6.2.1 向量基本定理-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第二册人教B版 =0B+0C,:.0D=-OA.在口B0CD 中，设BC与OD交于点E,则BE= EC,OE-ED,AE是△ABC的边 BC的中线，且IOA=210E1,故点0 例4答图 是△ABC的重心 变式训练3 B【解析】方法一：根据平面向量加法的三角形法 则，有CB-CA+4B,而AB=3AD=3(AC+CD),.CB= CA+3(AC+CD)=-2CA+3CD=-2m+3n,故选B. 方法二：根据平面向量加法的四边形法则，有CB= DB+CD,DB=2AD=2(CD-CA),..CB=-2CA'+3CD =-2m+3n.故选B. 数学文化 解：由题得B-BC+C-BC+子-BC+子(E+ BA)=BC+3-3 BF+BA 44 即BF-BC+B4B, 解得BF=1BC+12BA 25 25 6.1.5向量的线性运算 要点精析 例1解：C}C,A-名AC 在△ADF中，有DF=AF-AD, D亦=子AC-号AB 在△CEF中，有E-C-CE,EF-}C-子cB =3aC+号Bc=gC+号aC-AB)=3aC-子AB 变式训练1 D【解析】a,b同向则a,b共线，但a,b共线， 则a,b不一定同向.A不是充要条件. 若a,b中至少有一个为零向量，则a,b共线；但 a,b共线时，a,b不一定是零向量.B不是充要条件. 当b=Aa时，a,b一定共线；但a,b共线时，若 b≠0，a=0,则b=Aa就不成立.C不是充要条件. 假设入≠0，则a=光b,放a,b共线：反之，若 48 a,b共线，则a=几b,即ma-nb=0,令入=m1,入2=-n, m 则入a+入b=0.D是充要条件.故选D. 例2证明：先证充分性. 由共线向量基本定理知，AP=AB, ..CP-CA'=(CB-CA),.CP=(1-)CA'+CB. 再证必要性.如果CP=(1-t)CA+tCB,则CP=CA ICA+CB 从而CP-CA=-CA+tCB,即AP=AB,即A,B,P 三点共线 变式训练2 解：由题意可得0C-号×分(0+0i=号(0+0) =}oi+}i=ga+}b 又：0P=ma,00=b,即a=10P,b=100, c-兮0号00r40 中C,0三点共线，则动动1，即日+日3 m n 数学文化 解：0=a,o那=h(ueR),oC=}ab),， AB=OB-OA=b-a.AC=OC-0A-(ab)-a= a 若A,B,C三点共线，存在实数入，使AB= MC,即h-a号b号0 A=3 2 由于a,b不共线，. 解得 -1-号 1 产2 故当t=时，A,B,C三点共线。 >m6.2向量基本定理与向量的坐标 6.2.1向量基本定理 要点精析 例1【解析】A,B,C三点共线， .存在实数k,使AB=kAC,∴Aa+b=k(a+ub). :向量a,6不共线，1-4， 入=k, =1.若=1， 则u=六，AC=a+大b,A店=Aa+b)=AAC, A,B,C三点共线.故选C 变式训练1 D【解析】c∥d,.c=入d,即a+b=入(a-b)·又 k=入，=-1， a,b不共线， .c=-d,.c与d反 1=-入，k=-1, 向.故选D. 例2解： e2 b 例2答图 a,b用基底e,e表示为a=e+7e,-2e-20 变式训练2 A【解析】本题利用向量的线性运算。 AD+B配+示-AE+2BC+2-之(a店+BC+ CA)-0.故选A. 例3C【解析】由AM=)MC,得A=了AC,BM BM+M-BA+AC-BA+(BC-BM)=号BA+号BC 又威-Aa厨wBC,A=号，=号，A4=号 故选C 变式训练3 BD【解析】由BD=DC可得D为BC的中点，则AD =a正+1C. :点E在线段AD上移动，AE=kAD(0≤k≤1)， :AE=k(B+MC)=2kMB+号kMC.