xOz平面的对 称点为A',A'(2,-3,2). 点B(-2,1,4)关于y轴的对称点为B,B(2, 1,-4). .点M为线段A'B的中点，.M(2,-1,-1),MA= V(2-2)+(-1-3)+(-1-27=5.故选C. 2.C【解析】根据题意，得P4=(-1,3,-3),a= 山，0.aa,瓜Vg-g sima,P所)=Vg.又m=V而，点P2,-l, 2)到直线1的距离为1sna,)-VxVg V7.故选C 3.C【解析】PA=(x+2,2,-4),而d=Pm 号即上22-号得1成1散C 4.A【解析】如图所示，过A,作AMLCD交CD于 M(此时M与D重合)，易知AP与直线DC,所成的角 AP:AA,垂直 B=∠A,PM,sinB=4 D 底面ABCD,故AP与平面ABCD 所成的角为=∠APA,sina= :AA&Be[0,号引 第4题答图 故B>;根据图可知，二面角D-ACB为yE受，T, 故a<B<y.故选A. 5.A【解析】D,E分别为AB,AC的中点， .DE∥BC,.DE⊥BD,DE⊥AD.又.BD,ADC平面 ABD,BD∩AD=D,·DE⊥平面ABD. .·二面角ADE-B的平面角为∠ADB,∴.∠ADB= 60. .A D=BD=2,.A B=2. .BC∥DE,BC⊥平面ABD 又ABC平面ABD,∴BC⊥AB,A,C=VAB+BC =V4+4=2V2,故选A 6.B【解析】如图所示，过点A作AE⊥l,使BE⊥