专题08 与圆有关的压轴题 3大高频考点（期中真题汇编，河南专用人教版）九年级数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08与圆有关的压轴题 ☆3大高频烤点概览 考点01利用圆的性质解题 考点02点和圆、直线和圆的位置关系 考点03孤长和扇形面积 目目 考点01 利用圆的性质解题 1.(24-25九上河南商丘虞城县期中)如图1是一个棒球，图2是其示意图.E是直径CD上一点，点C和 点E关于弦AB对称，AB与CD交于点F,若AF=2CF=4a,求⊙O的半径. B 图1 图2 2.(24-25九上河南周口鹿邑县·期中)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E,若∠ABC=30°， 0E=1,则0D长为() D A.1.5 B.5 c.23 D.2 3.(24-25九上河南许昌禹州期中)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上且不与点A,B重合，∠ABC的 平分线交⊙0于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为G,交⊙0于点E,连接CE交BD于点F,连接FG,求 证：FG=DE: 1/9 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B G 4.(24-25九上河南商丘虞城县期中)如图，⊙C过原点0，且与两坐标轴分别交于点A、B,点A的坐标为 (0,3),点M是第三象限内0B上一点，∠BM0=120°，则⊙0的直径为() y B M A.4 B.5 C.6 D.3V3 5.(24-25九上河南周口鹿邑县·期中)如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=一x一2与x轴、y轴分 别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙0上两动点，且CD=V2,点P为弦CD的中点.当C、D两点 在圆上运动时，△PAB面积的最大值是一，最小值是 州 6.(24-25九上河南开封金明中学期中)如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C=135。，AB⊥BD,若点 A(0,3),则圆的直径长为一 2/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y个 D C 7.(24-25九上河南漯河郾城区·期中)某市一大型地下横截面为圆形的排污管道突然爆裂，为了使人们的生 活不受影响，相关部门组织专业人员抢修.爆裂后的管道横截面如图所示，经测量得出管道内水面宽AB为 8米. E B (1)请利用尺规作图的方法找到管道横截面的圆心O;(保留作图痕迹，不写作法) (2)为了保证安全作业，经过紧急排污处理后，水面下降1米后的水面CD宽为6米，请求出此时水面的最大 深度 8.如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上异于A,B的一点，连接AC,BC.点P从点A出发， 沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B.图2是点P运动时，△PAB的面积y(cm②随时间x(S变 化的图象，则点D的横坐标为() y/cm2 o B O a 图1 图2 A.a+2 B.2 C.a+3 D.3 9.(24-25九上河南驻马店西平县第五初级中学·期中)在⊙0中，CD是直径，弦AB1CD,垂足为点E, 连结AC,AD. 3/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D (1)求证：∠C=∠BAD. (2)若∠C=30°，0C=3,求AD的长度。 10.(24-25九上·河南新乡封丘县·期中)综合与实践 【问题情境】 D B D 图1 图2 图3 如图1，在等边△ABC中，D为边BC上的一点，连接AD,再以AD为边作等边△ADE,连接CE.若等 边△ABC的周长为3V7+21,CD的长为7. 【初步探究】 (1)线段CE的长为 【深入探究】 (2)“智慧小组”将图1变为图2.如图2，△ABC为等腰三角形，AB=BC,D为边BC上的一点，以AD 为边作等腰△ADE,AD=DE.若∠ABC=∠ADE,试猜想∠ABC与∠ACE之间的数量关系，并证明. 【拓展探究】 (3)“联想小组”受“智慧小组”的启发，将图1变为图3.如图3，四边形ABCD是正方形，E是边BC上的 一点，连接DE,以DE为边作正方形DEFG,对角线EG与DF交于点O,连接CO.若 AB=16,C0=2W2,请直接写出正方形DEFG的面积. 4/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 点和圆、直线和圆的位置关系 11.(24-25九上·河南安阳安阳县等3地期中)下面是漯河某初中数学小组对于一道试题不同的解法. 试题：如图，△ABC为等边三角形，以BC为直径作⊙O,圆周交AC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足 为E.求证：DE是⊙O的切线. 亮亮 明明 佳佳连接OD,BD,先判断 连接OD,先分别计算 连接OD,先计算∠C0D或 BD与AC的位置关系，再求证 ∠ADE和∠CDO的度数， ∠CDO的度数..再根据 ∠ABD=∠CBD..,再根 再计算∠ODE的度数..… 平行线的判定以及性质求 据平行线的判定以及性质求 ∠0DE的度数.. ∠ODE的度数. B D 请你任选一个同学的思路，完成本题的证明 12.(24-25九上河南许昌禹州期中)如图，已知⊙0是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，⊙0与AC, BC,AB的切点分别为D,E,F,若AC=12,BC=5,则⊙0的半径为() A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 13.