2.3.3 第2课时 弦长问题-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第2课时 学习目标 1.已知直线与圆相交，能用代数法和几 何法两种方法求弦长。 2.解直线与圆的综合问题要善于利用图形 要点精析 川要点1直线与圆相交 求直线与圆相交时的弦长有三种方法 (1)交点法：将直线方程与圆的方程联 立，求出交点A,B的坐标，根据两点间的 距离公式ABl=V(x1-x2)+(y-y2)2求解。 (2)弦长公式：如图2-3-1(A),将 直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的 两交点分别是A(x1,y),B(x2,y2),则AB Var40=V1+k2k-=1V1+21 y(直线1的斜率k存在且不为0)· A(x1,1) B(x2,y2) 图2-3-1(A) 图2-3-1(B) (3)几何法：如图2-3-1(B),直线与 圆C交于A,B两点，设弦心距为d,圆的 半径为，弦长为MA,则有4+=。 即ABl=2VT2-dP. 通常采用几何法较为简便. 例1(1)求直线1：3x+y-6=0被圆 C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长AB; (2)过点(-4,0)作直线1与圆x2+y2+ 第二章平面解析几何。 弦长问题 2x-4y-20=0交于A,B两点，如果AB1=8, 求直线1的方程. B变式训练① 已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直 线被该圆所截得的弦的长度的最小值是 川要点2直线与圆位置关系的应用 例2已知实数x,y满足y=V3-x, 求m=+号及b=2x+y的取值范围. x+3 反思感悟 与圆有关的最值问题，可借助几何特 征及几何法先确定达到最值的位置，再进 行计算.有些与圆有关的最值问题涉及是否 过圆心，有时需要考虑表达式中字母的几 何意义，如两点间距离公式、斜率公式、 在y轴上的截距等 学(67 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 B变式训练2 已知直线l:mx+y+3m-V3=0与圆x2+ y2=12交于A,B两点，过A,B分别作l的 垂线与x轴交于C,D两点，若ABI=2V3, 求CD的长 例3设圆满足：①截y轴得弦长为 2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3： 1,在满足条件①、②的所有圆中，求圆心 到直线1：x-2y=0的距离最小的圆的方程。 分析本题可以用圆的标准方程求解， 其中有三个未知量，圆心(a,b),半径r, 解题的关键是求圆心到直线1距离的最小值. (68)学 数学文化 例阿波罗尼斯发现：平面内与两个定 点距离的比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨 迹是圆，后人把这个圆称为阿波罗尼斯圆· 已知定点A(-2,0),B(2,0),动点C满足I AC1=2BC1,则动点C的轨迹为一个阿波罗尼 斯圆，记此圆为圆P,已知点D在圆P上 (点D在第一象限)，AD交圆P于点E,连 接EB并延长交圆P于点F,连接DF,当 ∠DFE=30时，直线AD的斜率为() A.V39 B.V26 13 13 C.V3 D.V13 4 4高中数学选择性必修第一册人教B版 ∴.过点P(2,3)与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线有 两条 当斜率存在时，设切线的斜率为k, 则切线方程为y-3=k(x-2), 即-y+3-2=0,k-2+3-2=L, V+1 ∴.k=0 .切线方程为y=3; 当斜率不存在时，切线方程为x=2 .切线方程为y=3或x=2. 变式训练225【解标】设圆心为P,6,半径 为r 圆与x轴、y轴都相切，lol=yol=r. 又圆过(2,1)点，∴(2-r)2+(1-r)2=2, 得=1或=5. 当r=1时，圆心P(1,1)到2x-y-3=0的距离d= 2-1-3引-2V5 V2+(-1)7 5 当r=5时，圆心P(5,5)到2x-y-3=0的距离d= 10-5-31-2V5 V22+(-1)7 5 数学文化 C【解析】设点A关于直线x+y=5的对称点为 A'(a,b). 根据题意，A'O-V3为“将军饮马”的最短总路 程，先求出A'的坐标 A4"的巾点为（生，生，直线A4的斜*为1， 故直线AA'的方程为y1=心-3，即y=x-2. 由学生5 得4， b=a-2, b=2 A'(4,2),则A'0=V4+2=2V5, 故A'0-V3=2V5-V3, 则“将军饮马”的最短总路程为2V5-√3.故 选C. 第2课时弦长问题 要点精析 例1解：(1)联立直线1与圆C的方程，得 3+y-6-0,解得 =1,x2=2, x2+2-2y-4=0, y=3,y2=0, .交点为A(1,3),B(2,0).