专题06 圆 7大高频考点（期中真题汇编，河南专用人教版）九年级数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 ☆7大高频烤点概览 考点01利用垂径定理求值 考点02孤、弦、圆心角 考点03圆周角 考点04点和圆、直线和圆的位置关系 考点05正多边形和圆 考点06求弧长和和扇形缅积 考点07证明媒直线是圆的切线 目目 考点01 利用垂径定理求值 1.(24-25九上河南漯河召陵区·期中)唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航 行榄式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长12m,轮子的吃水深度CD为2m,则该浆轮 船的轮子半径为() 水面 D B A.6m B.8m C.10m D.12m 2.(24-25九上河南安阳安阳县等3地期中)如图，AB是⊙0的弦，若AB=8,⊙0的直径是10，则点 O到直线AB的距离是 3.(24-25九上河南许昌禹州期中如图，倩倩一家开车经过一道路环岛时，发现道路的一段圆弧AB,己 知环岛的中心点O是这段圆弧所在圆的圆心.若倩倩位于AB上的点C处，且OC⊥AB,垂足为点M, AB=12m,MC=2m,则倩倩到环岛中心点0的距离为m. 1/17 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 M B 4.(24-25九上河南许昌第一中学期中)如图，⊙0经过A,B,C三点，AB=AC,连接A0. (1)求证：A0⊥BC; (2)BC=48,⊙0的半径为25，求AB的长. 5.(24-25九上河南驻马店平舆县期中如图，AB是o0的直径，弦CD和AB相交于点P,且∠APC= 45°，0Q⊥CD,Q是垂足： A D (1)求证：PC-PD=2OQ; (2)若o0的半径为5，求PC2+PD2的值。 6.(24-25九上河南三门峡灵宝期中)如图，AB是⊙0的直径，弦CD交AB于E点，BE=1,AE=5, ∠AEC=30°，则CD的长为() B E A A.4 B.4V2 C.6 D.62 7.(2425九上河南安阳北关区安阳第七中学期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家 2/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心0为圆心的 圆，如图2己知圆心O在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，圆的半径长为4米.若点C为运行轨 道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是()米， .O 水面 图1 图2 A.4-V万 B.3 C.1 D.3-V万 8.(24-25九上河南商丘民权县期中)一辆装满货物的卡车，高2.7米，宽2米，要开进厂门形状如图所示的 某工厂（厂门上方为半圆形拱门），问这辆卡车能否通过厂门？说明你的理由. 2.2m 2.5m 9.(2425九上河南周口鹿邑县·期中)问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）·假定在水流量稳定的情况 下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒. 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O,如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当 t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠A0M=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处， M 图① 图② 问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数； (2)求筒车水面AC的宽度； 3/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离。（结果精确到01米）（参考数据V2≈1.414， V5≈1.732) 目目 考点02 弧、弦、圆心角 10.(2425九上河南商丘虞城县·期中)如图，AB是⊙0的直径，AD=CD=BC,则∠B0C的度数为() D ⊙ A.45° B.50 C.55o D.60 11.(24-25九上河南郑州期中)如图，在⊙0中，MN是⊙0的直径，MN=10cm,AM=AB=BN,P 是MN上一动点，AP+BP的最小值是 cm. B M P O 12.(24-25九上·河南驻马店西平县第五初级中学期中)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E,则弧BD的度数 为 B 目目 考点03 圆周角 13.(24-25九上·河南商丘虞城县.期中)下列圆中既有圆心角又有圆周角的是() 4/17 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A. B D 14.(2425九上河南濮阳油田第十八中学·期中)如图，四边形ABCD内接于⊙0，己知∠ADC=140°， 则∠A0C的大小是() D B A.80 B.70 C.600 D.40° 15.(24-25九上河南濮阳外国语初中期中)如图，AB是⊙0的一条弦，OD1AB,垂足为C,交⊙0于 点D,点E在⊙O上. (1)若∠A0D=60·,求∠DEB的度数； (2)在(1)的条件下，⊙0的半径为2，求AB的长. 16.(24-25九上·河南商丘民权县双塔镇初级中学期中)如图，己知AB为⊙O的直径，CD是弦，且 AB⊥CD于点E.连接AC、OC、BC (I)求证：∠CAO=∠BCD: (2)若BE=4,CD=10,求⊙0的直径. 17.(24-25九上河南商丘民权县双塔镇初级中学期中)如图，点A,B是⊙0上两点，连接AB,OC⊥AB 5/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交，于点C,垂足为点D,优孤AEB上一点E,连接CE,BE,己知∠AOC=50°，则∠CEB的大小为() A.25° B.30o C.50° D.40° 18.(24-25九上河南商丘民权县·期中)如图，在⊙0中，弦AB‖CD,若∠ABC=48°，则∠B0D=() D B A.24 B.48o C.80o D.96 19.