4.2.2 对数运算法则-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.2.2对数运算法则 学习目标 反思感悟根据lg2+lg5=1,我们可以 得到下列关系式 1.掌握对数运算法则，理解其推导过程 1g25 +1g2 xlg5 +1g2 =(1g5 +1g2)1g5 +1g2 和成立条件 1g5+lg2=1;1g2+21g2×lg5+lg25=(1g5+lg2)2=1. 2.掌握换底公式及其推论，能熟练运用 例2计算210g3-10g,63+l0g27-72 对数的运算性质进行化简求值： 分析依据对数的运算法则，利用对 要点精析 数恒等式de=W进行化简. 川要点1利用对数的运算法则求值 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,a∈R, 那么 (1)log (MN)=logM+logN; log(NN2…N)=logN1+logN2+…+log N (N>0,i=1,2,…,k) (2)log M=alogM. (3)log-og.M-log.N. 思考你能总结出指数运算法则与对 数运算法则的对应关系吗？ 例1(1)计算log3V27+lg4+lg25+ g的值 (2)计算下列各式的值： 反思感悟 同底的对数相加，要运用 ①1gV100;②(1g2)2+lg20xlg5. 运算法则，须将其系数化为1. 分析对数式的化简求值一般是正用 或逆用公式对真数进行处理，选哪种策略 B变式训练① 化简取决于问题的实际情况，一般本着便 计算：1og42e0-(3V/3)号-7e2]= 于真数化简的原则进行 例3已知l1og18=m,1og24=n,用含 m,n的式子将log1.5表示出来， 学 13 N 高中数学必修第二册人教B版 分析 1og15=1og号=log3-log2,只 变式训练3 要用含m,n的式子表示log3和log2即可. 已知lg(x+2y)+lg(x-y)=lg2+lgx+lgy,求 logs x的值. 2 例5设a,b,c都是正数，且3=4= 变式训练2 6,那么（) 已知log6=m,log12=n,用含m,n A.1=1+1 B.2=2+1 的式子将1og45表示出来. c a'b c a b C.1=2+2 D.2=1+2 c a'b c a b 分析对已知条件3=4=6中的各数分 别取对数，再根据对数运算得出a,b,c 之间的关系。 川要点3对数换底公式的应用 川要点2对数运算法则的综合应用 1ogb=10gb(a>0且a≠1，b>0,c>0且 log a log(MN)=logM+logN(a>0且a≠1， c≠1) M>0,N>0),此处要特别注意对数式有意义 思考换底公式的作用是什么呢？ 的条件是真数大于零 例6已知3=4=c(c>0且c≠1)，且 思考logx2一定等于2logx吗？ +}-2,求实数e的值 例4若1ga+lgb=2lg(a-2b),则1og6 分析利用换底公式可以把不同底的 的值为 对数化成同底的对数，要注意换底公式的 分析在将对数形式转化成其他形式 正用、逆用以及变形应用」 时，一定要先确定字母的取值范围，再求值。 反思感悟先利用对数的运算性质可 得ab=(a-2b)2,化简整理可得a=4b或a=b, 根据真数大于零，从而求出结果。 14)学 第四章指数函数、对数函数与幂函数。 反思感悟几个特殊的换底公式： 例按照国家标准，教室内空气中二氧 化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%. (1)log,b"=mlogb; 经测定，刚下课时教室内空气中含有0.25% (2)logh=1 的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳 loga 的浓度为y%,且y随时间t(单位：min) (3)logb.log.c=logc. 的变化规律可以用函数y=0.05+eo描述， B变式训练④ 则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至 少需要的时间为()（参考数据ln2≈ 若10=4,5=4，则L-1 a b 0.69) A.11 min B.12 min 数学文化 C.13 min D.14 min 以a为底N的对数记作logN.对数符号 变式训练5 “log”出自拉丁文logarithm,最早由意大利 数学家卡瓦列里(Cavalieri)所使用.20世 已知ab>1,若1ogb+loga=习，-b, 纪初，形成了对数的现代表示.为了使用方 则a= ,b= 便，人们逐渐把以10为底的常用对数及以 无理数e为底的自然对数分别记作lgV和 lnN. 学(15N 高中数学必修第二册人教B版 (2).4-64,.l0g64=3. 变式训练2 解：要求指数式的值，只需把已知的对数式化为指 数式 log2=p,l1og3=q,∴=2，d=3,∴.d*=2x32=18. 例3解：a=log10,b=og7,3=10,3=7,3- 36 9 变式训练3 1【解析】设loga=logb=lg(a+b)=x,.a=2,b=5, a6-10,因此女+古-密是- 例420【解析】221s5-=22x2s=4×5=20. 变式训练4 AB【解析】lgl0Hne=l,lg(lgl0)=lgl-0,lg(lne)= lgl=0,∴.