(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)如图，在Rt△ABC的斜边上取点E,以AE为直径作⊙0 ,⊙O切BC于点D,连接AD 5/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 B D (I)求证：AD平分∠BAC: (2)如果AE=6,DC=4,求CE的长。 14.(2425九上河南开封第十四中学期中)如图，线段AB经过圆心0，交⊙0于点A、C,∠B=30°，直 线BD与⊙O切于点D,则∠ADB的度数是 15.在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与 圆相交，另一边与圆相切的角；如图，直线J与⊙O相切于点I,HI是⊙O的一条弦，则∠H)就是弦切 角)，发现弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数相关.请根据这个思路完成以下作图和填空。 H (I)尺规作图：已知AB是⊙O的直径，延长AB,过点B作⊙O的切线MN;(M在点B左侧，N在点B 右侧.保留作图痕迹，不写作法) (2)如图C、D是圆上两点，在(I)的条件下，∠DBN为弦切角，求证：∠DBN=∠BCD. 4 证明：连接AD, :AB是⊙O的直径， ·∠ADB=① 6/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :MN是过点B的切线， ·② 即∠ABN=90°， ·∠DBN+∠ABD=90o :∠A+∠ABD=90° ·∠DBN=∠A 又：∠A和∠C是弧BD所对的圆周角 ·∠A=③ ÷∠DBN=∠C. 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角④它所夹弧所对的圆周角.（横线上填：“大于”或“等于”或“小 于”) 16.(24-25九上河南漯河郾城区期中)如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A,D,C,且与AB相切于 点A,则∠B的度数 17.(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学联考期中)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CA=CB=2,线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若 CD=1,则AE的最小值为 A B 18.(23-24九下·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中)如图，AB为⊙0的直径，AD,BC分别与 ⊙O相切于点A,B,CD经过⊙O上一点E,AD=DE,若AB=12,BC=4,则AD的长为一 7/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 目目 考点03 弧长和扇形面积 19.(24-25九上·河南安阳北关区安阳第七中学期中)如图△ABC三个顶点的坐标分别是 A(2,7),B(4,5),C(2,1).将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△A1B1C. ◆y 8 7 4---}--------- 6 5 4 3 2 1 -5-4-3-2-10 12345x (1)请在网格图中画出△A1B1C: (2)在(1)的条件下，求点B的路径弧BB1的长 (3)若⊙M是△A1B1C的外接圆，请直接写出点M的坐标 20.(2425九上河南商丘民权县期中)如图1，在△ABC中，AB=AC,O为线段AB上一点，以O为圆 心，OB长为半径的圆与边BC,AC分别交于D,E两点， D D 图1 图2 (I)求证：DE=DC; (2)若O为AB的中点，如图2， ①探究BD与CD的数量关系，并说明理由： ②连结OD,若四边形AODE为菱形，BC=8,求阴影部分的面积. 8/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.(24-25九上河南漯河实验中学期中)如图，在⊙0中，直径CD⊥弦AB于点E,点P是CD延长线上一 点，连接PB,BD,BD平分∠ABP. C B B (1)求证：PB是⊙O的切线 (2)连接AP,延长BD交AP于点F,若BD⊥AP,DF=3,请你直接写出图中阴影部分面积. 22.(24-25九上河南商丘民权县期中)如图，在平面直角坐标系中，以(2,0)为圆心的⊙P与y轴相切于原 点O,过点A(-2,0)的直线AB与圆P相切于点B. B (-2,0) (2,0) A (1)求AB的长； (2)求AB、OA与OB所围成的阴影部分面积（不取近似值）； (3)求直线AB的解析式. 23.(24-25九上河南信阳淮滨县期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2.∠A=60°将 △ABC绕点C逆时针旋转&角后得到△AB'C,当点A的对应点A落在AB边上时，阴影部分的面积为 B 9/9 专题08 与圆有关的压轴题 3大高频考点概览 考点01 利用圆的性质解题 考点02 点和圆、直线和圆的位置关系 考点03 弧长和扇形面积 地 城 考点01 利用圆的性质解题 1．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)如图1是一个棒球，图2是其示意图．E是直径上一点，点C和点E关于弦对称，与交于点F，若，求的半径． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，勾股定理，对称得到，，设⊙O的半径为r，即，则，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵点C和点E关于弦对称， ∴，． ∵， ∴． 