(24-25九上河南商丘虞城县期中)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连 接AE,OD,若AEOD,且AE=OD,求∠BCD的度数. H 20.(24-25九上河南安阳安阳县等3地期中)如图，0A,0B,0C是⊙0的三条半径，连接AB,AC, BC,且∠BOC=2∠AOB. B (1)求证：∠BAC=2∠ACB; (2)若BC=4,0C=2.5,求AB的长 21.(24-25九上河南驻马店平舆县期中)如图，0D是⊙0的半径，弦AB⊥0D于点E,若∠0=60°， 则∠A+∠C的值是() 6/17 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D E C A.400 B.45° C.50o D.60 22.(2425九上河南驻马店汝南县期中)如图，在⊙0中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的平分线与 ⊙0交于点D,若∠BAD=35°，则∠ADC= B A 23.如图，BC是⊙O的直径，点A,D在⊙O上，若∠ADC=30°，则∠ACB的度数为 A B D 24.(24-25九上河南商丘虞城县期中)如图，△ABC内接于⊙0，AB=BC,∠ABC=120°，AD为 ⊙0的直径，AD=16,那么AB的值为() B A.8 B.45 C.65 D.4 25.(24-25九上河南三门峡期中如图，AB,AC分别是⊙0的直径和弦，0D⊥AC于点D,连接BD, BC,且BD=5,BC=4,则△ABD的面积为() 7/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4 B.6 C.8 D.12 26.(2425九上河南新乡河南师范大学附属中学联考期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90·. D (1)作图：请用无刻度直尺和圆规作⊙O,使得⊙0O经过点A、B、D三点： (2)判断⊙0是否经过点C?请说明理由. 27.如图，AB是⊙O的直径，C是D的中点，CE⊥AB于点E,BD交CE于点F. (I)求证：CF=BF. (2)若CD=3,AC=4,求⊙0的半径和CE的长 28.(24-25九上河南商丘柘城县期中)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠D=90°，若 AD=CD=22,AB=2,则弦BC的长为() B .O D A.33 B.3V2 c.2y3 D.2V2 29.(24-25九上河南许昌禹州期中)如图，四边形ABCD内接于⊙O,过点B作BE‖AD,交CD于点E.若 ∠ABC=130°，则∠BEC=() 8/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D O。 由 B A.30o B.40 C.50° D.60° 目目 考点04 点和圆、直线和圆的位置关系 30.(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)已知圆外一点到圆的最大距离为9cm,最小距离为3cm, 则圆的半径为() A.10cm或5cmB.6cm或3cm C.3cm D.5cm 31.(2425九上河南许昌建安区第三初级中学模拟)如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交 弧AB于点C,交弦AB于点D. C ◇ B D (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：AB=16,CD=4.求(1)中所作圆的半径 32.(2425九上河南商丘民权县期中)如图，O为△ABC的内切圆圆心，AC=10,AB=8,BC=11, 点D,E分别为BC,AC上的点，且DE为圆O的切线，则△CDE的周长为() D A.13 B.10 C.11 D.8 33.(24-25九上河南安阳林州期中)如图，一圆内切于四边形ABCD,且AB=10,CD=8,则四边形的 周长为」 9/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 34.(24-25九上河南郑州期中)如图，⊙0的直径AB=10,∠ABC=30°，BC交⊙0于P,P是BC的 中点. (1)求BC的长； (2)过点P作PQ⊥AC,垂足为Q,求证：直线PQ是⊙O的切线， 35.(24-25九上·河南濮阳第三中学期中)如图点A、B、D、E在⊙0上，弦AE、BD的延长线相交于点C ·若AB是⊙O的直径，D是BC的中点，过D作AC的垂线，垂足为F B (1)求证：DF是圆O的切线； (2)若AE:A0=6:5,DF=2,求圆O的直径. F D C:D是BC的中点，而OA=OB, 10/17 专题06 圆 7大高频考点概览 考点01 利用垂径定理求值 考点02 弧、弦、圆心角 考点03 圆周角 考点04 点和圆、直线和圆的位置关系 考点05 正多边形和圆 考点06 求弧长和和扇形面积 考点07 证明某直线是圆的切线 地 城 考点01 利用垂径定理求值 1．(24-25九上·河南漯河召陵区·期中)唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行榄式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件． 设半径为，则，由垂径定理得，然后利用勾股定理可求出答案 【详解】解：如图，连接， 设半径为 ，则 ， 在 中， ， ∴ 解得 故选：C． 2．(24-25九上·河南安阳安阳县等3地·期中)如图，是的弦，若，的直径是10，则点到直线的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理．连接，作于C，根据题意可得，再运用勾股定理即可完成解答． 【详解】解：如图：连接，作于C，如图， ∵， ∴， 在中，， 即点O到弦的距离为3． 故答案：3． 3．(24-25九上·河南许昌禹州·期中)如图，倩倩一家开车经过一道路环岛时，发现道路的一段圆弧，已知环岛的中心点是这段圆弧所在圆的圆心．若倩倩位于上的点处，且，垂足为点，，，则倩倩到环岛中心点的距离为 m． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， 设的半径为，则， ， ， ，， ， 在中，，即， 解得， 即的半径为， 故答案为：10． 4．