1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

AN-AAA BBN-AAAB+C -ab+() +c. 变式训练33ab+3c 【解析】E正-)(E心+E店) =}ai:ci+好ai+ca =4A店+}B+4成+4a+}ci+4D成 -(ABCD)-3a-b+3c. 变式训练4解：MP=MC+C'A+4'P =2BC-A'C}A=号(BB+Bd-A元-}aM =}a+a-1-元-}4-号ae-b)t0 26. 数学文化 A【解析】如图所示，连接AG并延长交BC于点 M,则M为BC的中点， AM-号a店+MC)=3o6-20+0C. AG=AM=}(0B-201+0C). .0G=3GG,.0G=3GG=3(0G-0G), :0d-30G 则oc-0G(oi+1G) =10+号0i-号0+号0C =+4o丽+4o配， 4 例题答图 分子故选A 1 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 要点精析 例1解：(1)由题意建立如图所示 的空间直角坐标系，则A(0,0,0), A'(0,0,1),B(1,0,0), E0,1,,c1,3, B 例1答图 参考答案。 F3,1,,D0,1,0). ①A正=AD+D呢=AD+号D=AD+)A 0,1,月 AC-AB+BC=AB+2AD-l,子，0 A=A+MD+D下-4A+AD+)A店=（号，1,1月 2EF-AF-AE=(AAADAB-AD+AA= 2+24B分，0，： EG-G-AE-(AB+2ADAD2AA) =A店-20-21,3月 G-AC-A0-正+分0-0-正-分40 1,, (2)由于A(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4), D(2,-1,-2),P=AB=(2,1,3),q=CD=(2,0,-6). ①p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6)=(2,1,3) +(4,0,-12)=(6,1,-9)； ②3p-9=3(2,1,3)-(2,0,-6)=(6,3,9) -(2,0,-6)=(4,3,15)； ③(p-q)·p+9)=p2-92=pP-1qP=(22+12+32)-(22+02+6) =-26. 变式训练1解：AB=(2,6,-3),AC=(-4,3,1), AB-AC=(6,3,-4). 00m号4d=26,3,43,子，-2， 则点P的坐标为3，弓，-2 (2)设点P的坐标为(x,y,z),则AP=(x-2,y+ 1,z-2). A2aB-aC)=3,,-2. x-2=3, x=5, +1号，即=3则点P的坐标为5，分，0) z-2=-2.z=0, 例2解：(1)BC=(-2,-1,2),且c∥BC, .设c=λBC=(-2A,-入，2λ)， 得1Cl=V(-2A)4(-A)+(2Ay=3AI=3, 23 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 解得A=±1，即c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). (2)a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2), ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). 又.(ka+b)⊥(ka-2b), ∴.(ka+b)(ka-2b)=0, 即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,解得 2或-是 故所求k的值为2或-3 变式训练2解：a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2). 设c=(x,y,z)· x2+y2+z2=9 x=2, 1X-2 由题意得x+=0, 解得{y=-2,或y=2, -x+2z=0, =1 z=-1 即c=(2,-2,1)或c=(-2,2,-1). 例3解：建立如图所示的空间 直角坐标系.点E在z轴上，它 A 的x坐标、y坐标均为0，而E ◆E H 为DD1的中点，故其坐标为 0.0,} 过点F作FM⊥AD于点M, 例3答图 FN1DC于点N,由平面几何知FM=子，N子 则F点坐标为分，分，0 点G在y轴上，.其x,z坐标均为0.：又GD= 至，敢G点坐标为0，子，0 过点H作HK⊥CG于K点，由于H为CG的中点， 故弧=，CK8 :0K冬，故H点坐标为0，名， cm=0,g,2 6H=6V04g+T-7 变式训练3B【解析】设线段DC的中点为H,连接 EH,则EH⊥平面ABCD,以H为坐标原点，CD所在的 直线为x轴，HN所在的直线为y轴，HE所在的直线为z 轴.建立空间直角坐标系H-yz.设AB=4,则D(2,0, 0),E(0,0,2V3),M(1,0,V3),N(0,2,0), B(-2,4,0),所以E=(0,2,-2V3),B=(3,-4, V3),所以IEN1=4,IBMI=2V7,所以BM≠EN又因 24 为BM和EN都是△EDB的中线，所以直线BM,EN相 交，故选B 变式训练3答图 例4(1)证明：如图所 示，以D为坐标原点，建立 D 空间直角坐标系D-y2,易知 A E0,0,r分，3，， C(0,1,0),C(0,1,1), B1,1,1),G0,,0 例4答图 mo冬，3， 则F分，，0-0,0，H分分，7 BC=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1),E.BC= 2x(-1)((-1)-0..EFLBGEFLBC. (2)解：由(1)易知cC-0,子，0)-0,1,1 04,-,㎡（分，分}，cG亚。 ,.cc-号x0+2x4+7)x-1 是，m配，GC)=厨：cSY.即异面直线 IEFICGI 17 EF与CG所成角的余弦值为V5T 17 (3)解：由)知r7,分0,0，尽，， m-7,冬，，m-V+g+ =V4L.即H的长为Y4红 变式训练4解：如图所示，以CA, CB,CC为正交基底建立空间直角 坐标系C-yz. (1)依题意得B(0,1,0), N(1,0,1), .BN=V(1-0)2+(0-1P+(1-0乎 变式训练4答图 =V3, .线段BN的长为V3. (2)依题意得A(1,0,2),C(0,0,0),B(0,1, 0),B(0,1,2),BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2), :.BA.CB1=1x0+(-1)x1+2x2=3. BA,I=V6,ICB:I=V5 ..cos(BA,CB ) BACB=YD,即BA与CB夹角的余弦值为Y3D IBA IICB I 10 10 数学文化 A【解析】由题图可知，点A(1,-1,-1),.点A 关于y轴对称的点的坐标为(-1，-1,1).故选A. "1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 要点精析 例1解：(1)AB=(-1,1,5),AC=(-3,-1,5), 0示-2(a店-AC)=号2,2,0)=(1,1,0)，P点的 坐标为(1,1,0). (2)由P是线段AB上的一点，且AP:PB=1:2,知 A号m! 设点P的坐标为(x,y,z),则AP=(x-3,y-4, ,m=(2-,5y,5-),故(x-3,y4,=2- x,5-y,5-z), x-3=3(2-), 即y45,得9号， 2 525-, 因此P点的坐标为号，号，等 变式训练1解：(1)由已知，得PB=2AP, 即0呢-0示-2(0°-0,0P01+}06 设点P坐标为(x,y,z),则将上式用坐标表示， 得x,y)号2,4,0+51,3,3. 即青+写膏号+号，011 放点P的坐标是号号小 参考答案。 (2)AQ:QB=2:1,.AQ=-2QB,00_0A=-2(0B -00,00=-0A+20B.设点Q的坐标为(x',y',z), 则将上式用坐标表示，得(x',y',z)=-(2,4,0)+2(1, 3,3)=(0,2,6),即x'=0,y'=2,z'=6.故点Q的坐标 是(0,2,6). 例2A【解析】‘ab=x-8+10=x+2,lal=V2+4I,b1= V1+44=3,V2=cos(a,b)=a:h=,、+2 6 lallbl 3V441 则x+2>0,即x>-2, 则整理方程得x2+8x-33=0, 解得x=-11(舍去)或=3.故选A. 例3解：(1)如图，过点D作 DE⊥BC于E, 则DE=CD-sin30P=Y 2 OE-0B-BD-cos60=1-221 11 例3答图 D的坐标为0，之，罗 又c0.1,0.m=0.-, (2)依题设有A点坐标为Y,7,0, a0Y,-1,,C-0.2.0 2 则AD与BC夹角的余弦值： cos(AD,BC)=A西·BC.-VI⑩ IAD IIBCI 5 变式训练2解：(1)根据图形可求得下列点的坐标： A(V3,0,0),B(0,-1,0),C(0,1,0), A1(V3,0,2),B(0,-1,2),C(0,1,2), ,3,2 2)m,,2,m-(V3,1,2. ..CM.BA=5,ICM I=V5,IBA I=2V2, w.武p 例4(1)6【解析】l∥1，∴.存在实数k使得b=ka, 3=2k, =4,解得x=6. 15=10k, 251.1.3空间向量的型 学习目标 1.掌握空间向量的坐标表示，能在适当 的坐标系中写出向量的坐标。 2.掌握空间向量的坐标运算 3.掌握空间向量的平行、垂直关系的坐 标表示 4.理解空间直角坐标系的定义、建系方 法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单 运用。 要点精析 川要点1空间中向量的坐标 1.一般地，如果空间向量的基底{e1, e2,e}中，e1,e2,e3都是单位向量，而且 这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位 正交基底；在单位正交基底下向量的分解称 为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ ye+ze3,则称有序实数组(x,y,z)为向量 p的坐标，记作p=(x,y,z.其中x,y,之 都称为p的坐标分量. 2.假设空间中两个向量a,b满足a= (x1,y,1),b=(x2,y2,22),则有以下 结论： （1)a+b=(x+x2,y1+y2,21+22）· (2)若u,v是两个实数，ua+wb=(ux+ vx2,uyitvy2,uz+vz2). (3)a·b=xx2+yy2+222 (4)lal=Vaa=Vxi+yi+zi. 第一章空间向量与立体几何。 标与空间直角坐标系 (5)当a≠0且b≠0时，cosa,b)=a-b lal-bl 3x1X2+yy2+3122 Vx7+y7+zV场+y防+z 思考若a=xe1+ye2+ze3,则a的坐标一 定是(x,y,)吗？ 例1(1)如图1-1- 11,在棱长为1的正方体 ABCD-A'B'CD'中，E,F,G 分别为棱DD',D'C',BC的 中点，以{AB,AD,AA) 图1-1-11 为基底，求下列向量的坐标。 ①AE,AG,AF; ②EF,EG,DG (2)已知空间四点A,B,C,D的坐标 分别是(-1,2,1)，(1,3,4)，(0，-1,4)， (2,-1,-2).若p=AB,q=CD.求： ①p+2q;②3p-q;③(p-q)·(p+g) 反思感悟 对空间向量进行坐标运算的规律是首 先进行数乘运算，再进行加法或减法运算， 最后进行数量积运算.先算括号里，后算括 号外 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 B变式训练① 已知O为坐标原点，A,B,C三点的 坐标分别为(2，-1,2)，(4,5，-1)， (-2,2,3),求点P的坐标，使 ()0P-(AB-AC): ()AP-(AB-AC). 要点2空间向量的坐标与空间向量的 平行、垂直 1.当a≠0时，a∥b台b=入a台(x2,y2, x2=入x1, 22)=入(x1,y1,)台y2=入y1,当a的每一个坐 22=入21； 标分量都不为零时，有a∥b也=2=2 1Y131 2.a⊥b台ab=0台→xx2+yy2+z22=0. 3.点P(x,y,z)到坐标原点O(0,0,0) 的距离0P=Vx2+y2+z2. 4.任意两点P(x1,1,1),P(2,y2,2) 间的距离PP2=PP2V(2x1+0y1)2+(2之1P 思考空间向量的坐标与空间向量的 平行、垂直的公式与平面向量有什么联系 和区别？ 10)学 例2已知空间三点A(-2,0,2), B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB, b=AC. (1)若lcl=3,c∥BC,求c; (2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k 的值 分析先求a,b,再根据向量平行与 垂直的充要条件列方程求解. 反思感悟 解决空间向量平行问题的思路： (1)向量已知，通常需要设出向量的 坐标，例如，设向量=(x,y,z) (2)在有关平行的问题中，通常需要 引入参数，例如，已知a∥b,则引入参数 入，有a=入b,再转化为方程组求解」 (3)选择向量的坐标形式，可以达到 简化运算的目的. B变式训练② (变条件)将例2(1)中“c∥BC”改 为“c⊥a且c⊥b”,求c. 川要点3距离和直线夹角 例3在棱长为1的正方体ABCD- ABCD1中，E,F分别是DD,BD的中点， G在棱CD上，且CG=4CD,H为CG的中 点，试建立适当的空间直角坐标系，写出 E,F,G,H的坐标，并求GH的长度. 第一章空间向量与立体几何。 B变式训练③ 如图1-1-12所示， 点N为正方形ABCD 的中心，△ECD为正 三角形，平面ECDL 平面ABCD,M是线段 图1-1-12 ED的中点，则() A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 反思感悟 (1)建立空间直角坐标系时应遵循以 下原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐 标平面内； ②充分利用几何图形的对称性。 (2)求某点的坐标时，一般先找出这 一点在某一坐标平面上的射影，确定其两 个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或 者通过它到这个坐标平面的距离加上正负 号)，确定第三个坐标 例4如图1-1-13所 示，在棱长为1的正方体 ABCD-AB,CD1中，E,F分 别是DD,BD的中点，G在 图1-1-13 棱CD上，且CG=4CD,H为CG的中点 (1)求证：EF⊥BC: (2)求EF与CG所成角的余弦值； N 高中数学选择性必修第一册人教B版 (3)求FH的长 分析根据正方体的特殊性，可考虑 建立空间直角坐标系，写出相关点及向量 的坐标，运用数量积、夹角、模长公式 计算即可 反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适 当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴 上，以方便写出点的坐标.建立坐标系后， 写出相关点的坐标，然后再写出相应向量 的坐标表示，把向量坐标化，然后利用向 量的坐标运算求解夹角和距离问题 B变式训练④ 如图1-1-14所示，在直三棱柱（侧棱 垂直于底面的棱柱)ABC-ABC,中，CA= CB=1,∠BCA=90°，棱AA1=2,N为AA的 中点.求： (1)BN的长： 图1-1-14 12)学 (2)BA与CB1夹角的余弦值. 数学文化 例笛卡儿是世界著名的数学家，他因 将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何 之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一 个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和 “数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有 一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛 卡儿坐标系的雏形.在如图1-1-15所示的空 间直角坐标系中，单位正方体顶点A关于y 轴对称的点的坐标是( A.(-1,-1,1) B.(1,-1,1) C.(1,-1,-1) D.(-1,-1,-1) 图1-1-15 分析由图写出点A的坐标，然后再 利用关于y轴对称的点的性质写出对称点 的坐标