设⊙O的半径为r，即，则． 在中，由勾股定理，得．即． 解得． ∴的半径为． 2．(24-25九上·河南周口鹿邑县·期中)如图，是的直径，弦于E，若，，则长为（   ） A．1.5 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理和圆周角定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据垂径定理和圆周角定理，可得，进而可得：，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径，弦于， ， ， 在中，， ， 故选：D． 3．(24-25九上·河南许昌禹州·期中)如图，是的直径，点在上且不与点，重合，的平分线交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点，连接．求证：；    【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理，直角三角形的性质，圆周角定理的推论，熟练掌握垂径定理，直角三角形的性质是解题的关键．根据角平分线定义及同弧所对圆周角相等得．由垂径定理得，，进而证明．利用直角三角形的性质即可得证． 【详解】证明：平分， ． 和为同弧所对的圆周角， ， ． ∵， ，， ， ， ． 又， 4．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，点的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的直径为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含的直角三角形．由题意知，由，可得为的直径，由四点共圆，可求，则，然后求直径，求半径即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为6， 故选：C． 5．(24-25九上·河南周口鹿邑县·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，点为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 3 1 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、垂径定理、勾股定理、三角形的三边关系等知识，正确找出的面积取最值时，点的位置是解题关键．过点作于点，连接，先利用垂径定理和勾股定理可得，再根据一次函数的解析式求出，，利用勾股定理可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，则要使的面积最大或最小，只需最大或最小，最后利用三角形的三边关系可得当点共线时，的最大值为，最小值为，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵的半径为1， ∴， ∵点为弦的中点，， ∴，， ∴， 对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，解得， ∴在中，，， ∴的面积为， ∴要使的面积最大或最小，只需最大或最小， 又∵，（当且仅当，点共线时，等号成立）， ∴的最大值为，最小值为，此时点共线， ∴此时， ∴的最大值为，最小值为， ∴面积的最大值是，最小值是， 故答案为：3，1． 6．(24-25九上·河南开封金明中学·期中)如图，在圆内接四边形中，，，若点，则圆的直径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形性质，圆周角定理及推论，勾股定理．根据圆内接四边形性质求出是解答本题的关键． 由圆内接四边形，，得出，又因，所以，是圆的直径，由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴圆的直径，， ∵点， ∴， 在中，由勾股定理得． 故答案为． 7．(24-25九上·河南漯河郾城区·期中)某市一大型地下横截面为圆形的排污管道突然爆裂，为了使人们的生活不受影响，相关部门组织专业人员抢修．爆裂后的管道横截面如图所示，经测量得出管道内水面宽为米． (1)请利用尺规作图的方法找到管道横截面的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)为了保证安全作业，经过紧急排污处理后，水面下降米后的水面宽为米，请求出此时水面的最大深度． 【答案】(1)见解析； (2)水面的最大深度米． 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，线段垂直平分线的性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握尺规作垂线，线段垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键． （1）在弧上取异于点的点，连接，分别作、的垂直平分线、相交于点，则点为所求； （2）过点作于点，交和圆弧于点，，由题意可得，米，，的长即为所求水面的最大深度，则，根据垂径定理得，，，进而在和中，利用勾股定理得，解得，从而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即可所求作的图形， （2）解：如图，过点作于点，交和圆弧于点，， 由题意可得，米，，的长即为所求水面的最大深度， ∴， ∵， ∴，，， 在和中，即，即， ∵， ∴， 解得， ∴，即此时水面的最大深度米． 8．如图，是半圆O 的直径，点C是半圆O上异于A，B 的一点，连接．点P从点A 出发，沿以的速度匀速运动到点B．图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则点D 的横坐标为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，动点问题的函数图像，解题关键是从图象中获取正确的信息．