2.2.2 第1课时 直线方程的点斜式与斜截式-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第一册人教B版 2.2.2 直线的方程 第1课时 直线方程的点斜式与斜截式 学习目标 川要点2直线的点斜式方程 1.了解直线方程的定义，明确两个条件 在平面直角坐标系中，如果已知直线上 缺一不可. 一 点P(x,yo),而且知道直线1的斜率， 2.熟练应用点斜式表示直线方程，并明 就可以写出直线的方程， 确点斜式直线方程的限制条件！ (1)若直线1的斜率不存在，则直线1 3.了解斜截式是点斜式的特殊情况，知：的方程为x=o 道斜截式表示方程的限制条件 (2)如果直线1的斜率存在且为k,则 4.会根据不同的已知条件采用不同的方 直线1的方程为y-yo=k(x-xo).此方程通常称 程形式表示直线. 为直线的点斜式方程， (3)点斜式方程的推导 要点精析 方法一：利用两点的斜率公式， 川要点1直线方程的定义 设P(x,y)为直线l上不同于P的点， 则飞p=水，即y二0=，化简可得 一般地，如果直线1上点的坐标都是 x-xo 方程F(x,y)=0的解①，而且以方程F(x, y-yo=h(x-xo)①，而且点P(xo,yo)的坐 y)=0的解为坐标的点都在直线1上②，则称： 标也能使上式成立；反之，满足①的解为坐 F(x,y)=0为直线l的方程，而直线l称为方 标的点也一定在直线1上，从而①就是直线 程F(x,y)=0的直线.此时，为了简单起见， 1的方程 “直线”也可说成“直线F(x,y)=0”,并且 方法二：利用方向向量， 记作l1:F(x,y)=0. .直线的斜率为k,.直线1的一个方 反思感悟 向向量为a=(1,k).设P(x,y)为直线l上 ①②这两个条件缺一不可，直线的方 任意一点，则PP与a共线. 程和方程的直线本质上是一样的，只是角 .PoP=(x-xo,y-yo),.y-yo=k(x-xo). 度不同而已，单独满足一个条件，都不能 思考y-y=k(x-xo)与k=y是否一致？ 说直线的方程或方程的直线」 x-Xo 思考如何判断平面直角坐标系中的 例1写出下列直线的方程，并在同一 平面直角坐标系中画出这些直线，通过观 一个点是否在直线上呢？ 察，指出方程y-2=k(x-1)表示的直线具有 40) 学 第二章平面解析八何。 的与飞的取值无关的特征， 川要点3直线的斜截式方程 (1)经过点(1,2)，斜率为1： (2)经过点(1,2)，斜率为-2； 1.直线在两轴上的截距 (3)经过点(1,2)，斜率为0. 一般地，当直线l既不是x轴也不是y 分析使用点斜式方程求解即可 轴时：若l与x轴的交点为(a,0),则称l 在x轴上的截距为a;若l与y轴的交点为 (0,b),则称1在y轴上的截距为b.一条直 线在y轴上的截距简称为截距 思考直线的截距是不小于0的实 数吗？ 2.直线的斜截式方程 若直线1的斜率为飞，截距为b,则直 线方程为y=kx+b.这个表示直线的方程称为 直线的斜截式方程， 反思感悟 (1)直线的斜截式方程可以用点斜式 推导出来，因此斜截式是点斜式的特例 反思感悟 (2)斜截式方程的适用条件与点斜式 (1)已知直线上一点和直线的斜率， 方程的适用条件相同，适用于直线的斜率 利用点斜式表示直线方程时要注意判断直 存在的情形 线的斜率是否存在，存在时可以使用点斜 思考 一次函数y=kx+b(k≠0)的图 式表示直线方程. 象是一条直线，与直线方程的斜截式比较， (2)如果直线方程中含有参数k,可以 可以发现一次函数解析式中的k就是直线 把直线整理成y-yo=k(x-xo)的形式，则直线 的斜率.在函数中，我们更关注y随自变量 通过定，点(xo,yo) x的变化而变化的关系，那么能否用斜率 B变式训练① k=Ay来描述一次函数中y随自变量x的变 △x 在平面直角坐标系中，过点(3，-4)， 化规律呢？ 