故直线1：3x+y-6=0被 46 圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长4B=V(1-2)2+(3-0)2= V10. (2)将圆的方程配方得(x+1)2+(0-2)2=25,由圆的性 质可得圆心到直线1的距离d=V(W25)户-受3. ①当直线1的斜率不存在时，=-4满足题意； ②当直线1的斜率存在时，设1的方程为y=k(x+4), 即kx-y+4k=0. 由点到直线的距离公式得3=2，解得 V1+k 高直线1的方程为5+12+20-0 综上所述，直线l的方程为x+4=0或5x+12y+20=0. 变式训练12【解析】圆的方程为(x-3)2+y2=9, 设过点(1,2)的直线与圆交于A,B两点. 设圆心C(3,0),半径=3，P(1,2),ICP=2V2, 设圆心到直线AB的距离为d,则d≤ICP, 故ABl≥2VP-正=2.故ABLm-2. 例2解：=V3-x表示以原点为圆心，半径为V3的上 半圆，m=!表示过点A(-3,-1)和(x,y)的直线的斜 +3 率，如图1所示 B 图2 例2答图 可知k≤m≤kC,B点坐标为(V3,0),:kAB= 0-(-1)=3-V3 V3-(-3)6 由图1可知，直线AC斜率存在，设直线AC的方程 为y+1=kAc(x+3),即kAC-y+3kA-1=-0,AC与半圆x2+ y2=3(y≥0)相切，13-I=V3,hc=3+V2I V1+kic 的取值花用e[3-。,3 6 由b=2x+y,知b表示直线2x+y-b=0在y轴上的截 距，如图2所示. 可知直线b=2x+y一定位于两直线l1与12之间.由直 线2与半圆相切，得b=V5,由直线过D(-V3, 0),得b=-2V3. 故b的取值范围是[-2V√3，V15]. 变式训练2解：由直线l:mx+y+3m-V3=0,.直 线1过定义(-3，V3),圆心0到直线l的距离d= I13m-V31 Vm2+1 如图，由AB1=2V3,在半弦长、d和半径构成的 直角三角形中，有P+(V3)=12,即3m-V3+ Vm2+1/ (V3)212,解得m=-V3 3 YA B 变式训练2答图 又直线1的斜率为-m=Y写，∠BC- 6 在Rt△CDE中，CD=AB=2V3x2=4. V3 故CD的长度为4. 例3解：设圆的圆心P(a,b),半径为r,则点P到x 轴、y轴的距离分别为bl,lal. 由题知，圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°， 知圆P截x轴所得的弦长为V2r,故2=2b.① 又圆P截y轴所得的弦长为2，所以户二-㎡+1.② 由①、②，得2b2-㎡=1.③ 又点P(a,b)到直线-2=0的距离为d=a-2 V5 ..5dP=la-2bP=a+4b2-4ab ≥2+4b2-2(2+b2)=2b2-2=1. 当且仅当a=b时上式等号成立，此时5dP=1, 从而d取得最小值. 由此有=b, 、得1或-1， 2b2-2=1, b=-1. 于是=2b2知=V2. 于是所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)P+(+ 1)2=2. 数学文化 A【解析】如图所示，设动点C(x,y),则 V(+2)+y7=2V(x-2)2+y, 化简可得-9x40,化为标准方程可得圆P一 参考答案。 x9-g 91 例题答图 ∠DPE=2∠DFE=60°，IPEI=HPDI,则△DPE为等边 三角形，过圆心P作PG⊥DE于点G,则IPG=PElsin60° 4V3 41V3_sin∠PAG=鼎=6=V3 PAI16'4之，cs∠PAG 3 V3 V1-孕F-Y里，k=tLP4G=4=V ，4 4 1313 4 故选A 2.3.4圆与圆的位置关系 要点精析 例1解：圆C1,C2的方程经配方后可得C:(x-a)P+(y 1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, .圆心C(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,2=1, ..lCC2l=V(a-2a)2+(1-1=a. (1)当1C,C=r+=5,即5时，两圆外切；当1C,C,= 1-2=3,即a=3时，两圆内切. (2)当3<1C,Cl<5,即3<a<5时，两圆相交. (3)当1CC>5,即a>5时，两圆外离. (4)当1CC<3,即a<3时，两圆内含. 变式训练1D【解析】对两个圆的方程配方得圆C: (-1产(+21及圆G:(-2产4(0*1户=子，则圆心距 d=GGV=V7.l<V2<+分，放两个圆 相交，则这两个圆的公切线有2条.故选D. 例2解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，则C: (x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,∴.圆C1的圆 心坐标为(1，-5)，半径为=5V2,圆C2的圆心坐 标为(-1，-1)，半径为r=V10. .IC Cal=2V5 r+r2=5V2+V10,Ir-r2l=15V2- V10l,∴.r-2l<lCC2<+n2,.两圆相交 (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为 x-2y+4=0. 47