由题意知，当时，y取得最大值a，，根据三角形面积求出，D点横坐标即为整个运动的路程所用时间． 【详解】解： 是半圆O 的直径， ， 由题意知，当时，y取得最大值a，此时P与C重合， P从点A 出发，沿以的速度匀速运动到点B， ， ， 解得：， ， 点D的横坐标为， 故选：． 9．(24-25九上·河南驻马店西平县第五初级中学·期中)在中，是直径，弦，垂足为点E，连结． (1)求证：． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理及推论，等边三角形的性质和判定；连接辅助线，从而运用圆周角定理及推论得到角之间的关系是解题的关键． （1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可求解； （2）连接，根据圆周角定理求出，证出等边三角形，即可求解； 【详解】（1）证明：∵是直径，弦， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∵， ∴等边三角形， ∴． 10．(24-25九上·河南新乡封丘县·期中)综合与实践 【问题情境】 如图1，在等边中，D为边上的一点，连接，再以为边作等边，连接．若等边的周长为，的长为7． 【初步探究】 （1）线段的长为___________． 【深入探究】 （2）“智慧小组”将图1变为图2．如图2，为等腰三角形，为边上的一点，以为边作等腰．若，试猜想与之间的数量关系，并证明． 【拓展探究】 （3）“联想小组”受“智慧小组”的启发，将图1变为图3．如图3，四边形是正方形，E是边上的一点，连接，以为边作正方形，对角线与交于点O，连接．若，请直接写出正方形的面积． 【答案】(初步探究)； （深入探究），证明如下；（拓展探究）400． 【分析】（1）根据证明，得，根据等边的周长为，可得，再根据线段的和差即可解答； （2）设，如图2，过点D作交于G，设与交于点M，证明得即可解答； （3）如图3，过点O作于P，根据圆周角定理证明D、O、C、E在同一个圆上，则，所以和是等腰直角三角形，进而求得正方形的边长即可解答． 【详解】(初步探究) 解    ：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等边的周长为，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为∶ ； （深入探究） 解：，证明如下∶ 设， 如图2，过点D作交于G，设与交于点M， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （拓展探究） 解：如图3，过点O作于P，则， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∴D、O、C、E在同一个圆上， ∴．， ∵和是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． ∴正方形的面积． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 地 城 考点02 点和圆、直线和圆的位置关系 11．(24-25九上·河南安阳安阳县等3地·期中)下面是漯河某初中数学小组对于一道试题不同的解法． 试题：如图，为等边三角形，以为直径作，圆周交于点，过点作，垂足为．求证：是的切线． 亮亮 连接，先分别计算和的度数，再计算的度数…… 明明 连接，先计算或的度数……再根据平行线的判定以及性质求的度数…… 佳佳连接，，先判断与的位置关系，再求证……，再根据平行线的判定以及性质求的度数…… 请你任选一个同学的思路，完成本题的证明． 【答案】见解析 【分析】当选择亮亮的思路时，连接，先分别计算和的度数，再计算的度数即可得证；当选择明明的思路时，连接，先计算的度数，得出，再根据平行线的判定以及性质求的度数即可得证；当选择佳佳的思路时，连接，，先判断与的位置关系，再求证，再根据平行线的判定以及性质求的度数即可证． 【详解】当选择亮亮的思路时： 证明：连接， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 当选择明明的思路时： 证明：连接， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是的切线； 当选择佳佳的思路时： 证明：连接，， 为的直径， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理的推论，平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，平角的定义，等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 12．(24-25九上·河南许昌禹州·期中)如图，已知是的内切圆，，与，，的切点分别为，，，若，，则的半径为（） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ， 与，，的切点分别为，，， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：A． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 13．(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)如图，在的斜边上取点，以为直径作，切于点，连接． (1)求证：平分； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【分析】（）连接，由切线的性质得，又，则，故有，根据平行线的性质可得，再证明，从而求证； （）设，则，然后由勾股定理得出，再解方程并检验即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍）， 即的长为． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键时熟练掌握相关性质定理． 14．(24-25九上·河南开封第十四中学·期中)如图，线段经过圆心，交于点，，直线与切于点，则的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，先根据切线的性质和三角形内角和定理求出，然后根据等边对等角和三角形外角的性质可求出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵直线与切于点， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 15．在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角；如图，直线与相切于点I，是的一条弦，则就是弦切角），发现弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数相关．请根据这个思路完成以下作图和填空． (1)尺规作图：已知是的直径，延长，过点B作的切线；（M在点B 左侧，N在点B右侧．保留作图痕迹，不写作法） (2)如图C、D是圆上两点，在（1）的条件下，为弦切角，求证：． 证明：连接． 是的直径， ① ． 是过点B的切线， ② ． 即， 又 和是弧所对的圆周角 ③ ． ． 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角 ④ 它所夹弧所对的圆周角．（横线上填：“大于”或“等于”或“小于”） 【答案】(1)见解析 (2)；；；它所夹的弧所对的圆周角 【分析】（）以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点，以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点，作直线即可； （）连接，由是的直径，得；又是过点的切线，则，即，故有，又，则，从而得出结论； 【详解】（1）解：如图，以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点； 以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点； 作直线； ∴即为所求； （2）证明：连接， ∵是的直径， ∴； ∵是过点的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵和是弧所对的圆周角， ∴， ∴， 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 故答案为：；；；它所夹的弧所对的圆周角． 【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，圆周角定理，切线的判定与性质，同角的余角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 16．(24-25九上·河南漯河郾城区·期中)如图，经过菱形的三个顶点，，，且与相切于点，则的度数 ． 【答案】/度 【分析】连接，先证明，可得，，从而得到点在上，再由三角形外角的性质可得，从而得到，进而得到，再根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切， ∴，即， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，点在上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质以及菱形的性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 17．(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学联考·期中)如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意识别出点是在以为直径的圆上运动，点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动，所以当与圆相切于点，且在外部时，最大，最小，再根据已知长度计算就可以． 【详解】解：， ， 点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点旋转， 点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动， 如图，当与圆相切于点，且在外部时，最大，最小， ， ， ， ， ， 此时，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的性质、勾股定理等，解题的关键是识别出隐圆模型，作出合适的辅助线． 18．(23-24九下·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中)如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，，过点作，垂足为点，根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据切线的判定定理即可证明是的切线，根据切线的性质以及矩形的判定和性质可得，，得出，根据切线长定理可得，， 得出，根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为点， ∵是的切线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∵， ∵，，， 即， ∴四边形是矩形， ∴，， 则， ∵是的切线，是的切线，是的切线， ∴，， ∴， ∵， 在中，， 即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质，根据切线长定理得出，是解题的关键． 地 城 考点03 弧长和扇形面积 19．