2.2.4 点到直线的距离-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

-y+1=0 -5/0 5 10x -5f 变式训练4答图 x-3_y+5+1-0, 22 由题意得 等-1 解得4，故44，-2， y=-2, 则dm=A'B1=V(4-2)+(-2-15)7-V293 例5解：(1)如图1，先作点B关于直线1的对称点 B,连接AB并延长交1于点M,则点M即为所求.由 图1知，A,B,M三点共线且M在线段AB的延长线上 时，MA-MBI最大. 设B(x,y),点B,B关于直线l对称， 31, 解得=3·即B6,3》. 3x号-岁-10. y=3, ∴.AB'所在直线的方程为2x+y-9=0 x=2 此时，联立 2x+y-9-0,解得 3x-y-1=0, y=5, 即点M的坐标为(2,5). M B(0.4)5 B(0,4)下、 B' M ●A(4,1) 。A(4,1) 0/1 图1 图2 例5答图 (2)如图2，连接AB,交直线1于点M,则点M即 为所求.由图2知，A,M,B三点共线且M在线段AB 上时，MAI+HMB1最小. 由线段AB所在直线的方程为3x+4y-16=0. 联立3a-160. 4 =3 3x-y-1=0, 解得 y=3, 参考答案。 点M的坐标为号，3 数学文化 解：(1)设点A关于直线 y=-2的对称点为A'(x,y),则 导-4 x=4, 解得 y42=x+l-2 y=-1 22 A'(4,-1),.反射光线所在 例题答图 直线为A'B, 其方程为号+3.即47+30 光线从A到B的人射和反射路径如图所示 (2)由题意可设直线1：y-7=k(x-4)(k<0) 不妨假设M在x轴上」 则M4子，0，V0,7-4,则△CMN的面积S 347+1j7-4)=号63-9-20 k<0,49>0,-20k>0, 5≥×63+2V49x20)-63+28V5 2 当且仅当49=-20k(k<0), k 即k=-7V5时，等号成立. 10 故△CMN的面积存在最小值，不存在最大值，且最 小值为63+28V5 2 2.2.4点到直线的距离 要点精析 例1解：(1)点P(3,-2)到直线3x-4y+1=0的距 离d-13x3-4x(-2)+山-18 3+4 5 (2)点P(3,-2)到直线y=6的距离d=-2-61=8. (3)点P(3,-2)到y轴的距离d=31=3. 变式训练1B【解析】（方法一）点(0，-1)到y= k(+1)的距离左k+1业，：R-医+) V+1 k2+11 k241≥2k,2(k2+1)≥2+2k+1=(k+1), 智≤2，=”≤V2.当且仅当1 V2+1 时取等号。 故点(0，-1)到直线=k(x+1)距离的最大值为V2. 41 高中数学选择性必修第一册人教B版 (方法二)1：y=k(x+1)过定点P(-1,0),当斜率不 存在时不是最大距离，则斜率存在 设Q(0,-1),则Q到1的最大距离在直线1与直线 PQ垂直时取得，此时k=1,最大距离为PQ=V2.故 选B. 例2解：由直线1在两坐标轴上的截距相等，若截距 为0，设所求直线1的方程为y=kx(k≠0)，.d=4-3到 V1+k2 =3V2,解得k=12+3V4或k=2-3V14.若截距 不为0，设所求直线方程为x+y-a=0(a≠0).由题知d= 4+3-d=3V2,解得a=1或a=13.综上，所求直线方 V2 程为y=-12+?V4x或y=-12-3V4x或+y-10或 2 2 x+y-13=0. 变式训练2分【解析】由之2-+3y-20,可得x2月 )号、即x-+1=0或x+y-2-0,原点0到直线+1 0的距离的平方为= 没宁，原点0到成2 0的距离的平方为P- 2「2，+的最小值为 例3解：由题可知，4与6的距离是4与6的距离的分 l与l2的距离为d= 14-1 3 V+(-2)V5 与l的距离为d=1d=1=V5 3V55 变式训练3ACD【解析】2：(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0 化为m(x-y+2)+2x-y+5=0. 令t-y+2=0, =-3,因此，恒过定点(-3,1)， 2-y45=0,y=-1. 故A正确， 当m=1时，2：3x-2y+7=0.4×3+(-3)×(-2)≠0， .两直线不垂直，故B错误 当m=2时，2：4x-3y+9=0,4≠9，故两直线平行， 故C正确。 