1.2.4 二面角-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

1.2.4 学习目标 1.掌握二面角的概念、二面角的平面角 的定义，会作出二面角的平面角： 2.掌握求二面角的方法、步骤. 要点精析 川要点1二面角的概念 1.半平面：平面内的一条直线把一个平 面分为两部分，其中的每一部分都称为一 个半平面 2.二面角：从一条直线出发的两个半平 面所组成的图形称为二面角，这条直线称 为二面角的棱，这两个半平面称为二面角 的面.棱为1，两个面分别为a,B的二面角 的面，记作a-l-B,若A∈a,B∈B,则二 面角也可以记作A-1-B,二面角的范围为 [0,m]. 3.二面角的平面角：在二面角a-1B的 棱上任取一点O,以O为垂足，分别在两半 平面内作射线OA⊥1，OB⊥1，则∠AOB称 为二面角a-l-B的平面角. 4.作二面角的平面角的方法 (1)定义法：由二面角的平面角的定义 可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上 一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关 知识， (2)垂面法：作一个与棱垂直的平面， 与两面的交线就构成了平面角， (3)三垂线定理（或逆定理）作平面 第一章空间向量与立体几何。 二面角 角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定 理（或逆定理）的应用步骤一致， 例1如图1-2-16，设 AB为圆锥PO的底面直径， PA为母线，点C在底面圆周 5- 上，若△PAB是边长为2的 正三角形，且C0⊥AB,求 图1-2-16 二面角P-ACB的正弦值， 反思感悟 用定义法求二面角的步骤： (1)作（找）出二面角的平面角. (2)证明所作平面角即为所求二面角 的平面角. (3)解三角形求角. D变式训练① 如图1-2-17，已知矩 形ABCD的两边AB=3, AD=4,PA⊥平面ABCD, B 且A=子，则二面角A 图1-2-17 BD-P的正切值为 学(23 高中数学选择性必修第一册人教B版 川要点2用空间向量求二面角的大小， 如果n1,n2分别是平面1,2的一个法 向量，设心1与所成角的大小为0，则0= (n1,n2》或0=T-(n1,n2）,sin0=sin(n1,n2）. 思考二面角的大小与其两个半平面 的法向量的夹角有何关系？ 例2如图1-2-18所示，四棱柱 ABCD-ABCD1的所有棱长都相等，AC∩ BD=0,A1C∩BD1=O1, 四边形ACCA1和四边形 BDDB1均为矩形 (1)求证：00⊥底 面ABCD: 图1-2-18 (2)若∠CBA=60°，求二面角C-OB-D 的余弦值。 反思感悟 利用坐标法求二面角的步骤： 设n1,n2分别是平面ax,B的法向量， 则向量n1与n2的夹角（或其补角）就是两 个平面夹角的大小，如 图.用坐标法的解题步骤 如下： (1)建系：依据几何条件建立适当的 空间直角坐标系， (2)求法向量：在建立的坐标系下求 24)学 两个面的法向量n1,n2 (3)计算：求n1与2所成锐角为0， cos0 =In'nl Inilin2l (4)定值：若二面角为锐角，则为0： 若二面角为钝角，则为π-0 P变式训练2 如图1-2-19，四棱锥P-ABCD的底面是 矩形，PDL底面ABCD,PD=DC=1,M为 BC的中点，且PB⊥AM, (1)求BC的长； (2)求二面角A-PM-B的正弦值. 图1-2-19 B变式训练3 (变条件、变结论)将例2四棱柱中的 ∠CBA=60°改为∠CBA=90°，设E,F分别是 棱BC,CD的中点，求平面ABE与平面 AD,F所成锐二面角的余弦值 例3如图1-2-20(A),在直角梯形 ABCD中，AB∥CD,AB⊥BC,CD=2AB= 2BC=4,过点A作AE⊥CD,垂足为E,现 将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.取AD 的中点F,连接BF,CF,EF,如图1-2 20(B)· 图1-2-20(A) 图1-2-20(B) (1)求证：BC⊥平面DEC; (2)求二面角CBFE的余弦值， 分析(1)根据线面垂直的判定定理 即可证明BC⊥平面DEC. (2)建立空间直角坐标系，利用向量 法即可求二面角CBFE的余弦值， 反思感悟 与空间角有关的翻折问题的解法要找 准翻折前后的图形中的不变量及变化的量， 再结合向量知识求解相关问题. 第一章空间向量与立体几何。 B变式训练④ 如图1-2-21，在四棱锥S-ABCD中，底 面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD=AD=a, 点E是SD上的点，且DE=Aa(0<≤1) (1)求证：对任意的入∈(0,1]，都有 AC⊥BE; (2)若二面角C-AED的大小为60°， 求入的值. B 图1-2-21 数学文化 例在《九章算术》中， 将四个面都为直角三角形的四 面体称为鳖臑，如图1-2-22， 在鳖嚅PABC中，PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,且PA=AB= 图1-2-22 BC=1,则二面角A-PC-B的大小是 分析建立空间直角坐标系，利用空 间向量法求二面角的大小 学 25N 高中数学选择性必修第一册人教B版 1621 则sin止h三 21 -8V105 PD 2V5 105 B 1 图1 图2 例题答图 1.2.4二面角 要点精析 例1解：如图所示，取AC的中点D, 连接OD,PD. PO⊥底面，PO⊥AC, OA=0C,D为AC的中点， ..OD⊥AC. 又.P0∩OD=0 例1答图 .AC⊥平面POD,则AC⊥PD ·.∠PDO为二面角PAC-B的平面角. ,△PAB是边长为2的正三角形，CO⊥AB .P0=V3,0A=0C=1,OD=V2 2 则mVY要- 2 ∴sinPDO=P%-V3=V42 PD 14 7 2 ·二面角PAC-B的正弦值为V42 7 变式训练1 弓【解析】如图， 过A作AO⊥BD,交BD于O, 连接PO,矩形ABCD的两边 O AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD. 变式训练1答图 且M=号，BD=V34=5,m1BD,∠m1是二面 角A-BD-P的平面角.：)BDA0=号ABAD,A0= n人m1-得是号三面角4 4 AB·AD=12 1 BD 5 BDP的正切值为号 例2(1)证明：·四边形ACCA1和四边形BDDB1均 30 为矩形，.CC⊥AC,DD1⊥BD. 又CC1∥DD1∥00，∴.001⊥AC,001⊥BD. .AC∩BD=O,.OO⊥底面ABCD (2)解：四棱柱的所有 棱长都相等，.四边形ABCD 为菱形，AC⊥BD.又O,0⊥ 底面ABCD,.0B,OC,OO 两两垂直.如图所示，以O为 原点，OB,0C,O0所在直 B 线分别为x轴、y轴、z轴，建 例2答图 立空间直角坐标系 设棱长为2，∠CBA=60°，.OB=V3，,OC=1, .0(0,0,0),B(V3,0,2),C(0,1,2), 平面BDDB的一个法向量为=(0,1，O). 设平面OCB的法向量为=(x,y,z), 则由m⊥0B,m10C,得V3x+2z=0,y+2z=-0, 取z=-1V3,则=2，y=2V3, ∴m=(2,2V3,-V3), m加，m品-语2得 由图形可知二面角COB-D的大小为锐角，∴.二面 角Cr0BD的余弦值为2V面 19 变式训练2解：(I)如图，连接BD.PD⊥平面 ABCD,AMC平面ABCD,AM⊥PD,又由题知， AM⊥PB,且PB∩PD=P,.AM⊥平面PDB,BDC平面 PDB,.AM⊥BD 由题知：PD⊥平面ABCD, 且矩形ABCD中，AD⊥DC,所 以AD,PD,DC两两垂直.以D 为坐标原点，DA,DC,DP所 在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系.设BC= 2x,则D(0,0,0),A(2x,0, 0),B(2x,1,0),M(x,1,0), 变式训练2答图 所以AM=(-x,1,0),DB=(2x,1,0),AM1DB, (←x,1,0)(2x,10)=0,解得x=2（负值舍 2 去)，以BC=V2 (2)由(1)知，A(V2,0,0),B(V2,1,0), c0,1,0),P0.0,1),MY,1,0,则A 2 2,1.0,m2,1,-,=(-v, 0,0),PB=(V2,1,-1).设1=(x1,1,a)为平面 PAM的法向量，则 mAM=0 {-2x+y=0, ，即 2 取 nPM-0 1V2 21+y=0, x=2,得y=V2,a=2V2,n=(2,V2,2V2), n2-BC-0, 设2=(2,2,2)为平面PBC的法向量，则 2PB=0, -V2x=0, 即 令2=1，得2=0,2=1，∴2= V2+y2-z0, (0,1,1),设二面角A-PM-B的大小为0，则1cos0= mnl-l0+V2+2V2l_3y4,所以sin0=V1-cos0 Inilln V14xV2 14 =Y深，即二面角A-M-B的正孩值为Y四 14 变式训练3解：以A为坐标原点 建立空间直角坐标系，如图所示， 设此棱柱的棱长为1，则A(0,0,B, 0.B1,0.10.E1,7,0 D0.1,1,F分，1,0，a正 1,,0,AB=(1,0,1,AF 变式训练3答图 =3,1,0,AD=0,1,1) 设平面ABE的法向量为n=(x,y,a1), x1+a1=0, 0·即-0， 令y=2,则x=-1,=1,n=(-1,2,1). 设平面ADF的法向量为n=(2,2,2), y2+z2=0, 则aaD-0,即 令x2=2, nAF=0. 26+2=0, 则y=-1,a2=1..n2=(2,-1,1). ∴.平面AB,E与平面AD,F所成锐二面角的余弦值为 n2l-I(-1,2,1):(2,-1,1)1 n,llnV(-1)+22+平xV22+(-1)+ I(-1)x2+2×(-1)+1x1l1 V/6×V6 -2 例3(1)证明：如图所示，DE⊥EC,DE⊥AE, AE∩EC=E,∴.DE⊥平面ABCE. 参考答案。 又.BCC平面ABCE,.DE⊥BC. 又.BC⊥EC,DE∩EC=E, BC⊥平面DEC. (2)解：如图所示，以点E为坐 标原点，分别以EA,EC,ED所在直 线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 例3答图 标系E-xz, E(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0) D(0,02),A(2,0,0),F(1,0,1) 设平面EFB的法向量=(，y1,), 由㎡=1,0.10.®=(2,2,0.2x+2=0, x+z=0, .取x=1,得平面EFB的一个法向量n=(1,-1, -1) 设平面BCF的一个法向量为n=(2,y2,2), 由CF=(1,-2,1),CB=(2,0,0), x2=0, x2-2y+a=0, .取y=1,得平面BCF的一个法向量为n=(0,1,2). 设二面角CBFE的大小为a, 则cos=lm:以=-1-2引=5 Inillnal V3xV5 5 变式训练4解：(1)由底面是正方形，∴AC⊥BD,得 SD⊥平面ABCD,BD是BE在平面ABCD上的射影， 由三垂线定理得AC1BE. (2).SD⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,.SD⊥ CD.又底面为正方形，.CD⊥AD.又SD∩AD=D, .CD⊥平面SAD.过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F, 连接CF(图略)，则CF⊥AE.故∠CFD是二面角C- AE-D的平面角，即∠CFD=60°. 在Rt△AED中，AD=,DE=Aa,AE=aVA+I, 于是DF=AD:DE=,A0,在R△CDF中，tan60= AE V+T 0-VI=V了，A=Y2 入 2 数学文化 60°【解析】建立如图所示的 空间直角坐标系，PA=AB=BC=1, A(0,0,0),C(0,V2,0), B.竖，0.P0,0 1),CP=(0,-V2,1),BC= 例题答图 31 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 Y2,Y2,0,则平面Ac 的一个法向量可以为n=(1,0,0).设平面BPC的法向 量为m=(x,y,z), 则mC亦-0， -V2y+=0, 令y=1,则 m-BC-0, 0. 2 z=V2,x=1,m=(1,1,V2). 设二面角A-PC-B的大小为0，则cos0=m Inliml= 1xV1414(V2元F70≤0≤m,0=60 .1 1.2.5空间中的距离 要点精析 例1解：(1)建立如图所示 的空间直角坐标系，则A(1, 0,0),F(1,1,0),C(0, 0,1). .CM=BN=a (0<a<V2 ) 且四边形ABCD,ABEF为正方形， MY2a,0,1-Y2a. 例1答图 2 2 N V2a,V2a.o). 2 2 -0,Va.Vo-1). :IMNI=Va-V2 a+1 (0<a<V2). MW=Va2-V2a+1(0<a<V2) 2)由D知w=V25,当a Y时，MN-Y孚，即当a=Y子时，MN的长最小， 2 2 最小值为V② 2 变式训练1解：AC⊥AB,BD LAB, ·.CAAB-0,BD.AB=0. 又：二面角aAB-B的平面角为120°， .(CA,BD)=60°， ..CD-ICD P=(CA +AB +BD -CAAB+BD42(CAAB+CA BD+BD.AB) =3x6+2x62xc0s60°=144」 ∴.CD=12. 例2解：以点B为原点，建立如图所示的空间直角坐 32 标系 则A(4,0,1),C(0,3,1), AC=(-4,3,0). 设E满足AE=入A1C, 且BE⊥AC1, 例2答图 则BE=BA+4E=(4,0,1)+(-4,3,0) =(4-4入，3入，1).又BE1AC, (44h,3A,1(-4,3,0-0.A8 B正44票3x碧， iV+尝+-号. 点B到直线AC的距离为3 变式训练2C【解析】过P作 PE⊥B交B于E,在B内过点E作 EF⊥l,则∠PFE=60°，PE=V3, .P℉=2.同理可求平面B内的点Q 到棱1的距离为4. 变式训练2答图 当P,Q的连线与棱1垂直时，P,Q两点之间的距 离d最短，所以P=4+16-2×4x2×cos60°=12，.d=2V3. 故选C. 例3解：方法一：设点A到平面ABD的距离为h,则 kwxY经xV2a3i 4 6 VVV3o 3a, .点A到平面ABD的距离为V3 a 方法二：如图所示，建立空间 直角坐标系B1-xz,则A:(a, 0,0),A(a,0,a),D(a,a,a), B(0,0,a), 则BD=(a,a,0),AD=(0, a,a),AB=(-a,0,0). 例3答图 设平面ABD的一个法向量n=(x,y,z), -D0.即ao-0,.中D. 则 n-A,d-0,agy+=0,“gy+a-0. 令y=-1,则x=x=1,n=(1,-1,1). ABn=(-a,0,0)(1,-1,1)=-a.