(24-25九上·河南安阳北关区安阳第七中学·期中)如图三个顶点的坐标分别是．将绕点逆时针旋转，得到． (1)请在网格图中画出； (2)在（1）的条件下，求点B的路径弧的长． (3)若是的外接圆，请直接写出点M的坐标_________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作旋转图形，求弧长，求三角形的外接圆的圆心，掌握以上知识是解题的关键； （1）利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，从而得到； （2）先根据勾股定理求得的长，进而利用弧长公式求解； （3）根据网格特点作出的垂直平分线的交点，结合坐标系，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解： ∴点B的路径弧的长为 （3）解：如图所示， 故答案为：． 20．(24-25九上·河南商丘民权县·期中)如图1，在中，，O为线段上一点，以O为圆心，长为半径的圆与边，分别交于D，E两点， (1)求证：； (2)若O为的中点，如图2， ①探究与的数量关系，并说明理由； ②连结，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）先根据圆内接四边形的性质得，进而得，再由得，再根据等量代换得，即可得出结论； （2）①连接，可得，依据等腰三角形的性质可得结论； ②连接，则，根据四边形为菱形，证明和为等边三角形，为等边三角形可得，再根据可得结论． 【详解】（1）证明：由题意得，是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①．理由如下： 如图2，连接， ∵O是的中点， ∴是的直径， ∴， ∵， ∴； ②如图3，连接交于，则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴和为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等角对等边，等腰三角形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及扇形面积公式等知识． 21．(24-25九上·河南漯河实验中学·期中)如图，在中，直径弦于点，点是延长线上一点，连接，，平分． (1)求证：是的切线． (2)连接，延长交于点F，若，，请你直接写出图中阴影部分面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理和角平分线定义得到相关角度关系，再由互余确定，根据切线的判定即可得证； （2）由中垂线性质确定，根据等边三角形判定与性质得到相应角度及线段长度，最后间接表示出不规则图形面积，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵为的直径，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ， ， ， ， ∴是的切线； （2）解：∵直径， ∴垂直平分， ， ∵平分， ∴垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 则， ， 在中，， 则， ∴， 即， 在中，， 则， ∵， ∴在中，， 则是等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及垂径定理、圆周角定理、角平分线定义、互余、切线的判定、中垂线性质、等边三角形的判定与性质、含直角三角形性质、勾股定理、扇形面积公式等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． 22．(24-25九上·河南商丘民权县·期中)如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的与y轴相切于原点O，过点的直线与圆P相切于点B． (1)求的长； (2)求、与所围成的阴影部分面积（不取近似值）； (3)求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，由于的坐标已知，因此求出的长度，根据直线与相切于点，与y轴相切于原点O，利用勾股定理定理可以求出AB的长度； （2）连接，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，由等边三角形的性质得出，最后根据即可求出阴影部分面积； （3）过B作轴于C，用面积法得即得，从而，再用待定系数法可得直线AB解析式为． 【详解】（1）解：连接PB， ∵点的坐标分别为， ， ． ∵直线与相切于点B， ， ∵与y轴相切于原点O， ， （2）连接OB， ∵∠ABP=90°，OA=OP， ， ， ， ． （3）过B作轴于C，如图： ， ∴， ， 设直线AB解析式为，把代入得： ，解得 ∴直线解析式为． 【点睛】此题考查了圆的切线的性质、直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定以及性质，扇形面积公式，待定系数法求一次函数解析式等知识，能熟练运用相关性质是解题的关键． 23．(24-25九上·河南信阳淮滨县·期中)如图，在中，＝，＝．将绕点逆时针旋转角后得到，当点的对应点落在边上时，阴影部分的面积为 ．      【答案】 【分析】证明三角形是等边三角形即可得到旋转角的度数，再利用旋转的性质求出扇形圆心角以及的两直角边长，进而得出图形面积即可． 【详解】解：如图所示，设交于点，    ，且， 是等边三角形． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则阴影部分的面积为： 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形面积，扇形面积以及勾股定理应用，解题的关键是灵活运用以上知识并保证计算正确． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $