6.1.4 数乘向量-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

即为所求 变式训练1答图 例2解：根据题意以AB,AC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABDC.在平行四边形ABDC中， ADEAB+ACI.IBCHAC-ABI. 例2答图 .平行四边形ABDC的对角线相等，.平行四边形 ABDC为矩形，.∠BAC为直角 变式训练2 解：若a+b与a-b垂直，即平行四边形ABCD的两 条对角线互相垂直，则只需满足四边形ABCD为菱形， .a,b满足lal=b1即可. 例3解：由于Ilal-Ibl≤la-bl≤lal+lbl,因此1≤la-bl≤ 5.当且仅当a,b方向相反时，la-bl=5;当且仅当a,b 方向相同时，a-bl=1. 例4证明：由题知，E,F分别是AD,BC的中点， BF+CF-0,AE+DE-0,AB+DC=(AF+FB)+(DF+ FC)=AF+DF-(AE+EF+(DEEF )(AE+DE )42EF- 0+2EF-2EF 变式训练3 解：AB10,lAC1=7,.3=AC-BCI≤IBCE AC-AB1≤AC+AB=17,当且仅当AB,AC同向时BC 取得最小值3，反向时BC1取得最大值17. 数学文化 解：根据平行四边形法则作出图形，由题意，四边 形AFBF是正方形，如图所示， 北 例题答图 参考答案。 (1)IF+F2l=曰al=V4+4=4V2(N),∠CAB= ∠FAB-∠FAC=45°-30°=15°，.F,+F2的方向为东偏南 15 (2)lF,-F,=b1=V4+4=4V2(N),∠FDE=180° -(∠FED+∠DFE)=180°-(60°+45°)=75°，.F1-F2的方 向为东偏北75° 6.1.4数乘向量 要点精析 例1解：由a=2e,得到c=a,b=-30=a,因此 a,b平行. 含，24，w23 3. 变式训练1 2【解析】根据向量加法的平行四边形法则及向量数 乘的几何意义计算 由向量加法的平行四边形法则，得AB+AD=AC, 又0是AC的中点，AC=2A0,AB+4D=240, ∴.入=2 例2解：BD-2DC,BD-号BC .AD-AB+BD,BC-AC-AB, 0-i+号a心-a店)=子4C+兮a店 变式训练2 ?【解析】利用平面向量加、减法的运算法则， 将DE用AB,AC表示出来，对照条件，求出1,2 的值 由题知，D呢-B配-Bm=子BC-B=子(A-A)+ a丽-名瓜+号C 于是A=石，A号，放+A子 例3解：0B=0A+A'B=-30A+3AB=3(0A+AB)= 30B,.0B与0B共线且同方向，长度是0B的3倍. 例4证明：由于0A+0B+0C=0,.0A=-(0B+0C), 即OB+OC是与OA方向相反且长度相等的向量. 如图，以OB,OC为邻边作平行四边形BOCD,则OD 47 N 高中数学必修第二册人教B版 =0B+0C,:.0D=-OA.在口B0CD 中，设BC与OD交于点E,则BE= EC,OE-ED,AE是△ABC的边 BC的中线，且IOA=210E1,故点0 例4答图 是△ABC的重心 变式训练3 B【解析】方法一：根据平面向量加法的三角形法 则，有CB-CA+4B,而AB=3AD=3(AC+CD),.CB= CA+3(AC+CD)=-2CA+3CD=-2m+3n,故选B. 方法二：根据平面向量加法的四边形法则，有CB= DB+CD,DB=2AD=2(CD-CA),..CB=-2CA'+3CD =-2m+3n.故选B. 数学文化 解：由题得B-BC+C-BC+子-BC+子(E+ BA)=BC+3-3 BF+BA 44 即BF-BC+B4B, 解得BF=1BC+12BA 25 25 6.1.5向量的线性运算 要点精析 例1解：C}C,A-名AC 在△ADF中，有DF=AF-AD, D亦=子AC-号AB 在△CEF中，有E-C-CE,EF-}C-子cB =3aC+号Bc=gC+号aC-AB)=3aC-子AB 变式训练1 D【解析】a,b同向则a,b共线，但a,b共线， 则a,b不一定同向.A不是充要条件. 若a,b中至少有一个为零向量，则a,b共线；但 a,b共线时，a,b不一定是零向量.B不是充要条件. 当b=Aa时，a,b一定共线；但a,b共线时，若 b≠0，a=0,则b=Aa就不成立.C不是充要条件. 假设入≠0，则a=光b,放a,b共线：反之，若 48 a,b共线，则a=几b,即ma-nb=0,令入=m1,入2=-n, m 则入a+入b=0.D是充要条件.故选D. 例2证明：先证充分性. 由共线向量基本定理知，AP=AB, ..CP-CA'=(CB-CA),.CP=(1-)CA'+CB. 再证必要性.如果CP=(1-t)CA+tCB,则CP=CA ICA+CB 从而CP-CA=-CA+tCB,即AP=AB,即A,B,P 三点共线 变式训练2 解：由题意可得0C-号×分(0+0i=号(0+0) =}oi+}i=ga+}b 又：0P=ma,00=b,即a=10P,b=100, c-兮0号00r40 中C,0三点共线，则动动1，即日+日3 m n 数学文化 解：0=a,o那=h(ueR),oC=}ab),， AB=OB-OA=b-a.AC=OC-0A-(ab)-a= a 若A,B,C三点共线，存在实数入，使AB= MC,即h-a号b号0 A=3 2 由于a,b不共线，. 解得 -1-号 1 产2 故当t=时，A,B,C三点共线。 >m6.2向量基本定理与向量的坐标 6.2.1向量基本定理 要点精析 例1【解析】A,B,C三点共线， .存在实数k,使AB=kAC,∴Aa+b=k(a+ub).N 高中数学必修第二册人教B版 6.1.4数 学习目标 1.掌握数乘向量的定义以及数乘向量的 运算律，会利用数乘向量的运算律进行有关 的计算. 2.理解两个向量平行的充要条件，能根 据条件判断两个向量是否平行. 要点精析 川要点数乘向量 (1)实数入与向量a相乘的运算称为数 乘向量，它们的乘积是一个向量，记作入a, 其中λal=入Ilal. (2)由数乘向量的定义可知入a∥a,入>0 时，a与入a方向相同，入<0时，a与入a方向 相反.如果存在实数入，使得b=入a,则b∥a. (3)A,B,C三点共线的充要条件是存 在实数入，使AB=入AC 思考数乘向量的几何意义是什么？ 例1已知a=2e,b=-3e,其中e为单 位向量，判断a,b是否平行，并求a:b1 的值 分析利用数乘向量可以判断两个向 量是否平行. 70)学 乘向量 变式训练① 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD 交于点O,设AB+AD=入AO,则A= 例2在△ABC中，BD=2DC,用AB 和AC表示AD, 分析可以通过向量的加法、减法和 数乘向量运算表示」 反思感悟解答此类问题，要从长度、 方向两个方面考虑向量之间的数乘关系. B变式训练2 设D,E分别是△ABC的边AB,BC上 的点，AD=之AB,BE=号C,若DE=A4B +入2AC(入1,2为实数)，则1+2的值为 例3如图6-1-10所示，0A=304, A'B=3AB,说明向量OB与OB的关系. 图6-1-10 分析可以通过向量的加法法则将已 知向量和所求向量建立联系， 思考把例3的数3改为任意实数k, 解决方法是相同的，回想初中学过的相似 三角形的判定定理，例3的结论与判定定 理有什么关系？ 例4已知A,B,C是不共线的三点， 0是△ABC内的一点，若OA+OB+OC=0, 求证：O是△ABC的重心 B变式训练3 如图6-1-11，在△ABC 中，点D在边AB上， BD=2DA,设CA'=m,CD D =n,则CB=() 图6-1-11 A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 第六章平面向量初步。 数学文化 例我国东汉末年数学家赵爽在《周髀 算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理 的证明，后人称其为“赵爽弦图”·它是由 四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成 的一个大正方形，如图6-1-12所示.在“赵 爽弦图”中，若BE=3EF,用BC,BA表示 BF. 图6-1-12 分析数乘向量可以表示线段的分，点， 用BA,BC通过向量的加法、减法和数乘 运算表示，然后合并化简. 学(71