6.1.2 向量的加法-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

6.1.2 学习目标 1.掌握向量的加法运算，并理解其几何 意义 2.会用向量加法的三角形法则和平行四 边形法则作两个向量的和向量，培养数形结 合解决问题的能力. 3.通过将向量运算与熟悉的数的运算进 行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律 和结合律，并会用它们进行向量运算，渗透 类比的数学方法。 要点精析 川要点1向量加法的三角形法则 (1)AB的终点与BC的始点相同，则 AC为两个向量的和向量，表示为AC=AB+ BC.当AB与BC不共线时，三个向量构成一 个三角形， (2)a,b,a+b不共线时，la-b1l<la+ bl<lal+lbl (3)a,b,a+b共线时，la+bl=la+b1或 la+bl=llal-Ibll. 思考在向量加法的三角形法则中， 若a与b共线，请作出a+b 例1如图6-1-3，给出了向量a,b, 请作出向量a+b: /b 图6-1-3 第六章平面向量初步 可量的加法 分析由向量加法的三角形法则，将 向量平移到a的始点与b的终点重合. P变式训练① 设P是△ABC所在平面内一点，BC+BA =2BP,则() A.PA +PB=0 B.PC+PA=0 C.PB+PC=0 D.PA +PB +PC=0 例2若1ad=2,b1=3,求1a+bl的取值范围. 分析由向量加法法则，有a-bl川≤ a+bl≤al+bl,当且仅当a,b方向相同时，la+b= lal+bl;当且仅当a,b方向相反时，la+bl= llal-Ibll. 要点2向量加法的平行四边形法则· AB的始点与AC的始点相同，以AB和 AC为邻边作平行四边形ABDC,则AD为两 学(65 N N 高中数学必修第二册人教B版 个向量的和向量，表示为AD=AB+AC, 思考两个向量共线时，能用平行四 边形法则求它们的和吗？ 例3如图6-1-4，给出了向量a,b, 请作出向量a+b 图6-1-4 分析将两个向量平移到始，点相同， 过终点作平行线，得到平行四边形 例4如图6-1-5，已知矩形ABCD, IAD I=4V3,AB =a,BC =b,BD =c, 求la+b+cl. 图6-1-5 (66)学 B变式训练2 设M为平行四边形ABCD对角线的交 点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意 一点，则0A+0B+0C+0D等于() A.OM B.20M C.30M D.40M 数学文化 可以通过向量的运算进行一些几何结论 的证明，简洁、直观地体现了向量的工具和 桥梁作用。 例证明：以任意三角形的三中线为边 可以作一个三角形 分析可以通过不共线的三个向量之 和为零向量来证明线段可以构成三角形N 高中数学必修第二册人教B版 例2答图 例3AB【解析】向量既有大小又有方向.AB=DC, 边AB和边DC平行且相等，故A正确.a∥b,·a,b 方向相同或者相反.又lal=bl,..a,b为相同向量或者 相反向量，故B正确.大小相等且方向相同的向量称为 相等的向量，与位置无关，故C不正确.0与任意向量 都平行，当b-0时，a,c不一定平行，故D不正确.故 选AB. 变式训练2 D【解析】品表示与a同向的单位向量，岛表示与 b同向的单位向量，只要a与b同向就有合-合、放选D 数学文化 解：如图所示 例题答图 6.1.2向量的加法 要点精析 例1解：作图如图所示. Vb 例1答图 变式训练1 B【解析】BC+BA=2BP .点P为线段AC的中点，故选B. 例2解：由于la-lbll≤la+bl≤a+ 1bl,因此1≤la+b1≤5.当且仅当a, 变式训练1答图 b方向相同时，la+bl=5;当且仅当 a,b方向相反时，la+bl=1. 46 例3解：作图如图所示 例3答图 例4解：由题知，a+b+c=AB+BC+BD=AC+BD.如 图，延长BC至点E,使BC=CE,连接DE,由于ADL CE,四边形ACED为平行四边形，AC=DE,AC+ BD'=BD'+DE'=BE .la+b+cl=IBE I=2IBC I=2ADI=8V3. C E 例4答图 变式训练2 D【解析】，点M为平行四边形ABCD对角线的交 点，点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知， 0A+0C=20M,0B+0D=20M,故0A+0B+0C+0D= 40M.故选D. 数学文化 证明：设在△ABC中，D,E,F为BC,AC,AB的 中点，·2AD=AB+4C,2BE-BA+BC,2CF-CA+CB, 2AD+2BE+2CF-AB+AC+BA+BC+CA+CB-0, 即以任意三角形的三中线为边可以作一个三角形. 6.1.3向量的减法 要点精析 例1解：四边形ABCD为平行四边形，.AD=BC=b. .AC=AB+AD,.AC-a+b. BD=AD-AB,:.BD=b-a. 变式训练1 解：(1)在正方形ABCD中，a-b-AB-BC=AB AD-DB. (2)如图，过点B作BF∥AC,交DC的延长线于点 F,连接AF,则四边形ABFC为平行四边形，故a+c= AB+AC=AF.在△ADF中，DF-AF-AD=a-b+c,故DF