1.2.5 空间中的距离-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第一册人教B版 Y2,Y2,0,则平面Ac 的一个法向量可以为n=(1,0,0).设平面BPC的法向 量为m=(x,y,z), 则mC亦-0， -V2y+=0, 令y=1,则 m-BC-0, 0. 2 z=V2,x=1,m=(1,1,V2). 设二面角A-PC-B的大小为0，则cos0=m Inliml= 1xV1414(V2元F70≤0≤m,0=60 .1 1.2.5空间中的距离 要点精析 例1解：(1)建立如图所示 的空间直角坐标系，则A(1, 0,0),F(1,1,0),C(0, 0,1). .CM=BN=a (0<a<V2 ) 且四边形ABCD,ABEF为正方形， MY2a,0,1-Y2a. 例1答图 2 2 N V2a,V2a.o). 2 2 -0,Va.Vo-1). :IMNI=Va-V2 a+1 (0<a<V2). MW=Va2-V2a+1(0<a<V2) 2)由D知w=V25,当a Y时，MN-Y孚，即当a=Y子时，MN的长最小， 2 2 最小值为V② 2 变式训练1解：AC⊥AB,BD LAB, ·.CAAB-0,BD.AB=0. 又：二面角aAB-B的平面角为120°， .(CA,BD)=60°， ..CD-ICD P=(CA +AB +BD -CAAB+BD42(CAAB+CA BD+BD.AB) =3x6+2x62xc0s60°=144」 ∴.CD=12. 例2解：以点B为原点，建立如图所示的空间直角坐 32 标系 则A(4,0,1),C(0,3,1), AC=(-4,3,0). 设E满足AE=入A1C, 且BE⊥AC1, 例2答图 则BE=BA+4E=(4,0,1)+(-4,3,0) =(4-4入，3入，1).又BE1AC, (44h,3A,1(-4,3,0-0.A8 B正44票3x碧， iV+尝+-号. 点B到直线AC的距离为3 变式训练2C【解析】过P作 PE⊥B交B于E,在B内过点E作 EF⊥l,则∠PFE=60°，PE=V3, .P℉=2.同理可求平面B内的点Q 到棱1的距离为4. 变式训练2答图 当P,Q的连线与棱1垂直时，P,Q两点之间的距 离d最短，所以P=4+16-2×4x2×cos60°=12，.d=2V3. 故选C. 例3解：方法一：设点A到平面ABD的距离为h,则 kwxY经xV2a3i 4 6 VVV3o 3a, .点A到平面ABD的距离为V3 a 方法二：如图所示，建立空间 直角坐标系B1-xz,则A:(a, 0,0),A(a,0,a),D(a,a,a), B(0,0,a), 则BD=(a,a,0),AD=(0, a,a),AB=(-a,0,0). 例3答图 设平面ABD的一个法向量n=(x,y,z), -D0.即ao-0,.中D. 则 n-A,d-0,agy+=0,“gy+a-0. 令y=-1,则x=x=1,n=(1,-1,1). ABn=(-a,0,0)(1,-1,1)=-a. 点A到平面ABD的距离d=MBL--d V3 9 变式训练3解：以D为原点， DA,DC,DD1所在直线分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标 系，则D(0,0,0),A(3,0, 0),B(3,3,0),D(0,0,3), AD=(-3,0,3),AB=(0,3, 变式训练3答图 0),设P(0,,0),AP=(-3, t,0),设平面ADP的法向量为n=(x,y1,1)，,则 nA=-3x0.令=3，可得n=,3,,点B n-AD=-3xr+3z=0, 到平面AD,P的距离d-4B,=9 Inl 03.de (V3,3). 例4(1)证明：由已知可得 {AE∥DF, AB∥DC, AE∩AB=A, =平面ABE∥平面DFC, DF∩DC=D. AE,ABC平面ABE, DF,DCC平面DFC 又BEC平面ABE,BE∥平面DCF (2)解：如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系 AB∥CD,∠ABC=∠ADB= 90°，则△ADB∽△BCD=AD BC -DB CD 例4答图 .CD=1,BC-2,.BD=V5, AD=2V5,AB=5,.F(0,0,1) D(0,0,0),A(2V5,0,0),B(0,V5,0), c50.F=0,v,, 小，成有 参考答案。 设平面DCF的法向量为n=(x,y,z), 2 则nDc=0, 41 V5*V50 n-CF-0, -4--I 2 y+z=0, V5V51 令x=1,=2,=0,∴=(1,2,0). :d=BF:Ll-2.点B到平面DCF的距离为2. 变式训练4解：以D为原点， 建立如图所示的空间直角坐标 系，则A(1,0,1),B(1,1, 0),D1(0,0,1),AB=(0,1, -1),AD=(-1,0,-1),AD= (-1,0,0) 变式训练4答图 设平面ABD的一个法向量 nA B=0,(y-z=0, 为n=(x,y,z),则 n·AD=0 -x-8=0, 令z=1,得y=1,x=-1,.=(-1,1,1).∴.点D1到 平面A,BD的距离d=4Dml=1=V3 Inl V3 3 .