1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第一章空间向量与立体几何。 1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 学习目标 分析(1)由条件先求出AB,AC的 坐标，再利用向量的运算求P点的坐标 1.了解空间中的点与空间向量的关系. (2)先把条件AP:PB=1:2转化为向量 2.理解直线的方向向量 关系，再运算 3.掌握利用空间向量求空间两直线所成 角的方法。 4.掌握利用空间向量证明两条直线平行 或垂直的方法. 5.理解公垂线段的概念并会求其长度. 要点精析 反思感悟 此类问题常转化为向量的共线、向量 川要点1空间中的点与空间向量 的相等解决.设出要求的点的坐标，利用已 知条件得到关于要求的点的坐标的方程或 一般地，如果在空间中指定一点O,那 方程组求解即可. 么空间中任意一点P的位置，都可以由向量 OP唯一确定，此时，OP通常称为点P的位 变式训练1 置向量 已知点A(2,4,0),B(1,3,3),如 思考空间中的向量与平面向量的 图1-2-1，以AB的方向为正方向，在直线 区别是什么？ AB上建立一条数轴，P,Q为轴上的两点. 例1已知O是坐标原点，A,B,C三 (1)若AP:PB=1:2,求点P的坐标； 点的坐标分别为A(3,4,0),B(2,5,5), (2)若AQ:QB=2:1,求点Q的坐标 C(0,3,5). (①)若oP=3(AB-AC),求P点的 坐标； (2)若P是线段AB上的一点，且AP: PB=1:2,求P点的坐标. 图1-2-1 学 13 高中数学选择性必修第一册人教B版 川要点2空间中的直线与空间向量 (2)求AD与BC的夹角的余弦值. 1.如果A,B是直线l上两个不同的点， 则=AB,即为直线1的一个方向向量 2.如果1是直线的一个方向向量，2 是直线2的一个方向向量，则∥台l1∥12 图1-2-2 或l1与2重合. 3.设y1,2分别是空间中直线l1,☑的 方向向量，且1与2所成角的大小为0，则 0(y1,v2〉或=T-y1,v2),.sin0=siny1,v2), cos=lcos(v1,v2)I. 4.(,=7al1k-0, 5.公垂线段：一般地，如果1，与l2是空 间中两条异面直线，M∈l1,N∈2，MN⊥l1, MN⊥l2,则称MN为l1与2的公垂线段.两 条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异 面直线之间的距离. 反思感悟 思考直线1的方向向量唯一吗？如 利用向量求异面直线所成角的步骤： 果不唯一，直线1的方向向量之间有怎样 (1)确定空间两条直线的方向向量」 的关系？ (2)求两个向量夹角的余弦值 例2若向量a=(x,4,5),b=(1,-2, (3)确定线线角与向量夹角的关系： 2),且a与b的夹角的余弦值为V2,则 :当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角； 6 当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向 x=（) 量夹角的补角。 A.3 B.-3 C.-11 D.3或-11 变式训练② 例3如图1-2-2，BC=2,原点0是BC 侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A B,C1中， 的中点，点A的坐标为空，分，0， 底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1=2, 点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB= 点O,M分别是BC,AC1的中点，建立如 图1-2-3所示的空间直角坐标系. 30°. (1)写出三棱柱各顶点及点M的 (1)求向量CD的坐标： 坐标； 14)学 第一章空间向量与立体几何。 (2)求异面直线CM与BA1夹角的余 弦值 变式训练3 已知点A(1,1,-4),B(2,-4,2),C 为线段AB上的一点，且AC=)AB,则C 点坐标为 图1-2-3 变式训练4 已知点A(0,y,3),B(-1,-2,z),若 直线1的方向向量v=(2,1,3)与直线AB 的方向向量平行，则实数y+z等于 数学文化 例《九章算术》是古代中国乃至东方 例4(1)已知向量a=(2,4,10), 的第一部自成体系的数学专著，书中记载了 一 b=(3,x,15)分别是直线11，☑的方向向 种名为“刍甍”的五面体（如图1-2-5）， 量，若1∥12，则x= 其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB,若 (2)如图1-2-4所示，已知正方体 AB=3EF,△ADE和△BCF都是正三角形， ABCD-ABCD1的棱长为2，E,F分别是 且AD=2EF,则异面直线DE与BF所成角的 BB1,DD1的中点.求证：FC∥平面ADE. 大小为( D 图1-2-5 图1-2-4 B.平 c D晋 分析以矩形ABCD的中心为原点， CB的方向为x轴正方向建立空间直角坐标 系，写出各点坐标，利用空间向量数量积 坐标公式可得异面直线所成的角. 学 15=V3, .线段BN的长为V3. (2)依题意得A(1,0,2),C(0,0,0),B(0,1, 0),B(0,1,2),BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2), :.BA.CB1=1x0+(-1)x1+2x2=3. BA,I=V6,ICB:I=V5 ..cos(BA,CB ) BACB=YD,即BA与CB夹角的余弦值为Y3D IBA IICB I 10 10 数学文化 A【解析】由题图可知，点A(1,-1,-1),.点A 关于y轴对称的点的坐标为(-1，-1,1).