(24-25九上·河南许昌第一中学·期中)如图，经过A，B，C三点，，连接． (1)求证：； (2)，的半径为25，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为40 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理． （1）证得，得到，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得； （2）由（1）得，故，根据垂径定理得，由勾股定理得，再由勾股定理可得的长． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∴在和， ∴， ， ∵， ； （2）解：如图，延长交于点D， 由（1）得， ∴， 又∵，， ∴， ∵的半径为25， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 即的长为40． 5．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期中)如图，是⊙的直径，弦和相交于点，且 是垂足． (1)求证：； (2)若⊙的半径为5，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)50 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用； （1）先证明，是等腰直角三角形，可得，再进一步利用线段的和差关系可得结论； （2）由，再结合勾股定理可得答案； 【详解】（1）证明：是垂足， （垂径定理）． 又， ∴是等腰直角三角形， ， ； （2）解：由（1）知，， ． 连接， 则由， ． 6．(24-25九上·河南三门峡灵宝·期中)如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键． 过点O作，连接，根据已知条件求得，，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理即可得出答案． 【详解】解：过点O作，连接， ， ∵是的直径，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中 ， ∵， ∴， 故选B． 7．(24-25九上·河南安阳北关区安阳第七中学·期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为米，圆的半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ）米． A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．连接交于，根据圆的性质和垂径定理可知，，根据勾股定理求得的长，由即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意和圆的性质知点为的中点，连接交于，则， ， 在中，，， ， ， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选：A． 8．(24-25九上·河南商丘民权县·期中)一辆装满货物的卡车，高米，宽米，要开进厂门形状如图所示的某工厂（厂门上方为半圆形拱门），问这辆卡车能否通过厂门？说明你的理由． 【答案】答：卡车能通过厂门，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理，进行解答，即可． 【详解】解：卡车能通过厂门，理由如下： 如图，，为卡车的宽度，过点，作的垂线交半圆于，，过点作，为垂足， ∴，， 由作法可得，，， ∴， ∴， ∵卡车高， ∴， ∴卡车能通过厂门． 9．(24-25九上·河南周口鹿邑县·期中)问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求筒车水面的宽度； (3)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）（参考数据，） 【答案】(1) (2)2米 (3)米 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质： （1）根据题意可得每秒转过，即可求解； （2）根据垂径定理可得，从而得到是等边三角形，即可求解； （3）过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D，根据直角三角形的性质可得米，从而得到米，在中，可得，从而得到米，即可求解． 【详解】（1）解：∵筒车每旋转一周用时120秒． ∴每秒转过， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴是等边三角形， 米． （3）解：如图，过点B、点A分别作的垂线，垂足分别为点E、D， 在中，米， ∴米， ∴米， 在中，米， ∴， ， ∴， ∴米， ∴米， 即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为米． 地 城 考点02 弧、弦、圆心角 10．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)如图，是的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，再结合平角定义求解，即可解题． 【详解】解： ，是的直径， ， 故选：D． 11．(24-25九上·河南郑州·期中)如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，垂径定理，圆心角与弧之间的关系，作点A关于的对称点C，连接，则，可证明点C在上，再证明，得到三点共线，根据可得当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小，则的最小值为． 【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点C，连接， 由轴对称的性质可得垂直平分， ∴， ∵是的直径， ∴点C在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， 故答案为：10； 12．(24-25九上·河南驻马店西平县第五初级中学·期中)如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则弧的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．