6.3 平面向量线性运算的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第六章平面向量初步 6.3平面向量线性运算的应用 学习目标 变式训练① 如图6-3-1，在平行四边形ABCD中， 1.理解向量在处理有关平面几何问题中 的优越性，并体会向量在几何和现实生活中 E,F分别是AD,AB的中点，G为BE与 的意义. DF的交点.若AB=a,AD=b. 2.会用向量方法解决某些简单的物理问 (1)试以a,b为基底表示BE,DF: 题及一些实际问题 (2)求证：A,G,C三点共线 要点精析 川要点1向量在平面几何中的应用 图6-3-1 向量是沟通代数与几何的桥梁.向量可 以很好地描述全等、相似、平行等关系，是 解决几何问题的工具， 思考如何利用向量表示几何图形中 的全等、相似以及平行等关系？ 例1在△ABC中，AD为BC边上的中 线，AE=号D,F为AC的中点，证明：点 B,F,E三点共线： 分析证明B,F,E三点共线，即证 川要点2向量在物理中的应用 BE=kBF.以BC,BA)为基底表示BE和 例2如图6-3-2， BE 在△ABC中，点D,E满 足BD-DC,AE=2EC, BE与AD交于点P,若 图6-3-2 AP=xAB+yAC,则y=( A号 B号 c者 D 学(83 N 高中数学必修第二册人教B版 分析方法一，根据向量共线可得AP 数学文化 =AD,再得AF=今4B+分AC.又：Bm 利用向量解答平面几何问题的一般步 uBE,再表示出AP,利用向量相等解出AP 骤是： =号丽+号C,中可得解，方法二，建立 (1)将题设和结论中的有关元素转化为 向量形式； 平面直角坐标系，利用坐标法求出即可 (2)确定必要的基底向量，并用基底表 B变式训练2 示其他向量； (3)借助向量的运算解决问题. 如图6-3-3所示，一个物体被两根轻质 例 在△ABC中，AD平分∠A,交BC 细绳拉住，且处于平衡状态.已知物体所受 于点D, 证明： DC_AC 的重力大小为50N,求每根绳上的拉力 BDAB 大小 分析 AB和AC都是单位向量，以 它们为邻边的平行四边形是菱形，所以 450 459 AB AC 在∠A的平分线上 IABI IACI 图6-3-3 反思感悟本题将向量与解三角形结 合起来 84)学设，.(，0(-2.10=写x3,2,号， a,y1,号+-2,1)-山，，同理可得00，子 例6解：a/,-2=1X3,=- 变式训练5 解：a=(1,2),b=(2,3),Aa+b=(A+2,2λ+3). 向量Aa+b与向量c=(-4,-7)共线，-7(A+2)+4(2入+ 3)=0,∴A=2. 例7证明：AB=(3,2)-(-1,0)=(4,2),AC=(0,4) (-1,0)=(1,4).4×4≠1x2,AB和AC不共线， .以A(-1,0),B(3,2),C(0,4)为顶点可以构成 三角形. 变式训练6 5【解析】本题可建立坐标系，利用向量的坐标表 示，转化为函数求最值.以D为原点，分别以DA,DC 所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，设 DC=a,DP=x,D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1, a),P(0,x),∴PA=(2,-x),PB=(1,a-x),PA+3PB= (5,3a-4x),.lPA+3PBP=25+(3a-4x)2≥25，lPA+ 3PBl=5. D(O) 变式训练6答图 数学文化 解：(1)0P=0A+AB=(1,2)+(2,2)=(21+1,21+ 2+1<0, 2).由题意得 21+2>0, 解得-1oc3 (2)若四边形OABP是平行四边形，只要OP=AB, 而AB=(2,2),0P=(21+1,21+2),由此需要2t+1=21+ 2,但此方程无实数解，.四边形OABP不可能是平行四 边形. 参考答案。 >m6.3平面向量线性运算的应用 要点精析 例1证明：由已知条件有AD=BD-BA=)BC-B所， 配所+正丽+号。 E-+号配号C F为AC的中点，B㎡=)(B所+BC). 所E,B,人E三点共线 变式训练1 (（1)解：BE=A正-AE=)ba,D-A-AD=a-b. (2)证明：D,G,F三点共线，则DG=ADF,即 AG-AD+ADF-Aa+(I-A)b- B,G,E三点共线，则BGBE,即AG=ABtuBE =(1u)a+2b. 2A-1 由平面向量基本定理知 解得入子， 1-=24 4C=兮a+b)=34C,M,G,C三点共线 例2C【解析】方法一：点P在AD上，故AP∥AD, .存在唯一实数入，使得AP=入AD.又BD=DC,故D 为BC的中点，AD-)AB+)AC,AP-)AB+)AC; 同理存在u,使得BPBE,又，AP=AB+BP=AB+ uBE=AB(A尼-A万)=(1)A店+头AC,∴交=1= 装，号+号4C.号w号 4 5 5 故选C. 方法二：因为是选择题，所以不妨设△ABC为等腰 直角三角形，其中AB⊥AC,AB=AC=6,以A为原点， AB所在直线为x轴、AC所在直线为y轴，建立平面直 角坐标系，如图所示，则A(0,0),B(6,0),C(0,6), D3,3)E0,4),则直线BE,AD的方程分别为若+ 51 N 高中数学必修第二册人教B版 各=1，=，联立解得P(号，号由AP=A后+AC. 得号，号=x(6.0)+y0,6),解得x可=号，则灯= 云故选C 例2答图 变式训练2 解：.物体处于平衡状态，F+F2是重力的相反向 量，因此F+F=50N. 又由题图与向量加法的平行四边形法则可知，F+F 的方向是竖直向上的，且IF+F,=2 IF lsin45°=2lF,lsin45°， (52 IFl=IEl= 50N=25V2N.因此，每根绳上的拉力为 2sin45° 25/2N. 数学文化 证明：：AD平分∠A, 亦-g+4上点正点C IABI IACI IABI IACI D在BC上， AD=(1-*)ABAC,BD=BC.IDCI1- IBD'x 由平面向量基本定理，基底上的表达式唯一， k=1-x, =x, AB 4C1 爵告“