① 又由题知，AE=入AB tuAC.② 参考答案。 根据①②可得， ,故A错误，B正确。 k, 2 A-24r-号-2+25-2-2+4=号-2r 2,当=1时，(-2Pw取最小值号，故C错误，D 正确.故选BD 例4解：A,B,C三点共线，.存在实数k使AB= kAC,..2a+b=k(a-Ab). 向量a,b不共线=2，=1，A=分 变式训练4 证明：BD=BC+CD=(2e1+8e2)+(2e1-4e2)=4e1+4e2= 4(e+e2)=44B,.根据共线向量基本定理得，BD与AB 共线.又BD与AB有公共点B,A,B,D三点共线。 例5解：(1)在△ABD中，AD=AB+BD, BD=2DC,则BD=BC 故AD=AB+BD=AB+子BC-A店+2(A-AB) =店-号正+号4C=}店+号C, 故m=子，n=号，m=号 2 2)0-号店+号C,而正-M元， 3 AF=4CAB=A正，AC=1AF, 入 则AD=1A正+2A 31 3u 又D,E,F三点共线， 1+2=1,结合已知可知入，心0， ·3x3μ 放A-0如)动录号+号+货+验≥1+ 2V会盆12.当且仅当数数，结合动 3 1+V2 1d,®0，即 3 时，取等号， =2+y2 3 即入w的最小值为1+2V2 3 49 N 高中数学必修第二册人教B版 数学文化 证明：四边形ABCD是平行四边形，AC=AB+ AD,且AD=BC aE=c=子AC,AE=元=4C=4花+ 4AD,D呢=A正-AD-}AB+AD-AD=A店- 子AD,FB-F元+CB-4AB+4AD-BC=AB+AD -AD=AB-子AD,D呢=屈，DE=fB,DE∥B, .四边形DEBF是平行四边形 6.2.2直线上向量的坐标及其运算 要点精析 例1解：由图可知，a=2e,b=-3e,a的坐标为2，b 的坐标为-3. 变式训练1 解：(1)a的坐标为3，b的坐标为-6. (2②)a的坐标为-4，b的坐标为2 例2解：(1)a+b的坐标为-2+5=3. (2)号a-3动的坐标为-2×3-5x3=-16, 例3解：(1)AB=0B-0A,.AB的坐标为-6-3= -9,且AB=9. (②)线段AB的中点坐标为3- 变式训练2 解：(1)AC的坐标是10，xc-x=10,x=x+ 10=8. (2)l4C=10,c-xl=10, 当x-x=10时，x=x4+10=8; 当x-龙4=-10时，x=x-10=-12. (3)·AC=3IBC1,.AC=3BC或AC=-3BC.当AC= 3BC时，xc-x4=3(-xB),x=10;当AC=-3BC时，x x=-3(x-xg),.xc=4. 6.2.3平面向量的坐标及其运算 要点精析 例1解：(1)·a=-2et3e2,=(-2,3) (2)向量b的始点在原点，终点坐标为(3，-2)· 50 变式训练1 解：a=(2,3),b=(-2,3),c=(-3,-2),d=(3,-3) 例2解：a+2b=(-2,1)+2×(3,1)=(-2,1)+(6,2)= (4,3). 24-363×-2.1)3x3,1-1,合}9.3)归 -10,-3 例3解：设c=ma+nb,即(7,4)=m(3,-2)+n(-2,1), 3m-2n=7,解得 fm=1, -2m+n=-4, n=-2, .c=a-2b. 变式训练2 √5【解析】利用共线向量求参数值. .Aa+b=0,.Aa=-b,.lAal=l-bl=lbl=V2+T=V5, ..lAl.lal=V5.al=1,.A=V5. 例4解：由已知可得al=V(-2)4下=V5, 品2川2， lal v5 5， .与a共线的单位向量为 2利25. 变式训练3 B【解析】根据平面向量基本定理解题.由题意知， A选项中，e=0,C,D选项中两向量均共线，不符合基 底条件.B选项中，a=2e1+e2,故选B. 例5解：由已知条件得AB-0B-0A=(2,-5)-(-3,1)= (5,-6). A=子A店 4=}×5,6)=号，-2， o=01+AM=(-3,1)+号，-2号，-1月 ∴点M的坐标为号， 变式训练4 解0=(01+0B)=2,2,点M的坐标 为2,2 AB=0B-01=(1,3)(-2,1)=(3,2,A=AE,N 高中数学必修第二册人教B版 6.2向量基本定理与向量的坐标 6.2.1向量基本定理 反思感悟 将三点共线转化成三点所 学习目标 对应的两个向量共线，进而利用共线向量 1.理解平面向量基本定理及其意义. 基本定理来求解」 2.会用基底表示平面内某一向量」 3.通过学习平面向量基本定理，让学生 B变式训练① 体会数学中的转化思想，培养学生发现问 已知向量a,b不共线，c=ka+b(k∈ 题、解决问题的能力. R),d=a-b,如果c∥d,那么（) A.k=1且c与d同向 要点精析 B.k=1且c与d反向 川要点1共线向量基本定理 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向 (1)如果a≠0且a∥b,则存在唯一的 实数入，使得b=入a.非零向量a可以表示与 川要点2平面向量基本定理 其共线的所有向量 如果平面内两个向量a,b不共线，则 (2)A,B,C三点共线的充要条件是 对该平面内的任意一个向量c,存在唯一的 存在实数入，使AB=AAC, 实数对(x,y),使得c=xa+yb. 思考在共线向量基本定理中，向量 例2如图6-2-1所示，用向量e1,e2表 可以是零向量吗？ 示a,b. 例1已知向量a,b不共线，AB=入a+ b,AC=ab,其中入，u∈R,则A,B,C a b 三点共线的充要条件是() A.入+u=2 B.入+w=1 图6-2-1 C.=1 D.w=-1 分析 将e1,e2,a,b的始点平移到 分析A,B,C三点共线的充要条件 一起，以e1,e2所在的直线为邻边，a,b 是存在实数k,使AB=kAC 为对角线作平行四边形. 74)学 第六章平面向量初步 分析由平面向量基本定理可知向量 变式训练2 c在基底{a,b}上的坐标唯一. 如图6-2-2，D,E,F分别是△ABC的 边AB,BC,CA的中点，则() A.AD+BE+CF-0 B.BD-CF+DF-0 C.AD+CE-CF-0 D.BD-BE-FC-0 图6-2-2 例3在△ABC中，点M为AC边上的 点，且AN=)MC,若BM=AEA+UBC,则 入的值是() A.1 B c 分析 由A=号C可以确定点M在 变式训练④ 已知两个非零向量e1与e2不共线，如 线段AC上的位置，将AM用基底BA和BC 表示出来 果AB=e1+e2,BC=2e1+8e2,CD=2e1-4e2,求 证：A,B,D三点共线： B变式训练3 (多选题)在△ABC中，点D满足BD= DC,当点E在线段AD上移动时，记AE= AB+uAC,则() A.入=20 B.入 C.(入-2)2+2的最小值为2 D.(入-2P2的最小值为习 例4已知向量a,b不共线，AB=2a+ b,AC=a-Ab,A,B,C三点共线，求入. 学（75 N 高中数学必修第二册人教B版 例5如图6-2-3 : 所示，在△ABC中，点 数学文化 D为BC边上一点，且 例如图6-2-4，在平行四边形ABCD BD=2DC,过点D的直 中，E,F是对角线AC上的两点，且AE= 图6-2-3 线EF与直线AB相交于点E,与直线AC相： 心=子4C,用向量的方法证明：四边形 交于点F(E,F两点不重合).若AD=mAB DEBF是平行四边形， +nAC,则： (1)求mn的值. (2)若AE=AAB,AFAC,求入地 图6-2-4 的最小值 分析根据向量的加减运算，以AB AC为基底，表示出AD,和已知等式比较， 即可得m,n的值，进而求得mn的值；结 合已知用AE,AF表示AD,再结合三点 共线可得动a,从0)，将入以化 为a加)分+品，展开后利用送本不等 式，即可求得入地的最小值 (76)学