5.2.5 随机事件的独立性-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

事件A发生的频率可以估计事件A发生的概率，故B正确： 必然事件一定发生，故其概率是1，故C正确： 古典概型要求随机事件的结果可能性相等，在适宜 的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验发 芽与不发芽可能性不一定相等，故D错误.故选BC 例2解：()由题意可得，频水豪，睡只，第 出数据，从左到右依次为0.75,0.8,0.8,0.85,0.83， 0.8,0.76 (2)在同一条件下进行大量试验，频率会稳定在一 个常数附近，我们就用这个常数作为概率的估计值. 由于进球频率都在0.8左右摆动，故这位运动员投 篮一次，进球的概率约是0.8. 变式训练2 解：(1)当日需求量n≥17时，利润y=17×(10-5) =85. 当日需求量n<17时，利润=10m-17×5=10m-85. 110m-85,n<17, 85,n≥17. (2)①这100天日利润的平均数为Lx(55x10+ 100 65x20+75×16+85×54)=76.4. ②当天利润不低于75元，则当天需求量不少于16 枝，故当天的利润不低于75元的概率为P=0.16+0.16+ 0.15+0.13+0.1=0.7. 例3BCD【解析】画树形图如下： 印 石头 剪刀 布 乙石头剪刀布石头剪刀布石头剪刀布 从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9 种，这些结果出现的可能性相等，P甲获胜)=}，P(乙 获胜)了，故玩一局甲不输的概率是子，故A错误； 不超过14的素数有2,3,5,7,11,13，共6个，从 这6个素数中任取2个，有2与3,2与5,2与7,2 与11,2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,5与 7,5与11,5与13,7与11,7与13,11与13，共15 种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不 超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14 的概率为，放B正确；基本事件总共有6x6=36种情 参考答案。 况，其中点数之和是6的有(1,5)，(2,4)， (3,3),(4,2),(5,1),共5种情况，则所求概率 是名故C正确：记3件正品为A,AA,1件次品 为B,任取2件产品的所有可能为AA2,AA3,AB, AA,AB,AB,共6种，其中2件都是正品的有 AA,AA,AA,共3种，则所求高率为八名=宁 6 故D正确.故选BCD. 变式训练3 C【解析】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次 就停止的有021,001,130,031，共4组随机数，即恰 好抽取三次就停止的概率约为4-2故选C. 18-9 数学文化 解：这个游戏对小杨有利.每次游戏时，所有可能 出现的结果如下： 第一次 土 口 第二次 土 (土，土) (,口) (土，木) 口 (口，土) (口，口) (口，木) 木 (木，土) (木，口) (木，木) 共有9种结果，且每种结果等可能出现，其中能组 成上下结构的汉字的结果有4种：（土，土），（口， 口)，（木，口），（口，木），所以小李获胜的概率为 号，小杨我胜的概率为)，所以这个游戏对小杨有利. 5.2.5随机事件的独立性 要点精析 例1C【解析】抛掷3枚质地均匀的硬币的样本空间 2={(正，正，正)，（正，正，反），（正，反，正）， (反，正，正)，（正，反，反），（反，正，反），（反， 反，正)，（反，反，反}，事件A中所含的样本点有 (正，正，反)，（正，反，正），（反，正，正），（正， 反，反)，（反，正，反），（反，反，正），因此P(A)= 子，事件B中所含的样本点有（正，正，正），（正， 正，反)，（正，反，正），（反，正，正），因此P(B)= 之，事件AB中所含的样本点有（正，正，反），（正， 43 高中数学必修第二册人教B版 反，正)，（反，正，正），因此P(AB)=令，因此 P(AB)=P(A)P(B),即事件A,B相互独立.故选C. 变式训练1 D【解析】Pd,)号若4：发生了，P4,)=子 分：若A,不发生，P(A:子即A,发生的结果对A: 发生的结果有影响，A1与A2不是相互独立事件.故 选D 例2A【解析】利用相互独立事件的概率乘法公式P- 号×号×了品3人都投进的概率为5故选A 变式训练2 弓【解析】记“两人都巾奖”为事件4.设巾一、 二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结 果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)， (0,2)共6种，其中甲、乙都中奖的结果有(1,2)， (2,1)2种，所以P4)=2=1 6=3 例3A【解析】记“三个元件T,T2,T正常工作” 分别为事件A,A,A,则PA)=,PA)=圣，PA) =P4,UA)）[1-Pa,)Pa)]1-x-若不发 生故障的事件为(A2UA)∩A1,.不发生故障的概率为 aUAnM,-1-Pipa,]Pa-8x号3 故选A 变式训练3 是【解析】记E:甲组研发新产品成功，A乙组 研发新产品成功.由题知，P(E)=子，P(E)=号，P(F) 专，P=号，且率件E与R,E与R,E与R,E与F 都相互独立. 记H:至少有一种新产品研发成功，则五=E下，于 是Ra=rrF写×号后 故所求概率为PI-P=l后-是 数学文化 解：(1)记“甲队总得分为0分”为事件A,“甲 44 队总得分为2分”为事件B.甲队总得分为0分，即甲 队3人都回答错误，其概率P心A)1号'分甲队总 得分为2分，即甲队3人中有1人答错，其余2人答 对，其概率PB)=3x(号x1-号号 (2)记“乙队得1分”为事件C,“甲队得2分， 乙队得1分”为事件D,事件C即乙队3人中有2人答 错，其余1人答对，则P(C)1-子×号×1-+ 号×1-号x1-+1-号x1-号×3甲队 得2分、乙队得1分，即事件B,C同时发生，且事件 A.C相互装立，周D)=PBAG-音×高品 >"5.3统计与概率的应用 要点精析 例10.398【解析】设当天从天津到大连的三列火车正 点到达的事件分别为A,B,C,则P(A)=0.8,P(B)= 0.7,P(C)=0.9,事件A,B,C相互独立，∴这三列火车 恰好有两列正点到达的概率P-P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =0.8×0.7×(1-0.9)+0.8×(1-0.7)×0.9+(1-0.8)x0.7×0.9= 0.398. 变式训练1 D【解析】以A表示击中，B表示未击中，所有的 基本事件有BAAA,ABAA,AABA,AAAB,共4个. 其中事件“3枪中有且只有2枪连中”所包含的基本事 件有ABAA,AABA,共2个.因此，3枪中有且只有2 枪连中的概率是子分放选D. 变式训练2 AB【解标】2个球都是红球的餐率为宁×宁-石， A结论正确；2个球中恰有1个红球的概率为了 1-1-号×37，B结论正确：至少有1个红球 的概率为1--号×个1号，C结论错误；2个球 都不是红球的概*为写×了-名，D结论错误放选 AB.N高申数学必修第二册人教B版 5.2.5随机 学习目标 1.结合实例，理解两个随机事件独立的 意义，并会判断两个事件是否独立. 2.理解概率的乘法公式. 3.会运用互斥事件的概率加法公式和独 立事件的概率乘法公式解题， 要点精析 川要点1事件独立性的判断 相互独立事件、互斥事件的区别与联系： (1)二者都是刻画随机事件的关系. (2)两事件互斥是指两个随机事件不会 同时发生，此时P(A+B)=P(A)+P(B),两 事件独立是指两个事件不相互影响，此时 P(AB)=P(A)P(B). 思考如果事件A与B相互独立，则 A与B,A与B,A与B是否也相互独立？ 例1抛掷3枚质地均匀的硬币，若事 件A=“既有正面向上又有反面向上”，事件 B=“至多有1枚反面向上”，则事件A与事件 B() A.是互斥事件 B.是对立事件 C.是相互独立事件 D.不是相互独立事件 分析利用相互独立事件的判断公式 P(AB)=P(A)P(B)即可. (58)学 事件的独立性 B变式训练① 坛子中放有3个白球、2个黑球，从中 进行不放回地取球2次，每次取1球，用A1 表示第一次取得白球，用A2表示第二次取 得白球，则A1和A2是() A.互斥的事件 B.相互独立的事件 C.对立的事件 D.不相互独立的事件 川要点2相互独立事件概率的计算 相互独立事件的概率乘法公式： (1)若A与B相互独立，则P(AB)= P(A)P(B),同时P(AB)=P(A)P(B),P(AB) =P(A)P(B),P(AB)=P(A)P(B). (2)若A1,A2,…,An两两独立，则 P(AA2…A)=P(A)P(A2)·P(An). (3)求P(A+B)时同样应注意事件A,B 是否互斥，对于“至多”“至少”型问题的 解法有两种思路：一是分类讨论；二是求对 立事件. 思考判断两件事情是否独立时，能 否只看它们有没有联系？ 例2甲、乙、丙3人投篮，投进的概 率分别为分，号宁，现3人各投篮1次， 是否投进互不影响，则3人都投进的概率为 A5B.C5D.0 分析利用相互独立事件同时发生的 乘法公式即可计算， B变式训练2 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另 1张无奖.甲、乙两人各抽取1张，两人都 中奖的概率为 例3三个元件T,T2,T3正常工作的 概率分别为}，子，子且是互相独立的将 它们中某两个元件并联后再和第三个元件串 联接入电路，在如图5-2-2的电路中，电路 不发生故障的概率是() 图5-2-2 A.15 B.9 32 32 c场 D是 分析 本题利用串、并联电路知识将 电路不发生故障分解为若干基本事件的交 或并，进而计算 B变式训练③ 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研 发新产品成功的概率分别为号和子.现安排 甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设 甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种 新产品研发成功的概率为 第五章统计与概率。 数学文化 例眉山市位于四川西南，有“千载诗 书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪 苏洵、苏轼、苏辙的故乡.在国庆黄金周， 为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里 三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、 乙两队参赛，每队3人，每人回答1个问 题，答对者为本队赢得1分，答错得0分. 假设甲队中每人答对的概率均为号，乙队中 3人答对的概率分别为号，号，号，且各人 回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求甲队总得分为0分、2分的 概率； (2)求甲队得2分、乙队得1分的概率. 分析本题将所求事件写成互斥事件 的并，进而利用相互独立事件乘法公式即 可求解 学(59