当l,/%,时，m+=-m+≠2m+5 4 m=2.2:4x- -3 4 3)+90,∴.两平行线间的距离为5 =1,故D正确. 1V4+(-3)7 故选ACD. 例4解：若1,2的斜率存在，由题可设直线1，的方程 为y=kx+1,设直线2的方程为y=k(x-5). 42 :直线1，上的点A到直线，的距离-1+5=5. 1V1+k2 .252+10k+1=25k2+25,k=12 5 l1,12的方程分别为12x-5y+5=0,12x-5y-60=0. 若，2的斜率不存在，则，的方程为x=0,2的方 程为=5，它们之间的距离为5，同样满足条件. 综上，满足条件的直线方程有两组： 11:12x-5y+5=0,1212x-5y-60=0或 l1:x=0,l2:=5. 变式训练4解：.ax+y-a-2=0,整理得y=-a(x-1)+2, .直线过定点Q(1,2) 当0Q⊥时，原点到直线的距离最大，此时最大 值为V+2=V5, 此时直线，的斜率为-子，即子 直线的方程为分y号2-0.印x+2-50 数学文化 解：设△ABC是等腰三角 形，以底边CA所在的直线为x 轴，连接顶点B和底边中点O 的直线为y轴，建立如图所示 P O 的平面直角坐标系. 设A(a,0),B(0,b), 例题答图 C(-a,0)(a心0，b>0), 则直线AB的方程为bx+ay-ab=0, 直线BC的方程为bx-ay+ab=0. 设底边AC上任意一点为P(x,0),-a≤x≤a 过点P作PF⊥BC于点F,PE⊥AB于点E, 则点P到AB的距离1PE=bx-abl1-b(a-x) Va㎡+bV㎡+b 点P到BC的距离PA=b+abl=b(a+x) Vai Va+b 点A到BC的距离h=lba+abl=2ab Va+b2 Va+b .IPEl+IPFl=b(a-x)b(atx)_ 2ab =h, Va+b Va+b Va+b 即等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等 于一腰上的高的长 >"2.3圆及其方程 2.31圆的标准方程 要点精析 例1解：(1)x2+(y-1)2=32,.圆心为(0,1)，半2.2.4点到 学习目标 1.了解点到直线的距离公式的推导方法 和过程 2.会使用点到直线的距离公式. 3.明确在使用点到直线距离公式时一定 要先将直线方程转化为一般式。 4.会使用两平行直线之间的距离公式， 知道两平行直线之间的距离公式的推导依据 是点到直线的距离公式. 5.明确使用两平行直线之间的距离公式 时，这两条直线方程中的x,y的系数必须 是对应相等的， 要点精析 川要点1点到直线的距离公式 1.推导方法 已知直线外一点P(xo,yo),直线： Ax+By+C=0,求点P到直线I的距离d 方法一：向量法 点P到直线l的距离d就是点P与直线 L上的任意一点P的连线在直线1的法向量 上的投影长 由直线l:Ax+By+C=0可知v=(A,B) 是直线I的一个法向量.设P(x,y)是直线 l上任意一点，则点P(xo,yo)到直线l:Ax+ B+C=0的距离d满足dPP·y 由PP1=(x-xo,y-yo), 第二章平面解析几何。 直线的距离 .d=IA(x-x0)+B(y-yo)I VA2+B2 =lAx+By-(AxotByo)l VA2+B2 又P(x,y)是直线I上一点， .Ax+By+C=O, ∴Ax+By=-C, 从而d=Ax+Byo+C VA2+B 方法二：直接法 过点P作直线l的垂线，垂足记为P(x, y),则点P到直线l的距离 d=PP'1=V(x1-xo)2+(y-yo)2. 由直线l的一个法向量v=(A,B),则y 与PP共线.由PP=(x-xo,y1-yo), .A(yI-yo)=B(x1-xo), 整理得B(x1-x)-A(y1-yo)=0.① 又P(x1,y)是直线l上的点， ∴Ax+By1+C=0,两边同减Ax+Byo什C, 故A(x1-xo)+B(y1-yo)=-(Ax+Byo+C).② 将①②两式分别平方后相加可得 (A2+B2)[(x1-xo)2+(y1-yo)2]=(Ax+By+C)2, ..(xr-xo)+(yr-yo)2=(AxotByo+C)2 A2+B2 从而d=Ax+Byo+C VA2+B 方法三：等面积法 设A≠0，B≠0.过点P作PR平行于x 轴交1于点R,过点P作PS平行于y轴交l 于点S.