先利用互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的度数为． 故答案为：． 地 城 考点03 圆周角 13．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 14．(24-25九上·河南濮阳油田第十八中学·期中)如图，四边形内接于，已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键． 根据圆内接四边形的性质求得，利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴ ∴． 故选：A． 15．(24-25九上·河南濮阳外国语初中·期中)如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键： （1）三线合一，得到，圆周角定理，得到，即可得出结果； （2）根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴平分， ∴， ∴； （2）∵的半径为2， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 16．(24-25九上·河南商丘民权县双塔镇初级中学·期中)如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据垂径定理和圆的性质，等弧所对的圆周角相等，即可求证． （2）根据垂径定理求出，设的半径为R，则，根据勾股定理及圆的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵为的直径，是弦，且于点E， ∴， ∴． （2）解：设的半径为，则， ，， ， 在中，由勾股定理可得， ， 解得， 的直径为． 17．(24-25九上·河南商丘民权县双塔镇初级中学·期中)如图，点A，B是上两点，连接，交，于点，垂足为点，优弧上一点，连接，已知，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，根据垂径定理可得，由圆周角定理可得即可求解． 【详解】解：∵交于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 18．(24-25九上·河南商丘民权县·期中)如图，在中，弦，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，由平行线得出是解题的关键．由平行线的性质得，再根据圆周角等理得出即可． 【详解】解：， ∴， 在中，， 故选：D． 19．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，，若，且，求的度数． 【答案】． 【分析】连接、，可得四边形是平行四边形，根据，可得是菱形，进而得到为等边三角形，结合直径所对圆周角是直角，可以求出，结合圆内接四边形的性质即可求出． 【详解】解：如图，连接、， ∵，且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形， ∴，， 即为等边三角形， ∴，， ∵是的直径， ∴， ， ， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形、菱形、等边三角形的判定及性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，准确作出辅助线是解决本题的关键． 20．(24-25九上·河南安阳安阳县等3地·期中)如图，，，是的三条半径，连接，，，且 ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，熟知圆周角定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，，再由已知条件即可证明结论； （2）如图，过点作半径于点，连接，由垂径定理得到，，进而得到，则．利用勾股定理求出，得到，再利用勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：由圆周角定理得：，． ， ， ； （2）解：过点作半径于点，连接， ，， ， ， 在中，，， ， ， 在中， ， ． 21．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期中)如图，是的半径，弦于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，由垂径定理推出，由圆周角定理得到，由直角三角形的性质求出，即得到的值．解题的关键是由圆周角定理得到，由垂径定理得到． 【详解】解：∵弦于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 22．(24-25九上·河南驻马店汝南县·期中)如图，在中，为直径，C为圆上一点，的平分线与交于点D，若，则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角等于90度可得，根据同弧所对的圆周角相等，可得 ，由此可解． 【详解】解： ，平分， ， 中，为直径， ， ， ， 故答案为：20． 23．如图，是的直径，点A，D在上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质等等，先由直径所对的圆周角是直角得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 24．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴， 故选：A． 25．(24-25九上·河南三门峡·期中)如图，，分别是的直径和弦，于点，连接，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； 先利用勾股定理求出，再根据垂径定理得出，即可解答． 【详解】解： 是的直径， ， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， ， 故选：B 26．(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学联考·期中)如图，在四边形中，． (1)作图：请用无刻度直尺和圆规作，使得经过点A、B、D三点； (2)判断是否经过点C?