6.1.3 向量的减法-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第六章平面向量初步 6.1.3向量的减法 学习目标 1.掌握相反向量的概念及其在向量减法 中的作用. 2.掌握向量的减法，会作两个向量的差 向量，并理解其几何意义 3.掌握向量减法的三角形法则， 变式训练① 要点精析 如图6-1-6，已知正方形 ABCD的边长等于1，AB=a, 川要点向量减法的三角形法则 BC=b,AC=c,试作向量： 图6-1-6 (1)0A+A0=0,:.0A=-A0,称0A (1)a-b;(2)a-b+c. 与A0为相反向量.：.0B-0A=0B+AO=AB】 当OA与0B不共线时，OA,OB,AB构成 一个三角形，因此上述求两个向量差的方法 称为向量减法的三角形法则， (2)a,b,a-b不共线时，lal-b<la- bl<lal+lbl (3)a,b,a-b共线时，la-b1=lal+lb 例2已知IAB+AC=AC-AB1,求 或la-bl=lal-bl. ∠BAC. 思考当la-bl=lal+b1时，向量a与b 分析利用数形结合及向量加减法的 之间有什么关系？ 运算法则解题。 例1在平行四边形ABCD中，AB=a, BC=b,用a,b分别表示AC和BD 分析运用加法的平行四边形法则和 减法的三角形法则」 学(67 N 高中数学必修第二册人教B版 例4如图6-1-8，在任意四边形ABCD 变式训练2 中，E是AD的中点，F是BC的中点，求 如图6-1-7所示，已知在平行四边形 证：AB+DC=2EF ABCD中，AB=a,AD=b,当a,b满足什 么条件时，a+b与a-b垂直？ 图6-1-8 图6-1-7 例3若1al=2,bl=3,求la-b1的取值 范围。 分析由向量减法法则，有la-b≤la bl≤lal+lbl. 变式训练③ 当且仅当a,b方向相反时，a-b=l+bl; 已知AB=10,AC=7,求BCI的取值 当且仅当a,b方向相同时，la-bl=lal-bl. 范围。 反思感悟两个向量的和与差的模满 足lal-bll≤la±bl≤lal+bl,只有a与b共线 时，等号才有可能成立. 68)学 第六章平面向量初步 例如图6-1-9，质点A受到力F和 数学文化 F2的作用，已知F=4N,F,与正东方向的 纵观向量的发展史，我们发现它是物理 夹角为30°；1F2=4N,F2与正东方向的夹 与代数相互交织的结果.首先是源于古希腊： 角为60°，求下列两个向量的大小和方向： 时期的向量加法（力学中的平行四边形法 (1)F+F2;(2)F-F2 则)，然后18世纪随着复数（二元）的几何 北 化而以“有向线段”存在，得到较大的发 展.接着，数学家们从两个角度对二维向量 进行了推广：一方面，从物理应用角度，格 F2 雷斯曼将向量推广到高维空间，但是因其高 南 度抽象性而未能及时受到重视；另一方面， 图6-1-9 哈密顿从纯数学的角度将复数推广到“四元 数”，“四元数”在物理上的成功及麦克斯 韦等大家的推崇让“四元数”得到重视和发 展，并最终导致了20世纪向量分析的产生. 一切都不是偶然，但是偶然会让必然的时间 提前或延后，向为此做出努力的数学家们 致敬 学(69N 高中数学必修第二册人教B版 例2答图 例3AB【解析】向量既有大小又有方向.AB=DC, 边AB和边DC平行且相等，故A正确.a∥b,·a,b 方向相同或者相反.又lal=bl,..a,b为相同向量或者 相反向量，故B正确.大小相等且方向相同的向量称为 相等的向量，与位置无关，故C不正确.0与任意向量 都平行，当b-0时，a,c不一定平行，故D不正确.故 选AB. 变式训练2 D【解析】品表示与a同向的单位向量，岛表示与 b同向的单位向量，只要a与b同向就有合-合、放选D 数学文化 解：如图所示 例题答图 6.1.2向量的加法 要点精析 例1解：作图如图所示. Vb 例1答图 变式训练1 B【解析】BC+BA=2BP .点P为线段AC的中点，故选B. 例2解：由于la-lbll≤la+bl≤a+ 1bl,因此1≤la+b1≤5.当且仅当a, 变式训练1答图 b方向相同时，la+bl=5;当且仅当 a,b方向相反时，la+bl=1. 46 例3解：作图如图所示 例3答图 例4解：由题知，a+b+c=AB+BC+BD=AC+BD.如 图，延长BC至点E,使BC=CE,连接DE,由于ADL CE,四边形ACED为平行四边形，AC=DE,AC+ BD'=BD'+DE'=BE .la+b+cl=IBE I=2IBC I=2ADI=8V3. C E 例4答图 变式训练2 D【解析】，点M为平行四边形ABCD对角线的交 点，点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知， 0A+0C=20M,0B+0D=20M,故0A+0B+0C+0D= 40M.故选D. 数学文化 证明：设在△ABC中，D,E,F为BC,AC,AB的 中点，·2AD=AB+4C,2BE-BA+BC,2CF-CA+CB, 2AD+2BE+2CF-AB+AC+BA+BC+CA+CB-0, 即以任意三角形的三中线为边可以作一个三角形. 6.1.3向量的减法 要点精析 例1解：四边形ABCD为平行四边形，.AD=BC=b. .AC=AB+AD,.AC-a+b. BD=AD-AB,:.BD=b-a. 变式训练1 解：(1)在正方形ABCD中，a-b-AB-BC=AB AD-DB. (2)如图，过点B作BF∥AC,交DC的延长线于点 F,连接AF,则四边形ABFC为平行四边形，故a+c= AB+AC=AF.在△ADF中，DF-AF-AD=a-b+c,故DF 即为所求 变式训练1答图 例2解：根据题意以AB,AC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABDC.在平行四边形ABDC中， ADEAB+ACI.IBCHAC-ABI. 例2答图 .平行四边形ABDC的对角线相等，.平行四边形 ABDC为矩形，.∠BAC为直角 变式训练2 解：若a+b与a-b垂直，即平行四边形ABCD的两 条对角线互相垂直，则只需满足四边形ABCD为菱形， .a,b满足lal=b1即可. 例3解：由于Ilal-Ibl≤la-bl≤lal+lbl,因此1≤la-bl≤ 5.当且仅当a,b方向相反时，la-bl=5;当且仅当a,b 方向相同时，a-bl=1. 例4证明：由题知，E,F分别是AD,BC的中点， BF+CF-0,AE+DE-0,AB+DC=(AF+FB)+(DF+ FC)=AF+DF-(AE+EF+(DEEF )(AE+DE )42EF- 0+2EF-2EF 变式训练3 解：AB10,lAC1=7,.3=AC-BCI≤IBCE AC-AB1≤AC+AB=17,当且仅当AB,AC同向时BC 取得最小值3，反向时BC1取得最大值17. 数学文化 解：根据平行四边形法则作出图形，由题意，四边 形AFBF是正方形，如图所示， 北 例题答图 参考答案。 (1)IF+F2l=曰al=V4+4=4V2(N),∠CAB= ∠FAB-∠FAC=45°-30°=15°，.F,+F2的方向为东偏南 15 (2)lF,-F,=b1=V4+4=4V2(N),∠FDE=180° -(∠FED+∠DFE)=180°-(60°+45°)=75°，.F1-F2的方 向为东偏北75° 6.1.4数乘向量 要点精析 例1解：由a=2e,得到c=a,b=-30=a,因此 a,b平行. 含，24，w23 3. 变式训练1 2【解析】根据向量加法的平行四边形法则及向量数 乘的几何意义计算 由向量加法的平行四边形法则，得AB+AD=AC, 又0是AC的中点，AC=2A0,AB+4D=240, ∴.入=2 例2解：BD-2DC,BD-号BC .AD-AB+BD,BC-AC-AB, 0-i+号a心-a店)=子4C+兮a店 变式训练2 ?【解析】利用平面向量加、减法的运算法则， 将DE用AB,AC表示出来，对照条件，求出1,2 的值 由题知，D呢-B配-Bm=子BC-B=子(A-A)+ a丽-名瓜+号C 于是A=石，A号，放+A子 例3解：0B=0A+A'B=-30A+3AB=3(0A+AB)= 30B,.0B与0B共线且同方向，长度是0B的3倍. 例4证明：由于0A+0B+0C=0,.0A=-(0B+0C), 即OB+OC是与OA方向相反且长度相等的向量. 如图，以OB,OC为邻边作平行四边形BOCD,则OD 47