由两点间距离公式可得 IPSI AxntByotC IPRI=AxatRyotC B A 学(55 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 在Rt△RPS中，PP是斜边上的高， d=IPPI=IPRI-IPSI=Axc+Byo+Cl VIPRP+IPST2 VA2+B2 易证当A=0或B=0时，上式也成立. P(xo,yo) 图2-2-5 2.点到直线的距离公式 点P(xo,yo)到直线l:Ax+By+C=0的 距离d=Ax+Byo+C VA2+B2 反思感悟(1)上述公式当A=0或 B=0时仍然成立. (2)使用点到直线距离公式时要将直 线方程转化为一般式。 思考(1)你能试着用向量法写出空 间一点P到平面的距离吗？ (2)如果点P(m,n)到直线+y-1=0的 距离为0，你能写出m,n满足的关系式吗？ 3.几种点到特殊直线的距离 (1)点P(x1,y)到x轴的距离d=yl. (2)点P(x1,y)到y轴的距离d=xl: (3)点P(x1,y)到与x轴平行的直线 y=b(b≠0)的距离d=y-bl. (4)点P(x1,y)到与y轴平行的直线 x=a(a≠0)的距离d=x-al. 例1求点P(3,-2)到下列直线的 距离. (1)3.x-4y+1=0: (2)y=6; (3)y轴. 56)学 分析直接利用点到直线的距离公式 求解即可 变式训练1 点(0，-1)到直线y=k(x+1)距离的最 大值为() A.1 B.V2 C.V3 D.2 例2已知直线1在两坐标轴上的截距 相等，且点P(4,3)到直线1的距离为3V2, 求直线的方程。 分析截距相等，有两种情况：①截 距为0，此时直线过坐标原点，可设方程 y=kx;②截距不为零，则斜率k=-1,可设 方程为x+y-a=0(a≠0). B变式训练② 已知实数x,y满足x2-y2-x+3y-2=0,则 x2+y2的最小值为 川要点2两条平行直线之间的距离 已知直线l:Ax+By+C=0,2:Ax+By+ C=0,则直线（与马之间的距离d-C-C VA+B? 注：在使用公式时这两条直线的x,y 的系数需对应相等 例3如图2-2-6，已知直线11：x-2y+ 1=0与直线2：x-2y+4=0,在l1上任取一点 A,在12上任取一点B,连接AB,取AB靠 近点A的三等分点C,过点C作l的平行线 l3,求1与l3的距离. 图2-2-6 分析11与13的距离是11与12的距离 的 3 ⑧变式训练③ (多选题)已知l1:4x-3y+4=0,2:(m+ 2)x-(m+1)y+2m+5=0(m∈R),则() A.直线2过定点(-3，-1) B.当m=1时，l1⊥l2 第二章平面解析几何。 C.当m=2时，l∥l2 D.当l∥1☑时，两直线1,2之间的距 离为1 例4直线11过点A(0,1),2过点B(5, 0),如果11∥12，且4与12之间的距离为5， 求11,2的方程. 分析根据条件选择适当的方程，注 意讨论斜率是否存在，然后在其中一条直 线上任取一点，求该点到另一条直线的距 离，列方程求解， P变式训练④ 已知直线l1的方程为ax+y-a-2=0(a> 0),分别交x轴、y轴于A,B两点.求原点 到直线1距离的最大值及此时直线1的方程. 学(57 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 数学文化 例恩格斯在《自然辩证法》一书中指 出：数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了 变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法 进入了数学，有了变数，微分和积分也就立 刻成为必要的了. 解析几何的创立提供了研究几何问题的 一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转 化为代数问题来研究.这种方法具有一般性， 它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大 学科之间的联系.从此代数和几何互相汲取 新鲜的活力，得到迅速的发展 建立适当的坐标系，证明：等腰三角形 底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰 上的高的长， 分析等腰三角形一般以底边所在直 线为轴，底边中点为坐标原点建立平面直 角坐标系，通过设点的坐标，使用点到直 线的距离公式即可证明！ 58)学