平面ABD与平面BCD,间的距离等于点D,到平面 ABD的距离，∴.平面ABD与平面B,CD,间的距离为V3 3 数学文化 V2【解析】如图所示，以 点B为坐标原点，建立空间直角坐标 系， 则B(0,0,0),A(2,0,0), P(2,0,2),C(0,2,0).由M为 PC的中点可得M(1,1,1),.BM= 例题答图 (1,1,1),BA=(2,0,0),BP= (2,0,2).设n=(x,y,z,)为平面ABM的一个法向 量，则nB0,即2 2x=0, In.BM-0, x+y+z=0. 令2=-1，可得n=(0,1,-1),点P到平面MAB的 距离止nBP=V2. 33N 高中数学选择性必修第一册人教B版 1.2.5空间中的距离 学习目标 反思感悟 计算两点间的距离的两种方法： 1.掌握向量长度计算公式， (1)利用laP=aa,通过向量运算求lal, 2.会用向量方法求两点间的距离、点到 、 如求A,B两点间的距离，一般用|AB= 平面的距离、直线到平面的距离和面到面的 距离 VABP=VAB,AB求解 (2)用坐标法求向量的长度（或两点 要点精析 :间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立 空间直角坐标系时 川要点1空间中两点之间的距离 B变式训练① 空间中两点之间的距离指的是这两个点 连线的线段长 如图1-2-24所示，在120°的二面角ax 思考在空间中怎样求两点之间的 AB-B中，ACC,BDCB且AC⊥AB,BD⊥ 距离？ AB,垂足分别为A,B,已知AC=AB=BD= 例1如图1-2-23所 6,求线段CD的长 示，正方形ABCD,ABEF 的边长都是1，而且平面 ABCD,ABEF互相垂直， 图1-2-24 点M在AC上移动，点N 图1-2-23 在BF上移动，若CM=BN=a(0<a<V2). (1)求MN的长； (2)a为何值时，MN的长最小？ 川要点2点到直线的距离 给定空间中一条直线1及1外一点A, 因为1与A能确定一个平面，所以过A可以 作直线1的一条垂线段，这条垂线段的长称 :为点A到直线的距离. 26)学 第一章空间向量与立体几何。 思考点到直线的距离是点和直线上 例3如图1-2-25所示， 的点连线的最短距离吗？ 已知正方体ABCD-ABCD, 例2已知直三棱柱ABC-ABC,中， 的棱长为a,求点A到平面 ABD的距离， 图1-2-25 AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°，求点B 到直线AC,的距离. 分析 本题可以利用等体积法求解， 分析建立空间直角坐标系，利用向 也可以通过建系利用向量法求解 量法求解 变式训练2 已知二面角x-1B为60°，动点P,Q分 别在平面，B内，点P到B的距离为V3, Q到a的距离为2V3,则P,Q两点之间 距离的最小值为（) A.V2 B.2 C.2V3 D.4 反思感悟 川要点3点到平面的距离 用向量法求点面距离的方法与步骤： 1.给定空间中一个平面a及a外一点 (1)建坐标系：结合图形的特点建立 恰当的空间直角坐标系， A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条 垂线段的长称为点A到平面α的距离. (2)求向量：在坐标系中求出点到平 2.一般地，若A是平面a外一点，B是 面内任一，点对应的向量AB, 平面内一点，n是平面a的一个法向量， (3)求法向量：设出平面的法向量， 利用向量垂直的条件转化为求解方程组， 则点A到平面a的距离为d=BA,l 求出法向量n. 思考点到平面的距离是这个点与平 (4)得答案：代入公式止4B求得答案 面内点的最短连线的长度吗？ 学 高中数学选择性必修第一册人教B版 例4如图1-2-27， 变式训练③ 矩形ADFE和梯形ABCD 如图1-2-26，正方体ABCD-ABCD1中， 所在平面互相垂直，AB∥ 棱长为3，点P在棱DC上运动（不与顶点： CD,∠ABC=∠ADB=90°， 图1-2-27 重合)，求点B到平面ADP的距离d的取值 CD=1,BC=2,DF=1. 范围 (1)求证：BE∥平面DCF; (2)求点B到平面DCF的距离. 图1-2-26 要点4相互平行的直线与平面之间、相· 互平行的平面与平面之间的距离 B变式训练④ 1.当直线与平面平行时，直线上任意一 正方体ABCD-AB1CD1的棱长为1，求 点到平面的距离称为这条直线与这个平面之 平面ABD与平面BCD1间的距离. 间的距离，如果直线l与平面平行，n是 平面ax的一个法向量，A,B分别是I上和 内的点，则直线l与平面a之间的距离为d= BA·nl 2.当平面与平面平行时，一个平面内任 意一点到另一个平面的距离称为这两个平行 平面之间的距离， 数学文化 如果平面ax与平面B平行，n是平面B 例在我国古代数学名著 的一个法向量（当然也是平面α的一个法向 《九章算术》中，将四个面都 量)，A和B分别是平面α和平面B内的点， 为直角三角形的三棱锥称之为 则平面α和平面B之间的距离为d=BA·l 鳖臑.如图1-2-28，已知在鳖 n 臑PABC中，PA1平面ABC,图1-2-28 思考线面距离、面面距离与点面距 PA=AB=BC=2,M为PC的中点，则点P到 离有什么关系？ 平面MAB的距离为 28)学