请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)经过点C，理由见解析 【分析】本题考查尺规作图—作圆，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，作的中垂线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可； （2）连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：经过点C，理由如下：连接， ，点O为的中点， ， 点C在上； 27．如图，是的直径，C是的中点，于点E，交于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径和的长． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，弧，弦，圆周角之间的关系，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据直径所对圆周角是直角，余角的性质，弧，弦，圆周角的关系，证明即可． （2）根据（1）的结论，利用勾股定理，三角形面积不同表示法计算即可． 【详解】（1） 是的直径， ， ， ， ， ， C是的中点， ， ， ， ． （2）由（1）知，， ， ， ， 的半径为， ， ． 28．(24-25九上·河南商丘柘城县·期中)如图，四边形是的内接四边形，，若，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．连接，根据，可求，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是直角三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴，即， ∴是直角三角形， ∵， ∴， 故选：C． 29．(24-25九上·河南许昌禹州·期中)如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，平行线的性质，关键是由圆内接四边形的性质推出．由圆内接四边形的性质推出，求出，由平行线的性质得到． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， ． 故选：C． 地 城 考点04 点和圆、直线和圆的位置关系 30．(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)已知圆外一点到圆的最大距离为，最小距离为，则圆的半径为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差等于圆的直径是解题关键．将最大距离与最小距离作差，进而求解即可． 【详解】解：圆外一点到圆的最大距离为，最小距离为， 圆的半径为， 故选：C． 31．(24-25九上·河南许昌建安区第三初级中学·模拟)如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，．求（1）中所作圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)此残片所在圆的半径为10． 【分析】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键． （1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心； （2）连接，设半径为x，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径． 【详解】（1）解：如图，点O为所求的圆心． （2）解：连接，    设半径为x，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为10． 32．(24-25九上·河南商丘民权县·期中)如图，O为的内切圆圆心，，，，点D，E分别为，上的点，且为圆O的切线，则的周长为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查三角形的切线长定理，设圆与、、、分别相切于点、、、，连接、、、，根据切线长定理得到，，，，，结合，，求解即可得到答案； 【详解】解：设圆与、、、分别相切于点、、、，连接、、、， ∵O为的内切圆圆心，为圆O的切线， ∴，，，，， ∵，，， ∴设，则，， ∴， ∴， 故选：A． 33．(24-25九上·河南安阳林州·期中)如图，一圆内切于四边形，且，，则四边形的周长为 ．    【答案】36 【分析】本题考查了切线长定理；如图，设与相切于点E，与相切于点F，与相切于点G，与相切于点H，根据切线长定理得到，，进而得到，由此即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵内切于四边形， 如图，设与相切于点E，与相切于点F，与相切于点G，与相切于点H，    ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 即四边形的周长为， 故答案为：． 34．(24-25九上·河南郑州·期中)如图，的直径交于P，P是的中点． (1)求的长； (2)过点作，垂足为，求证：直线是的切线． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）连接，由直径可得，进而得出，再结合线段中点，即可求出的长； （2）连接，由垂直平分线的性质，得到，进而得出，结合垂线的定义，得出，由等边对等角的性质，得到，从而得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，连接， 是直径， ， ， ， ， P是的中点， ； （2）证明：如图，连接， ，P是的中点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 直线是的切线． 【点睛】本题考查了圆周角，勾股定理，垂直平分线的判定风信子，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，掌握圆的相关性质是解题关键． 35．(24-25九上·河南濮阳第三中学·期中)如图点A、B、D、E在上，弦、的延长线相交于点C．若是的直径，D是的中点，过D作的垂线，垂足为F． (1)求证：是圆O的切线； (2)若，，求圆O的直径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）连结，如图，先证明为的中位线，根据三角形中位线性质得，由于，则，于是根据切线的判定定理得是的切线； （2）作于H，如图，易得四边形为矩形，得到，设，则，根据垂径定理得到，在中利用勾股定理得到，则，解得  ，然后计算即可． 【详解】（1）证明：连结，如图， ∵是的中点，而， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴是圆的切线； （2）解：作于，如图，则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴，解得， ∴，即的直径为． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理，三角形中位线的性质． 36．(24-25九上·河南三门峡灵宝·期中)是的切线，为切点，连接交圆于点，其延长线交圆于点，，则点到的切线长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆的切线的性质，勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．首先连接，根据切线的定义可知，因为，所以，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如下图所示，连接， 是的切线， ， ， ，， ． 故答案为： ． 37．(24-25九上·河南三门峡陕州区·期中)如图，线段经过圆心O，交于点A、C，，直线与切于点D，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查圆的切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理，连接，根据切线的性质得到，进而求出，再根据圆周角定理求出，最后根据三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如下图所示，连接， ∵切于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．(24-25九上·河南漯河郾城区·期中)在中，以为直径作，与交于点，连接，的平分线交于点，交于，连接，若，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）由的平分线交于点，得，进而得到，即，根据的等边对等角得到证明结论； （2）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，即可求出，然后利用勾股定理求出半径长． 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点， ∴， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为直径， ∴为切线； （2）解：连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴在中 ∴ 半径为． 【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 39．(24-25九上·河南濮阳油田第十八中学·期中)如图是的直径，是上异侧的两点，点在的延长线上，，是的切线，，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据切线性质结合题意可以判定出为等边三角形，得到，进而得到结果； （2）通过证明，得到，进而得出结论． 【详解】（1）解：是的切线 ， ， 为等边三角形 ， （2）证明：如图，连接， 是的直径， ，即 ， 由（1）知， 在和中 ， ， 是的半径， 是的切线． 地 城 考点05 正多边形和圆 40．(24-25九上·河南漯河第二实验中学·期中)已知：如图，四边形是的内接正方形，点P是上不同于点B、C的任意一点，则的度数是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当点在优弧上时（记为点）；②当点在劣弧上时（记为点）；分别利用圆周角定理和圆内接四边形的性质定理即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当点在优弧上时（记为点）， 如图，连接、， 四边形是的内接正方形， ， 根据圆周角定理，可得： ， ②当点在劣弧上时（记为点）， 如图， 则， 的度数是或， 故选：． 41．(24-25九上·河南周口扶沟县·期中)如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质，旋转的性质以及旋转引起的坐标变化规律问题，掌握正多边形各边相等，各角相等的性质，熟练掌握旋转的性质，找出规律是解题的关键．根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2025次后顶点的坐标即可． 【详解】解：连接，，如图，    在正六边形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ， 在中，，， ， ， ， 点的坐标为， 将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转， 次一个循环， ， 经过2025次旋转后，顶点的坐标与第一次旋转后得到的的坐标相同， 过点作轴于P， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴ ， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， 经过2025次旋转后，顶点的坐标为， 故选：A． 42．(24-25九上·河南新乡红旗区新乡第一中学·期中)正六边形的周长为6，则它的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的计算，把正多边形的面积转化为包含中心角的三角形的面积计算是解题的关键． 利用正多边形与圆的关系，把图形的面积转化中心角三角形的面积和计算即可． 【详解】解：如图，设正六边形的一边为，外接圆的圆心为O，作，垂足为C， ∵正六边形的周长为6， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴的面积为， ∴正六边形的面积为， 故选B． 43．(2024·山东省聊城市·模拟)如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，根据题意求出中心角的度数是解题的关键．根据求出，继而求出，再根据求出的度数，则由边数中心角得解． 【详解】解：连接，在优弧上取点D，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 44．