2.2.3 第2课时 对称问题-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第一册人教B版 0上 设B(m,2m+10),则AB中点D的坐标为 2,24由AB边上的中线所在直线方程为+ 2 2y-5=0知，点D在直线x+2y-5=0上，.m+2+2× 2 2m+14-5=-0,解得m=-4,∴点B的坐标为(-4,2). 数学文化 解：由图所示平面直角坐标系可知A,B,C,D四 点坐标分别为(-5,2)，(-1，-2)，(0,0)，(5，-2). 例题答图 (1)由直线方程的两点式可知，直线AB的方程为 号出，化为一般式为中30直线0D的 方程为鼎0-8化为一般式为245=0 (2)由题可知直线BD的方程为y=-2,与x轴平行. (3)解方程组 3=0得5， 2x+5y=0,y=2. .直线AB与CD相交，且交点为(-5,2) 第2课时对称问题 要点精析 例1解：由中点坐标公式可得生-3。 解得y=-7,即C(1,-7), .l4C1=V(-3-1)+(1+7)2=41V5 变式训练1解：设直线1与直线2x-y-2=0交于点A(x1, y),与直线x+y-1=0交于点B(x2,2). 由A,B两点关于点P对称，即线段AB被点P平 分，x+2=-4,y+y=-6,则=-4-，=-6-1. 2r-20期2r2: +yr1=0,x+n=-11, 解得x=-3,y=-8, 即4(3,8).直线1的斜率=等-5，直 线1的方程为y-(-3)=5[x-(-2)],即y=5x+7. 例2解：设点P关于直线1的对称点为P(x,y),则 解得s-2, 生5空岁+3 y=7. 40 故点P4,5)关于直线1的对称点为P(-2,7). 变式训练2x-y+1=0【解析】由题可知直线1是线段 AB的垂直平分线，直线AB的斜率太=会=-1，直线 1的斜率=1.：线段AB的中点坐标为月，子，直 线1的方程为y-子=，即y+1-0. 例3解：由题意得'∥亿，故设1'：x+2y+C=0(C≠-1)， 在1上取点A(1,0),则点A(1,0)关于点(1，-1)的 对称点是A'(1,-2),1+2×(-2)+C=0,即C=3,故直 线'的方程为x+2y+3=0. 变式训练3A【解析】设☑上任意一点P(x,y),P(x, y）关于角平分线=x的对称点为P(y,x),因为P'(y, x)在直线l1上，∴.ay+bx+c=0,即l2的方程为ay+bx+c= 0,故选A. 例4解：方法一：设直线a上任意一点P(xo,%),它 的对称点P(x,y)在直线b上，则点P与点P关于 直线1对称， 子)-1， 6+7x-24y X二 x-0 25 解得 3.+0+4.y0-1=0, 68-24-7y 2 2 25 2y4-0,2.6+724y+8-24-7y-4-0, 25 25 化简得直线b的方程为2x+11y+16=0. 方法二：由题知直线a与直线1相交，.直线b通 过直线a与直线l的交点 2x+y-4=0, 由 3x+4y-1=0, 得直线a与直线l的交点M为(3，-2). 在直线a上取点P(2,0),设其关于直线1的对称 点为P(o,yo),则有 -1 4 x5 解得 3x2+4×号-1=0. .8 2 0-5 由M,P两点都在直线b上，根据直线方程的两点 式得直线b的方程为2.x+11y+16=0. 变式训练4V293 【解析】d=1Vx2+y2+6x-10y+34+1Vx2+y2-4x-30y+229 =V(x+3)+(y-57+V(x-2)2+(0y-15, 即d可看作点A(-3,5)和B(2,15)与直线x-y+ 1=0上的点(x,y)的距离之和. 如图，作A(-3,5)关于直线x-y+1=0的对称点 A'(x0,yo), -y+1=0 -5/0 5 10x -5f 变式训练4答图 x-3_y+5+1-0, 22 由题意得 等-1 解得4，故44，-2， y=-2, 则dm=A'B1=V(4-2)+(-2-15)7-V293 例5解：(1)如图1，先作点B关于直线1的对称点 B,连接AB并延长交1于点M,则点M即为所求.由 图1知，A,B,M三点共线且M在线段AB的延长线上 时，MA-MBI最大. 设B(x,y),点B,B关于直线l对称， 31, 解得=3·即B6,3》. 3x号-岁-10. y=3, ∴.AB'所在直线的方程为2x+y-9=0 x=2 此时，联立 2x+y-9-0,解得 3x-y-1=0, y=5, 即点M的坐标为(2,5). M B(0.4)5 B(0,4)下、 B' M ●A(4,1) 。A(4,1) 0/1 图1 图2 例5答图 (2)如图2，连接AB,交直线1于点M,则点M即 为所求.由图2知，A,M,B三点共线且M在线段AB 上时，MAI+HMB1最小. 由线段AB所在直线的方程为3x+4y-16=0. 联立3a-160. 4 =3 3x-y-1=0, 解得 y=3, 参考答案。 点M的坐标为号，3 数学文化 解：(1)设点A关于直线 y=-2的对称点为A'(x,y),则 导-4 x=4, 解得 y42=x+l-2 y=-1 22 A'(4,-1),.反射光线所在 例题答图 直线为A'B, 其方程为号+3.即47+30 光线从A到B的人射和反射路径如图所示 (2)由题意可设直线1：y-7=k(x-4)(k<0) 不妨假设M在x轴上」 则M4子，0，V0,7-4,则△CMN的面积S 347+1j7-4)=号63-9-20 k<0,49>0,-20k>0, 5≥×63+2V49x20)-63+28V5 2 当且仅当49=-20k(k<0), k 即k=-7V5时，等号成立. 10 故△CMN的面积存在最小值，不存在最大值，且最 小值为63+28V5 2 2.2.4点到直线的距离 要点精析 例1解：(1)点P(3,-2)到直线3x-4y+1=0的距 离d-13x3-4x(-2)+山-18 3+4 5 (2)点P(3,-2)到直线y=6的距离d=-2-61=8. (3)点P(3,-2)到y轴的距离d=31=3. 变式训练1B【解析】（方法一）点(0，-1)到y= k(+1)的距离左k+1业，：R-医+) V+1 k2+11 k241≥2k,2(k2+1)≥2+2k+1=(k+1), 智≤2，=”≤V2.当且仅当1 V2+1 时取等号。 故点(0，-1)到直线=k(x+1)距离的最大值为V2. 41N 高中数学选择性必修第一册人教B版 第2课时 学习目标 1.会利用中点坐标公式求解点关于点对 称的问题 2.会求点关于直线对称的对称点的坐标 3.能将直线关于点对称问题转化为点关 于点对称问题 4.会求直线关于直线对称的直线方程。 5.了解直线关于点或直线的对称问题可 以转化为直线上的点关于点或直线的对称问题， 要点精析 川要点1点的对称 1.点关于点的对称 求点P(x1,y1)关于点P(2,y2)的对 称点P(x,y) =七x 2 由中点坐标公式得 解得点P /2s1+ 2, 的坐标为(2x2-x1, 2y2-y1). 2.点关于直线的对称 已知点P(x,y),直线：Ax+By+C=0 (A2+B≠0)，求点P关于直线1的对称点的 坐标 设点P关于直线l的对称点为P(x', y),因为直线1是线段PP的垂直平分线， 所以需满足两个条件：垂直且平分，可以分 两步来求： 第一步，直线ILPP,.kkm=-1①； 第二步，PP的中点在直线l上，即点 (52)学 对称问题 (空，岁满足直线方程Ax++G-0。 即A空+B+G-02 2 联立方程①②，即可求出P的坐标。 思考你能写出点A(a,b)分别关于 x轴、y轴、直线y=x、直线y=-x、直线x= m、直线y=n对称的点的坐标吗？ 例1已知点A(-3,1),C(1,y)关于 点B(-1,-3)对称，求AC1. B变式训练① 已知直线l经过点P(-2,-3),若直线1 与直线2x-y-2=0和x+y-1=0分别相交得交 点A,B,且A,B两点关于点P对称，求 直线1的方程. 例2已知直线1：y=3x+3,求点P(4, 5)关于直线1的对称点的坐标. 分析两个点关于一条直线对称满足 两个条件：一是两点连线和对称轴垂直； 二是两点的中点在对称轴上. 变式训练2 已知A(2,4)与B(3,3)关于直线1 对称，则直线的方程为 川要点2直线的对称 1.直线关于点的对称 已知直线I:Ax+By+C=0,点P(x,y), 求直线1关于点P的对称直线的方程。 方法一：直线关于点的对称实际上可以 转化为直线上的点关于点的对称 方法二：直线I:Ax+By+C=0关于点对 称的直线平行于直线1，故可设'：Ax+ By+C'=0. 在直线1上选取一个特殊点，这个点的 对称点在直线'上，代入设出的'的方程即 可求解， 2.直线关于直线的对称 已知直线l:Ax+By+C1=0,2:Ax+ By+C2=0,求直线1关于直线2的对称直线 的方程 方法一：直线关于直线对称的实质是求 直线1上的任意一点关于直线2的对称点， 可采用相关点法求解对称的直线的方程， 方法二：分两种情况 （1)若4∥l2,可设所求直线方程为 Ax+By+C=0(C'≠C1,C'≠C2),然后在 上找一点P,求出点P关于直线2的对称点 P(x',y),代入到所设直线方程中，即可 求出C'. (2)若1与l2相交，则所求直线一定通 过此交点，因此先求出l与☑的交点M的 坐标，再在1上找一点P,求出点P关于直 第二章平面解析几何。 线2的对称点P(x',y),由M,P两点确 定所求直线的方程， 思考已知直线l:Ax+By+C=0,你能 写出直线I分别关于x轴、y轴、直线y=x、 直线y=-x对称的直线的方程吗？ 例3求直线l:x+2y-1=0关于点(1， -1)对称的直线'的方程. B变式训练3 已知直线l1和12夹角的平分线为y=x, 如果l1的方程是ar+by+c=0(ab>0),那么l2 的方程是() A.bx+ay+c=0 B.ax-by+c=0 C.bx+ay-c=0 D.bx-ay+c=0 例4求直线a:2x+y-4=0关于直线l: 3x+4y-1=0对称的直线b的方程. B变式训练④ 设x-y+1=0,则d=Vx2+y246x-10y+34+ Vx2+y2-4x-30y+229的最小值为 学(53 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 例5已知平面上两点A(4,1)和B(0, 4),在直线l:3x-y-1=0上求一点M: (I)使MA-MB最大； (2)使IMAI+MB最小. 数学文化 例在几何光学中可用一条表示光传播 方向的几何线来代表光，并称这条线为光线 光在均匀透明的介质中，遵循直线传播定律， 即光的反射定律和折射定律.光的反射定律： 反射线在入射线和法线所决定的平面上，反 射线和入射线分别位于法线的两侧反射角 和入射角相等.在反射现象里光路是可逆的. (1)一条光线从点A(1,2)出发，经过 直线y=x-2反射后到达点B(-3,0).求反射 光线所在直线的方程，并在图2-2-4中作出 光线从A到B的入射和反射路径， 图2-2-4 (54)学 (2)已知C(-1,0),直线1的斜率小于 0,且l经过点D(4,7),1与坐标轴交于M, N两点，试问△CMW的面积是否存在最值？ 若存在，求出相应的最值；若不存在，请说 明理由 分析(1)求得点A关于直线y=x-2 的对称点A'的坐标，由此求得反射光线所 在直线方程，并画出图象 (2)设直线1：y-7=k(x-4)(k<0),求得 △CMN的面积S的表达式，结合基本不等式 求得S的取值范围，由此确定正确结论.