6.2.2 直线上向量的坐标及其运算-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第六章平面向量初步 6.2.2直线上向量的坐标及其运算 学习目标 变式训练1 1.明确直线上向量的坐标的概念，并会 已知e是直线l上的一个单位向量，向 表示直线上向量的坐标， 、 量与b都是直线l上的向量，分别在下列 2.理解直线上向量的运算与坐标的关； 条件下写出a与b的坐标. 系，并能进行正确的坐标运算. (1)a=3e,b=-6e; 要点精析 (2)a=-4e,b-2e, 川要点1直线上向量的坐标 给定一条直线1以及直线上的一个单位 向量e,由共线向量基本定理可知，对于直 线l上的任意一个向量a,一定存在唯一的 实数x,使得a=xe,此时向量a的坐标为x x>0时，a与e方向相同，x<0时，a与e方 : 川要点2直线上向量的运算与坐标的关系！ 向相反，ladl=xlel=lxl. 例1如图6-2-5所示，求出直线上向 直线上向量相等的充要条件是它们的坐 量a,b的坐标. 标相等， 若a=xe,b=xe,则入a+b=(入xtx2)e, 所以Aa+b的坐标为入x1+x2 图6-2-5 例2直线l上向量a,b的坐标分别 为-2,5，求出下列向量的坐标。 ()a+b:(2)2a-3b. 学(77 N 高中数学必修第二册人教B版 例3设A(3),B(-6)是数轴上的两点. 数学文化 (1)求向量AB的坐标以及A与B两点 间的距离； 直线上求向量坐标的方法可以推广到空 (2)求线段AB的中点坐标. 间中.如图6-2-6，正方体的棱长为2，AB 在e1,e2,e3三个方向上的坐标分别为 2,2,-2. 图6-2-6 变式训练 已知A,B,C为数轴上的三点，且 x4=-2,x=6.求符合下列条件的点C的坐标. (1)AC的坐标是10：(2)4C=10: (3)IAC I=3IBC I. (78)学N 高中数学必修第二册人教B版 数学文化 证明：四边形ABCD是平行四边形，AC=AB+ AD,且AD=BC aE=c=子AC,AE=元=4C=4花+ 4AD,D呢=A正-AD-}AB+AD-AD=A店- 子AD,FB-F元+CB-4AB+4AD-BC=AB+AD -AD=AB-子AD,D呢=屈，DE=fB,DE∥B, .四边形DEBF是平行四边形 6.2.2直线上向量的坐标及其运算 要点精析 例1解：由图可知，a=2e,b=-3e,a的坐标为2，b 的坐标为-3. 变式训练1 解：(1)a的坐标为3，b的坐标为-6. (2②)a的坐标为-4，b的坐标为2 例2解：(1)a+b的坐标为-2+5=3. (2)号a-3动的坐标为-2×3-5x3=-16, 例3解：(1)AB=0B-0A,.AB的坐标为-6-3= -9,且AB=9. (②)线段AB的中点坐标为3- 变式训练2 解：(1)AC的坐标是10，xc-x=10,x=x+ 10=8. (2)l4C=10,c-xl=10, 当x-x=10时，x=x4+10=8; 当x-龙4=-10时，x=x-10=-12. (3)·AC=3IBC1,.AC=3BC或AC=-3BC.当AC= 3BC时，xc-x4=3(-xB),x=10;当AC=-3BC时，x x=-3(x-xg),.xc=4. 6.2.3平面向量的坐标及其运算 要点精析 例1解：(1)·a=-2et3e2,=(-2,3) (2)向量b的始点在原点，终点坐标为(3，-2)· 50 变式训练1 解：a=(2,3),b=(-2,3),c=(-3,-2),d=(3,-3) 例2解：a+2b=(-2,1)+2×(3,1)=(-2,1)+(6,2)= (4,3). 24-363×-2.1)3x3,1-1,合}9.3)归 -10,-3 例3解：设c=ma+nb,即(7,4)=m(3,-2)+n(-2,1), 3m-2n=7,解得 fm=1, -2m+n=-4, n=-2, .c=a-2b. 变式训练2 √5【解析】利用共线向量求参数值. .Aa+b=0,.Aa=-b,.lAal=l-bl=lbl=V2+T=V5, ..lAl.lal=V5.al=1,.A=V5. 例4解：由已知可得al=V(-2)4下=V5, 品2川2， lal v5 5， .与a共线的单位向量为 2利25. 变式训练3 B【解析】根据平面向量基本定理解题.由题意知， A选项中，e=0,C,D选项中两向量均共线，不符合基 底条件.B选项中，a=2e1+e2,故选B. 例5解：由已知条件得AB-0B-0A=(2,-5)-(-3,1)= (5,-6). A=子A店 4=}×5,6)=号，-2， o=01+AM=(-3,1)+号，-2号，-1月 ∴点M的坐标为号， 变式训练4 解0=(01+0B)=2,2,点M的坐标 为2,2 AB=0B-01=(1,3)(-2,1)=(3,2,A=AE,