(2023·湖北省武汉市·模拟)如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，经过第2026次旋转后，顶点D在的位置，先求出点的坐标，再证明即可． 【详解】解：连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，    在正六边形中，，， ， ， 将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转， ，即8次旋转一周， 余2， ， 故经过第2026次旋转后，顶点D在的位置， ， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 地 城 考点06 求弧长和扇形面积 45．(24-25九上·河南商丘民权县·期中)如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的性质，圆锥的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，构造直角三角形是解题的关键． 先求出圆锥的底面周长，再求出圆锥的底面半径，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形， 剩下的扇形的圆心角为， 圆锥的底面周长为 ， 圆锥的底面半径为， 圆锥的高为， 故答案为： ． 46．(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)一段公路的转弯处是一段圆弧（），数据如图，则的展直长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了弧长计算，直接利用弧长公式计算得出答案，正确掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：的展直长度为， 故选：． 47．(24-25九上·河南漯河实验中学·期中)如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键． 利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧的长与的长度和，分别进行计算即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、， 由题意得，， ∴， ∴的长， ∴时为最小， ∴阴影部分周长的最小值为． 故答案为：． 48．(2023·河南省新乡市·二模)如图，在中，，，，以点为圆心，为半径画弧，分别与、交于点、，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．连接，首先证明是等边三角形，得出，，再证明，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， ， 是等边三角形， ，， ∴， ∴， ， ∴， ． 故答案为：． 地 城 考点07 证明某直线是圆的切线 49．(24-25九上·河南许昌禹州·期中)如图所示，为半圆的直径，点C，F在半圆上，过点的直线与的延长线相交于点，与的延长线相交于点，与相交于点，，． (1)求证：为半圆的切线； (2)若，，求点到的距离． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，先证明，得，即，进而根据切线的判定定理即可得证． （2）连接，过点C作于点H，由，得．由（1）知，，在中，．进而利用三角形的面积公式即可得解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ． 而与为对顶角， ， ∴． ， ． ， ． ， ，即． ∵点在半圆上， 为半圆的切线． （2）解：连接，过点C作于点H， ， ， ． 由（1）知，，在中，． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等边对等角，等角的余角相等，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 50．(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程． 已知：如图，及圆外一点P． 求作：过点P作的一条切线． 作法：①连接；②作的垂直平分线，交于点A；③以A为圆心，的长为半径作弧，交于点B；④作直线． 即直线为所求作的一条切线． 根据上述尺规作图的过程，回答以下问题： (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)求证：直线为所求作的一条切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作圆的切线，切线的判定，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理． （1）根据要求作图即可； （2）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据是的半径，且，得出为所求作的一条切线． 【详解】（1）解：如图，补全图形： （2）证明：连接， ∵，且为的半径， ∴为的直径， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线为的切线． 51．(24-25九上·河南商丘柘城县·期中)如图，等腰内接于，，直径交于点E，作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握切线的判定定理与性质定理是解此题的关键． （1）如图，连接，根据圆周角定理得到，，进而得到，据此即可得解； （2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，，据此即可得解； 【详解】（1）如图，连接，   ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴，   ∴， ∴，    ∴，   ∵是的直径， ∴是的切线 （2）∵，    ∴，    ∵，   ∴， 设，则，    ∴， ∵，    ∴x，    在中，， 即，   ∴，    即，   ∴， ∴， ∴． 52．