且倾斜角a满足sina+cosa=- 则直线方 例2写出下列直线的斜截式方程， (1)倾斜角为120°，在y轴上的截距 程为 是-2； 学 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 (2)斜率是-2，且过点P(0,4). 变式训练3 直线l1:y=ax+b与直线2：y=bx+a(ab≠ 0)在同一个平面直角坐标系内的位置可能 是( 反思感悟 所求直线的斜率、直线在y轴上的截距 已知，一般选用直线的斜截式方程， 变式训练② 已知直线1的斜率为)，与y轴正半轴 例4求斜率为子，且与坐标轴所围成 有交点且与坐标轴所围成的三角形的周长是 的三角形的周长为12的直线方程， 30,则直线1的方程为 分析设出直线的斜截式方程，表示 例3已知直线l:y=ar+1-a只通过第 出直线在两坐标轴上的截距，再利用三角 一、二、三象限，求实数a的取值范围 形的周长构造方程求解 分析采用数形结合的方法，从直线 的斜率和截距入手，根据斜率和截距的几 何意义，求解a的取值范围. 42)学 第二章平面解析几何。 B变式训练④ 数学文化 直线1过点M(2,1),且分别交x轴、y 例数学是自然科学的基础，物理学科 轴的正半轴于点A,B,O为坐标原点.当 和数学的联系非常紧密，很多物理问题的解 △AOB的面积最小时，求直线1的方程， 决都离不开数学知识或运算.已知一根弹簧， 挂4N的物体时，长20cm.在弹性限度内， 所挂物体的重量每增加1N,弹簧就伸长 1.5cm.试写出弹簧的长度l(单位：cm)与 所挂物体重量G(单位：N)之间关系的 方程 分析弹簧的长度和所挂物体的重量 成线性关系.因此本题属于直线与方程的题 目，关键是根据已知条件找到直线上一点 和直线的斜率 反思感悟 (1)已知直线上一点，求直线方程时 一般设直线的点斜式方程，但要注意判断 斜率是否存在. (2)已知直线的斜率或截距求直线方 程时一般选择直线的斜截式方程 总之求直线方程采用的方法是待定系 数法，选用何种直线方程的形式主要依据 是要使方程中需要确定的参数个数最少 学(43方法二：由两点的斜率公式可知直线的斜率k= V3-0-V了，：.直线的一个法向量的坐标为(V3, 2-1 -1),倾斜角为60° 变式训练2解：设点A(a,d),B(b,b2),C(c,c2), atb.kwhig chte,k 则k=-b2 -=a+C. b-c a-c 不妨设直线AB的方向向量为(1，V2),则k V2,且直线AB的倾斜角为 △ABC是等边三角形， :ka=tama+3,kc=tama-于， atb+c=（(kaetkrtk.c) =3V7+ma+号)-号】 =2+ tanc+tan 3 1 tana-tan 3 2 2 1-tanotan T 2 3 l+andtan-号 =-3yV2 10 数学文化 解：设直线l的方向向量w=(m,n), 则0Au=±0Bu lul .m+4n=±(-3m+n), 解得4m=-3n或2m=5n. :直线1的倾斜角为钝角，斜率k=几<0， m 丹号，即直线1的斜率为号 2.2.2直线的方程 第1课时直线方程的点斜式与斜截式 要点精析 例1解：(1)直线经过点(1,2)，斜率为1，.直 线方程为y2=1×(x-1),化简得=x+1. (2)·直线经过点(1,2)，斜率为-2， y=2 -5-4-3-21012X345x -2 A y=-2x+4 例1答图 参考答案。 .直线方程为y-2=(-2)×(x-1),化简得y=-2+4. (3)直线经过点(1,2)，斜率为0， .直线方程为y-2=0x(x-1),化简得y=2. 在平面直角坐标系内画出直线如图所示. 综上，方程y-2-k(x-1)表示的直线具有的与k的取 值无关的特征为直线过定点(1,2). sina+cosa=-5 1 变式训练13x+4y+7=0【解析】由 sina+cosa=1, sina-5 3 4 sing=-5, 解得 或 cosa=5 3 .a∈[0，T),.∴.sina>0,. cosa=-5 .'tano=/=-3 4 直线方程为)4=子x-3),即3x+4+7-0. 例2解：(1)倾斜角为120°，∴.斜率k=-V3. 又直线在y轴上的截距是-2，.直线方程为y= -1V3x-2. (2)由直线过点P(0,4)可知直线的截距为4， .直线的方程为y=-2x+4. 变式训练2=昌45【解析】由题意，可设)品x+b, 5 则该直线与坐标轴交点分别为(0，b),-6,0,且 b>0,b+-号+V4号6-30，可得6=5，直线 1的方程为高+5. 例3解：方法一：由题意知a≠0. 令x=0,得直线在y轴上的截距为1-a; 令0，得直线在x轴上的截距为4-1 :直线1只通过第一、二、三象限， 1-a>0, 10, 解得0ka<1. a 方法二：直线的斜率为a,在y轴上的截距为l-a. :直线1只通过第一、二、三象限， 0,解得0<a<1. 1-a>0, 变式训练3D【解析】由l,得a>0,b<0,而由2得a> 37 高中数学选择性必修第一册人教B版 0,b>0,矛盾，故A错误；由l1得a<0,b>0,而由l2 得a>0,b>0,矛盾，故B错误；由l得a>0,b<0,而 由l2得a<0,b>0,矛盾，故C错误；由11得a心0，b>0, 由2得a>0,b>0,故D正确.故选D, 例4解：由直线的斜率为子，可设直线的方程为)= 子xb.令x0,得)=b:令y0,得x=-告.由题意知 b+号0+1V-0=2.61+号61+号6I2. b=±3.所求直线的方程为)=子+3或)=}-3. 变式训练4解：设1：1-k-2)(0,则A2,0, B(0,1-2k) 由s31-2)2-G =44≥24+2V-)-石] =4, 当且仅当4=-冬，即=-子时等号成立， .△AOB的面积的最小值为4，此时1的方程是x+ 2y-4=0. 数学文化 解：由题可知弹簧的长度1与物体的重量G成线 性关系.由所挂物体的重量每增加1N,弹簧就伸长 1.5cm可知所求直线的斜率k=1.5,又.弹簧挂4N的 物体时，长20cm,可知直线过点(4,20).由直线方程 的点斜式可知方程为1-20=1.5(G-4),化简得1=1.5G+14. 第2课时直线方程的两点式、截距式及一般式 要点精析 例1解：由两点式得三角形的AB边所在直线的方程 为鼎骨。整理可得)令发同理可得三角 形的AC边所在直线的方程为)子+？. B,C两点的横坐标相等，.直线BC与x轴垂直， .边BC所在的直线方程为x=3. 例2解：设B6,则AB中点E8,空2)、 2xw-5y+8=0, 2xw-5yo+8=0,xw=6, 由已知8+22-5-0xt2140 12 2 同理得C5,0),由两点式8， .直线BC方程为y=4x-20. 38 例3解：(1)由直线过点(0,5)，即直线在y轴上 的截距为5，设直线方程为七+￥=1.由题可知a+5=2, a 5 解得-3，直线方程为与+芍=山，即)=号+5 (2)由直线过点(5,0)，即直线在x轴上的截距 为5，设直线方程为号+方=1 由题可知b-5=2或5-b=2,解得b=7或b=3, 直线方程为芳+片1或芳+分山，即y了+7 或)=-子+3 变式训练1解：若直线过原点，则直线在两轴上的截 距为0，满足题意. 由直线经过点(1,2)，.直线的斜率为2，此时直 线方程为y=2x, 若直线不经过原点，由直线在两轴上的截距相等， 可设直线方程为龙+Y=1. a a 又直线经过点(1,2)，+2=1，=3，直 aa 线方程为y=3-x. 综上，截距相等的直线有两条，分别为y=2x和y= 3-x. 例4解：由已知BC=(2,-2).BC=(2,-2)就是BC 边上的高所在直线的法向量，又：所求直线经过点 A(1,2),所求直线方程为2(x-1)-2(y-2)=0,即x- y+1=0. 变式训练2解：如图，过点M作MN⊥OA于点V,故 △4△1Bo,0-0-H-号由M2.） 可得MM=1,NOI=2,.AO=BOI=3,故A(3,0),B(0, 3),直线1的方程为号+了=1，即x+-3=0. NA 变式训练2答图 数学文化 解：(1)直线1的一个方向向量a=(2,-3). +2可得-2， (2)由 y=2-3t y-2=-3t.