5.2.2 事件之间的关系与运算-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

5.2.2事件之 学习目标 1.了解事件的包含关系和相等关系，了 解并事件与交事件的概念，会进行事件的概 率运算。 2.理解互斥事件和对立事件的概念及关 系，会用互斥事件与对立事件的概念公式求 概率. 3.会用自然语言、符号语言表示事件之 间的关系与运算，加强数学抽象素养的培养。 要点精析 川要点1事件之间的关系 (1)一般地，如果事件A发生时，事件 B一定发生，则称“A包含于B”(或“B 包含A”),记作ACB(或B2A)· (2)如果事件A发生时，事件B一定发 生；而且事件B发生时，事件A也一定发 生，则称“A与B相等”，记作A=B.不难看 出：A=B台ACB且BCA. (3)给定事件A,B,由所有A中的样 本点与B中的样本点组成的事件称为A与B 的和（或并），记作A+B(或AUB). (4)给定事件A,B,由A与B中的公 共样本点组成的事件称为A与B的积（或 交)，记作AB(或A∩B). 思考事件的和与事件的积与物理学 中的串、并联电路存在着何种关系？ 例1同时掷两枚骰子，两枚骰子的点 数和是2,3,4，…，11,12中的一个，事 第五章统计与概率。 间的关系与运算 件A={2,5,7},事件B={2,4,6,8,10, 12},那么AUB= ,A∩B= 分析本题考查事件之间的运算，列 出基本事件可得。 川要点2互斥事件概率的计算 (1)给定事件A,B,若事件A与B不 能同时发生，则称A与B互斥，记作AB= ☑（或A∩B=0). 注：①任何两个基本事件都是互斥的， ☑与任意事件互斥 ②一般地，如果A1,A2,…,An是两两 互斥事件，则 P(A+A+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) (2)给定样本空间2 与事件A,则由2中所有 不属于A的样本点组成的 事件称为A的对立事件，记作A，用集合的 观点看，A是A在2中的补集，如图所示. 如果B=A,则称A与B相互对立. 注：①事件A与A中，有一个发生，而 且只有一个发生.注意到必然事件的概率为 1,因此P(A)+P(A)=1. ②如果A与B相互对立，则A与B互 斥，但反之不成立，即“A与B相互对立” 是“A与B互斥”的充分不必要条件. 思考在一次试验中是否存在既不互 斥也不对立的两个事件？ 例2从装有2个红球和2个黑球的口 袋内任取2个球，则与事件“恰有2个红 球”既不对立也不互斥的事件是() 学 51 N 高中数学必修第二册人教B版 A.至少有1个黑球 B.恰好有1个黑球 C.至多有1个红球 D.至少有1个红球 分析本题考查互斥事件与对立事件 的判断，列出基本事件空间即可判断， B变式训练① 抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与 事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的 是() A.至多一枚硬币正面朝上 B.只有一枚硬币正面朝上 C.两枚硬币反面朝上 D.两枚硬币正面朝上 例3若某群体中的成员只用现金支付 的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支 付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A.0.3 B.0.4 c.0.6 D.0.7 分析 本题将所求事件写成若千互 斥事件的并，利用互斥事件概率加法公 式可得。 B变式训练2 若某公司从5名大学毕业生甲、乙、 丙、丁、戊中录用3人，这5人被录用的机 会均等，则甲或乙被录用的概率为() A B.2 5 c D.9 0 52)学 反思感悟求复杂事件的概率的两种 方法： (1)将所求事件转化成几个彼此互斥 的事件的和事件.一般情况下，当一个事件 包含多个基本事件时，要用到概率加法公 式的推广，即P(A1UA2U…UA)=P(A)+ P(A2)+…+P(A) (2)将一个较复杂的事件转化为几个 互斥事件的和事件时，若需要分类太多， 而其对立事件的分类较少，则可考虑利用 对立事件的概率公式，即“正难则反”. 数学文化 例1三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能 顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识 竞赛中，三个臭皮匠A,B,C能答对题目 的概率分别为P(A)=3,P(B)=4,PC)= 5,诸葛充D能答对题目的概率PD)=子， 如果将三个臭皮匠A,B,C组成一组与诸 葛亮D比赛，答对题目多者为胜方，问哪 方胜. 例2从2至8的7个整数中随机取2个 不同的数，则这2个数互质的概率是 分析首先要了解互质的含义，其次 要准确枚举2个数互质的取法总数，做到 不重复、不遗漏错误的命题；“从100个灯泡(6个是次品)中取出5 个，5个都是次品”发生与否是随机的，④是正确的 命题.故有3个正确命题.故选D. 变式训练2 D【解析】一年有12个月，因此无论10,11,12 个人，都有可能所有人都不在同一个月出生，而13>12， 所以13人中至少有2人在同一月份出生，为必然事件。 故选D. 例336【解析】试验的全部结果为(1,1)，(1,2)， (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5), (3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), (4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2), (6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种.故选D. 变式训练3 (ABC,ABD,ABO,ACD,ACO,ADO,BCD BCO.BDO.CDO 例4解：(1)用(1,2)表示第一次掷出1点，第二 次掷出2点，其他的样本点用类似的方法表示，则可知 所有样本点均可表示成(i,)的形式，其中i,j都是 1,2,3,4,5,6中的数.因此，样本空间2={(i,j1≤ i≤6,1≤j≤6，ieN,jeNW. (2)不难看出，A={(1,2),(2,1)月，B=(1,1), (1,2),(2,1)小 (3)A事件发生时，B事件一定发生，也就是说B 事件发生的可能性不会比A事件发生的可能性小，.直 观上可知P(A)≤P(B). 变式训练4 C【解析】样本空间2={(1,2)，(1,3)，(1， 4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5), (4,6),(5,6)},共15个样本点，其中符合数字之积 是4的倍数的样本点有6个，故所求概率P?子，故 选C 数学文化 C【解析】在这100名学生中，只能说出一种或一 种也说不出的有100-73=27（人）· 参考答案⊙ 设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说 出一种或一种也说不出的有x人，则罗0，解得 x=108.