(24-25九上·河南安阳北关区安阳第七中学·期中)已知，在中，，以点为圆心，为半径作圆，交于点． (1)请使用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图) (2)线段与（1）中的所作的垂直平分线相交于点，连接，求证：是的切线； (3)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用线段垂直平分线的基本作图的作法解答即可； （2）连接，利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质和同圆的半径相等的性质以及平角的定义得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （3）利用线段垂直平分线的性质得出 ，设，则，在中，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图 ①．分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，， ②作直线，交于点，则为线段的垂直平分线． （2）证明：连接，如图， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （3）为线段的垂直平分线， ， 设，则， 由（2）知：， 在中，， ， 解得：， 即． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，线段的垂直平分线的作法与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 53．(24-25九上·河南信阳平桥区·期中)阅读与思考 请阅读以下材料，并完成相应的任务． 《义务教育数学课程标准（2022版）》在尺规作图版块给出必学要求：会过圆外一个点作圆的切线． (1)下面是李明所在的小组“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，和外一点P． 求作：过点P的的切线． 作法一：①连结，作线段的中点M； ②以M为圆心，的长为半径作圆，交于点； ③作直线和． 直线即为所求作的切线． 请运用尺规作图在图1中补全图形，并完成直线PA即为所求作的切线的证明． 证明：连接， 由作法可知，为的直径， （________）（填推理的依据）， ， 点A在上， 直线是圆的切线（________）（填推理的依据）， 同理，直线也是圆的切线． (2)李明所在数学小组经过思考与探索，给出了另一种作法： 作法二：①如图2，连接，交于点B，作直径；②以点O为圆心，长为半径画弧，以点P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为过点P所求的其中一条切线．请你仿照李明的证明方法，说说直线即为所求作的切线的理由． 【答案】(1)补全图形见解析，直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理及其推论，切线的判定定理，辅助圆的构造思路，构造辅助线是解题的关键． （1）连接，以为直径构造辅助圆，与交于两点，作直线即可，连接，根据切线的判定定理即可证明是圆的切线； （2）先证是的中点，根据是等腰三角形，利用“三线合一”证明即可． 【详解】（1）解：如图所示， ， 证明：连接， 由作法可知，为的直径， （直径所对的圆周角是直角）， ， 点A在上， 直线是圆的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）， 同理，直线也是圆的切线． 故答案为：直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （2）证明：是的直径，点在上， ， ， ，即为的中点， 由作图可知，， ， 为的切线． 54．(24-25九上·河南濮阳华龙区濮阳油田实验学校等校·)阅读理解：对于题目“已知及圆外一点P，如何过点P作出的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点G，以点G为圆心，长为半径画弧交于M，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于B，C两点，分别以P，O为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求． (1)下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的作法都正确                    B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误            D．乙的作法正确，甲的作法错误 (2)请以甲的作图为例，直线若是的切线，请给与证明；若不是请说明理由． (3)如图，是的直径，且，点P为外一点，作出分别切于点A、C两点．与的延长线交于点D． ①当______时，四边形是正方形． ②当为等边三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)A (2)证明见解析 (3)①3② 【分析】（1）根据甲乙的作法判断即可得出结论． （2）对于甲的作法，连接，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确． （3）①当时，利用切线长定理，先证明四边形是菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证； ②连接，易得是含30度角的直角三角形，进行求解即可． 【详解】（1）解：甲和乙的作法都正确， 故选：A． 证明见小问（2）； （2）解：对于甲的作法： 连接 由作法得垂直平分， ∴， ∴点为以为直径的圆与的交点， ∴， ∴， ∴为的切线，所以甲的作法正确； 对于乙的作法： 由作法得，， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，所以乙的作法正确； （3）①当时，四边形是正方形，证明如下： ∵分别切于点A、C两点， ∴，， ∴， ∵是的直径，且， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； ②连接， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵为切线， ∴，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定和性质，正方形的判定，圆周角定理，切线长定理，等边三角形的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $