5.2.4 频率与概率-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

5.2.4频 学习目标 1.在具体情境中，了解随机事件发生的 不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义 以及频率与概率的区别： 2.会用概率的意义解释生活中的实例， 要点精析 川要点1频率与概率的区别 名称 区别 联系 本身是随机的，在试 验之前无法确定，大 (1)频率是概率的近 多会随着试验次数的 似值，随着试验次数 频率 改变而改变.做同样 的增加，频率会越来 次数的重复试验，得 越接近概率 到的频率值也可能会 (2)在实际问题中 不同 事件的概率通常情况 是一个[0,1]中的 下是未知的，常用频 概率 确定值，不随试验结 率估计概率 果的改变而改变 思考 “随着试验次数的增加，频率 会越来越接近概率”这种说法是否正确？ 例1某人将一枚质地均匀的硬币连续 抛掷了10次，正面朝上的情形出现了7次， 则下列说法正确的是() A.正面朝上的概率为0.7 B.正面朝上的频率为0.7 C.正面朝上的概率为7 D.正面朝上的概率接近于0.7 第五章统计与概率。 率与概率 分析本题考查频率与概率的定义. B变式训练① (多选题)下列说法正确的有() A.在袋子中放有2白2黑大小相同的4 个小球，甲、乙玩游戏的规则是从中不放回地 依次随机摸出2个小球，如2个小球同色则甲 获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率为？ B.做n次随机试验，用事件A发生的 频率可以估计事件A发生的概率 C.必然事件的概率为1 D.在适宜的条件下种下一粒种子，观 察它是否发芽，这个试验为古典概型 川要点2概率的计算 用频率估计概率： (1)概率可看作频率理论上的期望值， 它从数量上反映了随机事件发生的可能性的 大小.当试验的次数越来越多时，频率越来 越趋近于概率.当试验次数足够多时，所得 频率就近似地看作随机事件的概率， (2)通过公式(A)=4=m计算出频 nn 率，再由频率估算概率。 例2某篮球运动员在同一条件下进行 投篮练习，结果如下表所示。 投篮次数n/次 8 10 15 20 30 40 50 进球次数m/次 6 8 12 17 25 32 38 进球频率m n 学 55 N 高中数学必修第二册人教B版 (1)填写上表中的进球频率 (2)这位运动员投篮一次，进球的概率 大约是多少？ 反思感悟对概率的正确理解： (1)概率是事件的本质属性，不随试 验次数的变化而变化，概率反映了事件发 生的可能性的大小，但概率只提供了一种 “可能性”，而不是试验总次数中某一事件 一定发生的比例 (2)任何事件的概率都是区间[0,1] 上的一个确定数，它度量该事件发生的可 能性，概率越接近于1，表明事件发生的可 能性就越大；反过来，概率越接近于0，表 明事件发生的可能性就越小， (3)小概率（概率接近于0）事件很少 发生，但不代表一定不发生；大概率（概 率接近于1)事件经常发生，但不代表一 定发生 (4)必然事件M的概率为1，即P(M) =1;不可能事件N的概率为0，即P(N)=0. B变式训练2 某花店每天以每枝5元的价格从农场购 进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格 出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃 56)学 圾处理， (1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求 当天的利润y(单位：元)关于当天需求量 n(单位：枝，n∈N)的函数解析式. (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求 量，整理得： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 ①假设花店在这100天内每天购进17 枝玫瑰花，求这100天的日利润的平均数； ②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生 的概率，求当天的利润不低于75元的概率. 例3（多选题）以下对各事件发生的 概率判断正确的有() A.甲、乙两人玩“剪刀、石头、布” 的游戏，则玩一局甲不输的概率是】 3 B.每个大于2的偶数都可以表示为两 个素数的和，例如8=3+5，在不超过14的 素数中随机选取两个不同的数，其和等于 14的概率为1 15 C.将一个质地均匀的正方体骰子（每 个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先 后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和 是6的概率是5 6 D.从3件正品、1件次品中随机取出2 件，则取出的产品全是正品的概率是) 分析本题考查古典概型的概率计算· B变式训练3 袋子中有四个小球，分别写有“中、 华、民、族”四个字，有放回地从中任取 个小球，直到“中”“华”两个字都取到才 停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次 停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间 取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代 表“中、华、民、族”这四个字，以每三个 随机数为一组，表示取球三次的结果，经随 机模拟产生了以下18组随机数： 232321230023123021132 220001231130133231031320 122103233 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的 概率为() A司 B c号 分析本题为古典概型，观察随机数 组得到基本事件的个数 第五章统计与概率。 数学文化 例汉字是世界上最古老的文字之一， 字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定 的天性.如图，三个汉字可以看成是轴对称 图形 木 小李和小杨利用“土”“口”“木”三 个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个 汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背 面朝上洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽 出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构 的汉字（如“土”“土”构成“圭”），小李 获胜，否则小杨获胜.你认为这个游戏对谁 有利？ 分析本题通过判断小李和小杨获胜 包含的基本事件个数来判断游戏是否公平. 反思感悟书写样本空间时要注意进行 自然语言和符号语言的转换，尽可能用比较 简洁的方式来表示样本空间.例如，在抛掷 硬币的问题中，可将“正面”“反面”分别 用数字1和0来表示， 学 57N 高中数学必修第二册人教B版 上一个诸葛亮 例2号【解折】从2至8的7个整数中随机取2个不 同的数的样本空间2={(2,3)，(2,4)，(2,5)， (2,6),(2,7),(2,8),(3,4),(3,5),(3,6), (3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8, (5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(6,8),(7,8)1 其中两数互质的情况有(2,3)，(2,5)，(2,7)， (3,4),(3,5),(3,7),(3,8),(4,5),(4, 7),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(7,8), 共14种 .从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，这 2个数互质的概率为计号 5.2.3古典概型 要点精析 例1ABD【解析】古典概型的特点：①试验中所有可 能出现的基本事件只有有限个：②侮个基本事件出现的 可能性相等.显然A,B,D符合古典概型的特征，A, B,D是古典概型；C选项，每天是否降雨受多方面因 素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选ABD. 变式训练1 C【解析】根据古典概型的两个特征进行判断. A项中两个基本事件不是等可能的；B项中基本事 件的个数是无限的；C项符合古典概型的两个特征；D 项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的.故选C. 例2A【解析】由题意，记物理、历史分别为A,B, 从中选择1门；记思想政治、地理、化学、生物为a, b,c,d,从中选择2门.该同学随机选择3门功课，所 包含的基本事件有(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d), (A,b,c),(A,b,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,a, c),(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),共 12个基本事件；该同学选到历史、地理2门功课所包含 的基本事件有(B,a,b),(B,b,c),(B,b,d),共3 个基本事件.·.该同学选到历史、地理2门功课的概率 为P3=1.故选A 124 变式训练2 D【解析】设4名同学为甲、乙、丙、丁，各自在 周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有2= 16(种)（也可分类讨论：周六无人情况有1种，周六 42 1人情况有4种，周六2人情况有6种，周六3人情况 有4种，周六4人情况有1种)，所以周六、周日都有同 学参加公益活动的概率为4？.故选D. 168 例3B【解析】分三类情况，第一类1,2连号，则甲、 乙、丙三个人拿到的卡片可能为(12,3,4)，(12,4， 3),(3,12,4),(4,12,3),(3,4,12),(4,3, 12),有6种分法；第二类2,3连号，则甲、乙、丙三 个人拿到的卡片可能为(1,23,4)，(4,23,1)， (23,1,4),(23,4,1),(1,4,23),(4,1,23), 有6种分法；第三类3,4连号，则甲、乙、丙三个人 拿到的卡片可能为(1,2,34)，(2,1,34)，(34,1， 2),(34,2,1),(1,34,2),(2,34,1),有6种 分法。共有18种分法，则2.3益号的藏半为食日 故选B 变式训练3 B【解析】样本空间2=(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3)},共包含12个样本点，满足 条件“两个数之差绝对值为2”的样本点有(1,3)， (3,1),(2,4),(4,2),共4个，所以P4=1 Γ12-3 故选B. 数学文化 A【解析】依题意，阳数为1,3,5,7,9，故所 有的情况为(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)， (3,5),(3,7),(3,9),(5,7),(5,9),(7,9, 共10种，其中满足条件的为(3,9)，(5,7)，(5,9)， (7,9),共4种，放所求概率严悬号，做选A 5.2.4频率与概率 要点精析 例1B【解析】正面朝上的颜率是品-0,7，正面朝上 的概率是0.5.故选B. 变式训练1 BC【解析】从4个小球中选取2个小球共有6种方 案，其中2个小球颜色相同的方案有2种，故甲获胜的 概率为}，放A错误： 随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，故 事件A发生的频率可以估计事件A发生的概率，故B正确： 必然事件一定发生，故其概率是1，故C正确； 古典概型要求随机事件的结果可能性相等，在适宜 的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验发 芽与不发芽可能性不一定相等，故D错误.故选BC 例2解：()由题意可得，频半=怒警，即只，算 n 出数据，从左到右依次为0.75,0.8,0.8,0.85,0.83， 0.8,0.76. (2)在同一条件下进行大量试验，频率会稳定在一 个常数附近，我们就用这个常数作为概率的估计值： 由于进球频率都在0.8左右摆动，故这位运动员投 篮一次，进球的概率约是0.8. 变式训练2 解：(1)当日需求量n≥17时，利润y=17×(10-5) =85. 当日需求量n<17时，利润y=10m-17×5=10m-85. 10m-85,n<17, 85,n≥17. (2)①这10天日利润的平均数为00×(55x0+ 65x20+75×16+85×54)=76.4. ②当天利润不低于75元，则当天需求量不少于16 枝，故当天的利润不低于75元的概率为P-0.16+0.16+ 0.15+0.13+0.1=0.7. 例3BCD【解析】画树形图如下： 甲 石头 剪刀 个N 乙石头剪刀布石头剪刀布石头剪刀布 从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9 种，这些结果出瑰的可能性相等，P(甲获胜)=子，P(乙 获胜)=了，放玩一局甲不输的概率是子，放A错误： 不超过14的素数有2,3,5,7,11,13，共6个，从 这6个素数中任取2个，有2与3,2与5,2与7,2 与11,2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,5与 7,5与11,5与13,7与11,7与13,11与13，共15 种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不 超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14 的概率为古，放B正确；基本事件总共有6x6=36种情 参考答案。 况，其中点数之和是6的有(1,5)，(2,4)， (3,3),(4,2),(5,1),共5种情况，则所求概率 是名放C正确：记3件正品为A,A,A,1件次品 为B,任取2件产品的所有可能为AA2,AA,AB, AA,AB,AB,共6种，其中2件都是正品的有 AA,AA,AA,共3种，则所求概率为严音号 故D正确.故选BCD. 变式训练3 C【解析】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次 就停止的有021,001,130,031，共4组随机数，即恰 好抽取三次就停止的概率约为4=2.故选C 1891 数学文化 解：这个游戏对小杨有利.每次游戏时，所有可能 出现的结果如下： 第一次 土 口 木 第二次 土 (土，土) (土，口) (土，木) 口 (口，土) (口，口) (口，木) 木 (木，土) (木，口) (木，木) 共有9种结果，且每种结果等可能出现，其中能组 成上下结构的汉字的结果有4种：（土，土），（口， 口)，（木，口），（口，木），所以小李获胜的概率为 号，小杨获胜的概率为)，所以这个游戏对小杨有利， 5.2.5随机事件的独立性 要点精析 例1C【解析】抛掷3枚质地均匀的硬币的样本空间 2=(正，正，正)，（正，正，反），（正，反，正）， (反，正，正)，（正，反，反），（反，正，反），（反， 反，正)，（反，反，反）}，事件A中所含的样本点有 (正，正，反)，（正，反，正），（反，正，正），（正， 反，反)，（反，正，反），（反，反，正），因此PA)= 子，事件B中所含的样本点有（正，正，正），（正， 正，反)，（正，反，正），（反，正，正），因此P(B)= 分，事件AB中所含的样本点有（正，正反），（正， 43