故选A. "1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 要点精析 例1解：(1)AB=(-1,1,5),AC=(-3,-1,5), 0示-2(a店-AC)=号2,2,0)=(1,1,0)，P点的 坐标为(1,1,0). (2)由P是线段AB上的一点，且AP:PB=1:2,知 A号m! 设点P的坐标为(x,y,z),则AP=(x-3,y-4, ,m=(2-,5y,5-),故(x-3,y4,=2- x,5-y,5-z), x-3=3(2-), 即y45,得9号， 2 525-, 因此P点的坐标为号，号，等 变式训练1解：(1)由已知，得PB=2AP, 即0呢-0示-2(0°-0,0P01+}06 设点P坐标为(x,y,z),则将上式用坐标表示， 得x,y)号2,4,0+51,3,3. 即青+写膏号+号，011 放点P的坐标是号号小 参考答案。 (2)AQ:QB=2:1,.AQ=-2QB,00_0A=-2(0B -00,00=-0A+20B.设点Q的坐标为(x',y',z), 则将上式用坐标表示，得(x',y',z)=-(2,4,0)+2(1, 3,3)=(0,2,6),即x'=0,y'=2,z'=6.故点Q的坐标 是(0,2,6). 例2A【解析】‘ab=x-8+10=x+2,lal=V2+4I,b1= V1+44=3,V2=cos(a,b)=a:h=,、+2 6 lallbl 3V441 则x+2>0,即x>-2, 则整理方程得x2+8x-33=0, 解得x=-11(舍去)或=3.故选A. 例3解：(1)如图，过点D作 DE⊥BC于E, 则DE=CD-sin30P=Y 2 OE-0B-BD-cos60=1-221 11 例3答图 D的坐标为0，之，罗 又c0.1,0.m=0.-, (2)依题设有A点坐标为Y,7,0, a0Y,-1,,C-0.2.0 2 则AD与BC夹角的余弦值： cos(AD,BC)=A西·BC.-VI⑩ IAD IIBCI 5 变式训练2解：(1)根据图形可求得下列点的坐标： A(V3,0,0),B(0,-1,0),C(0,1,0), A1(V3,0,2),B(0,-1,2),C(0,1,2), ,3,2 2)m,,2,m-(V3,1,2. ..CM.BA=5,ICM I=V5,IBA I=2V2, w.武p 例4(1)6【解析】l∥1，∴.存在实数k使得b=ka, 3=2k, =4,解得x=6. 15=10k, 25 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 (2)证明：如图所示，建立 空间直角坐标系D-,则有 D(0,0,0),A(2,0,0),C(0 2,0),C(0,2,2),E(2,2, 1),F(0,0,1),FC=(0,2, 1),DA=(2,0,0),AE=(0, 例4答图 2,1). .DAC平面ADE,AEC平面ADE, 且(0,2,1)=0(2,0,0)+(0,2,1)， 即FC=ODA+AE, FCC平面ADE或FC∥平面ADE. 又FC平面ADE,FC∥平面ADE. 变式训练3各，-子-【解析】设Cx,y,), AC=(x-1,y-1,z+4),AB=(1,-5,6),由AC= 阳是.4层 z+4=3, z=-1. 变式训练40【解析】由题意，得AB=(-1,-2-y,8- 3,则号号，解得20 数学文化 A【解析】如图，以矩形ABCD的中心O为原点， CB的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系。 例题答图 四边形ABCD为矩形，EF∥AB,△ADE和△BCF 都是正三角形，∴EFC平面yOz,且z轴是线段EF的垂 直平分线.设AB=3,则EF1,AD=2,D-1,-弓，0)， E0,-,V2,B1,3,0,F0,,V2) DE=(1,1,V2),BF=(-1,-1,V2),DE BF=-1x1+1x(-1)+V2xV2-0,DE1BF,异面 直线DE与BF所成的角为受.故选A 26 1.2.2空间中的平面与空间向量 要点精析 例1解：：在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD为矩形，PA⊥ 平面ABCD,E为PD的中点， AB=AP=1,AD=V3, ·.以A为原点，AB所在直 线为x轴，AD所在直线为y 轴，AP所在直线为z轴，建立 例1答图 如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),C(1,V3,0), D0,V5,0,P0,0,1,E0,, aE=o,.,C=1,Vs,0. 设平面ACE的法向量n=(x,y,z), 则 正+0， n.AC=x+V3y-0, 取y=-V3,得n=(3,-V3,3). .平面ACE的一个法向量为=(3，-V3,3). 变式训练1解：以A为原点，分别以AB,AC,AP的 方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 (图略)，可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0), P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1), N(1,2,0). (1)DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2). 设n=(xo,o,o)为平面BDE的法向量， n-D2-0,即 2y0=0, nDB=0.2x-20. 令z0=1,n=(1,0,1),又MN=(1,2,-1),可得 MNn=O.MNt平面BDE,MN∥平面BDE. (2)BE=(-2,2,2),设AH=h(0≤h≤4)， 则H(0,0,h),进而可得N☑=(-1，-2，h). 由已知得kos(N7,BEL☑.BEi。2-21 NHIBEI Vh+5·2V3 1V7 21 整理得10-21h+80,解得M号或k=号 :线段AH的长为袋或号 5