故选C 5.2.2事件之间的关系与运算 要点精析 例1{2,4,5,6,7,8,10,12}{5,7}【解析】 事件A=2,5,7},事件B=2,4,6,8,10,12, ∴AUB=2,4,5,6,7,8,10,12,B=3,5,7,9,11}, .AnB={5,7}. 例2D【解析】从装有2个红球和2个黑球的口袋内 任取2个球，至少有1个黑球与事件恰有2个红球是对 立事件，A不成立；恰好有1个黑球与事件恰有2个 红球是互斥的事件，B不成立；至多有1个红球与事 件恰有2个红球是对立事件，.C不成立；至少有1个 红球与事件恰有2个红球是既不对立也不互斥的事件， D成立.故选D 变式训练1 C【解析】由对立事件的概念知：“至少一枚硬币 正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.故选C 例3B【解析】设事件A为只用现金支付，事件B为 只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支 付，则A,B,C刚好组成全事件，且A,B,C为互斥 事件，则P(B)=1-P(A)-P(C)=1-0.15-0.45=0.4.故选B. 变式训练2 D【解析】从5名大学生中录用3人，所有不同的 可能结果有（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、乙、 戊)，（甲、丙、丁），（甲、丙、戊），（甲、丁、戊）， (乙、丙、丁)，（乙、丙、戊），（乙、丁、戊），（丙、 丁、戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有 不同结果只有（丙、丁、戊）1种，其对立事件为“甲 或乙被录用”，-b品放选D 数学文化 例1解：如果三个臭皮匠A,B,C能答对的题目彼此 互斥（他们能答对的题目不重复），则P(AUBUC)= PA)+PB)+C)-褐>PD)=号，放三个臭皮匠方为胜 方，即三个臭皮匠顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠 A,B,C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶 41 N 高中数学必修第二册人教B版 上一个诸葛亮 例2号【解折】从2至8的7个整数中随机取2个不 同的数的样本空间2={(2,3)，(2,4)，(2,5)， (2,6),(2,7),(2,8),(3,4),(3,5),(3,6), (3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8, (5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(6,8),(7,8)1 其中两数互质的情况有(2,3)，(2,5)，(2,7)， (3,4),(3,5),(3,7),(3,8),(4,5),(4, 7),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(7,8), 共14种 .从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，这 2个数互质的概率为计号 5.2.3古典概型 要点精析 例1ABD【解析】古典概型的特点：①试验中所有可 能出现的基本事件只有有限个：②侮个基本事件出现的 可能性相等.显然A,B,D符合古典概型的特征，A, B,D是古典概型；C选项，每天是否降雨受多方面因 素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选ABD. 变式训练1 C【解析】根据古典概型的两个特征进行判断. A项中两个基本事件不是等可能的；B项中基本事 件的个数是无限的；C项符合古典概型的两个特征；D 项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的.故选C. 例2A【解析】由题意，记物理、历史分别为A,B, 从中选择1门；记思想政治、地理、化学、生物为a, b,c,d,从中选择2门.该同学随机选择3门功课，所 包含的基本事件有(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d), (A,b,c),(A,b,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,a, c),(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),共 12个基本事件；该同学选到历史、地理2门功课所包含 的基本事件有(B,a,b),(B,b,c),(B,b,d),共3 个基本事件.·.该同学选到历史、地理2门功课的概率 为P3=1.故选A 124 变式训练2 D【解析】设4名同学为甲、乙、丙、丁，各自在 周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有2= 16(种)（也可分类讨论：周六无人情况有1种，周六 42 1人情况有4种，周六2人情况有6种，周六3人情况 有4种，周六4人情况有1种)，所以周六、周日都有同 学参加公益活动的概率为4？.故选D. 168 例3B【解析】分三类情况，第一类1,2连号，则甲、 乙、丙三个人拿到的卡片可能为(12,3,4)，(12,4， 3),(3,12,4),(4,12,3),(3,4,12),(4,3, 12),有6种分法；第二类2,3连号，则甲、乙、丙三 个人拿到的卡片可能为(1,23,4)，(4,23,1)， (23,1,4),(23,4,1),(1,4,23),(4,1,23), 有6种分法；第三类3,4连号，则甲、乙、丙三个人 拿到的卡片可能为(1,2,34)，(2,1,34)，(34,1， 2),(34,2,1),(1,34,2),(2,34,1),有6种 分法。共有18种分法，则2.3益号的藏半为食日 故选B 变式训练3 B【解析】样本空间2=(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3)},共包含12个样本点，满足 条件“两个数之差绝对值为2”的样本点有(1,3)， (3,1),(2,4),(4,2),共4个，所以P4=1 Γ12-3 故选B. 数学文化 A【解析】依题意，阳数为1,3,5,7,9，故所 有的情况为(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)， (3,5),(3,7),(3,9),(5,7),(5,9),(7,9, 共10种，其中满足条件的为(3,9)，(5,7)，(5,9)， (7,9),共4种，放所求概率严悬号，做选A 5.2.4频率与概率 要点精析 例1B【解析】正面朝上的颜率是品-0,7，正面朝上 的概率是0.5.故选B. 变式训练1 BC【解析】从4个小球中选取2个小球共有6种方 案，其中2个小球颜色相同的方案有2种，故甲获胜的 概率为}，放A错误： 随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，故