①②均正确；③中若e=lnx,则x=e,故③错 误；④中lgl=0,而ln0没有意义，故④错误.故选AB. 例5解：由log2[1og(logza)]=0, log3(loga)=1,.loga=3, 解得a=8,36”=(6e)2=82-64 变式训练5 C【解析】由题意知，log1og上(logx)=0, log4(logr)l,logx=3,解得x=2方V2. 同理可解得，y=3宁=V3,=5=V5 比较x和y:取x=(V2)8,y(3)9, x<,.‘x<y 比较x和z:取x0=32,z10=25,x0z0,>a. 比较y和z:取y5=243,z5=125,y5>z5,>z. 综上所述，<x<y,故选C 数学文化 A【解析】由题意可知v=2km/s, u=l0kms,代人v=oln1+M可得， mol 10aml+.h:-5, 1+M=e,lM=m(e-1, mo 即M+m=e,.M+=e,故选A mo 30 4.2.2对数运算法则 要点精析 例1解：(1)原式=10g3+lg4x25+1=+g10+1= 多+21号 2)①g=ge10=2e10=号 ②(1g2)2+lg20xlg5=(1g2)2+(1+lg2)(1-lg2)=(lg2)2+1- (1g2)2-1. 例2解：21og3-1e6g+1og7-7m-g9-1ogg+lg7- 2-e9s0×7j-23-21 变式训练1 1【解析】原式=Hog[2e10-(32)子-2]=log(10-3-2)=1. 例3解：log18=log2×9=log2+2log3=m,log24=l0g3× 8=log 3+3log 2=n. (log 2+2l0g 3=m, log2-=52m-m), 联立，得 解得 (3l0g2+log.3=n, log3-号(3m-n)）. log.1.-log.-log.3-log.2-(4m-3n). 变式训练2 解：1og6=log2×3=log2+log3=m,log12=log3×4= log 3+log 22-log 3+2l0g 2=n. 联立，得be24le3m·解得 (log,2=n-m, (log 3+2l0g 2=n, 1og3=2m-n. lop45-0g-5-0g5oogo-0 2log3=1-(n-m)+2(2m-n)=5m-3n+1. 例41【解析】依题意，得a>0,b>0,a-2b>0,原式 可化为ab=(a-2b)2,即d2-5ab+4b2=0,等号两边同时除 以得（分”-5分+40，解得g=4或号1. a-2b>0,8>2,分=4，og8-l 变式训练3 解：g(x+2y)+lg(x-y)=lg2+lg+lgy, .Ig(x+2y)(x-y)=Ig(2xy), |(x+2y)(x-y)=2xy, x+2y>0, x>>0, ∴.x-y>0, 可得， (x+2y)(x-y)=2xy. x>0, >0, 由(x+2y)(x-y)=2xy可得，x2-y-2y2-0, 号20.解得2或1（含去）， lg子1oe2-log8i-3 例5B【解析】3=4=6>0，设1g34=1g4=lg6=k, lg3-点，le2苏lg6=2,小g24He3e6,即+分 a 2b c 当-2时，名6名改选B 例6解：由3=4=-c(c>0且c≠1)，得a=1ogc,b= o吧e,oo3.古loge4 又2+b-2,de3+hog4=ioe,2=2.即c-12. .c=2V3. 变式训练4 子【解折】a=g4,b=lg4,∴-方og0- a b 1og 5-ogo 数学文化 例D【解析】由题意，不妨设当t=t时，y=0.25,当t仁 t2时，y0.1, 0.2=e六， 即 0.25=0.05+e0, 整理得 0.1=0.05+e六， 0.05=λe帝， 从而0.2=Ae治 0.05e帝，化简整理得e=4, 解得t2-t=20ln2≈14.故选D. 变式训练5 42【解折】lbgb+loga=号，ogb+ogb子， 15 gb-2或号 b>l,ogb<l,ogb=7,ab 又d-b“,.(b2=bb,即2b=b2,b=2,=4. 参考答案。 4.2.3对数函数的性质与图象 第1课时对数函数的概念与图象 要点精析 例14【解析】=log21x+2-5a+4是对数函数， 2a-1>0. 2a-1≠1，解得a=4. a2-5a+4=0. 变式训练1 B【解析】由于①中自变量出现在底数上，.①不是 对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1， ∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x+2), (x+1),∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中1ogx的系数 为2，⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的 定义.故选B. 例2D【解析】由题图知函数单调递减，·0<a<1.当x= 1时，log.(x+c)=log(1+c)<0,即1+c>1,∴.c>0；当x=0 时，log(x+c)=logc>0,即c<1,.0<c<1.故选D. 变式训练2 C【解析】当x≤2时，-x+6≥4，当且仅当x=2时 取等号，满足值域为[4，+∞）. 依题意得，f(x)x>2}C[4,+∞).当0<a<1时， 1ogx<0,3+logx<3<4,不符合要求，.a>1,f(x)在(2， +∞)上单调递增，∴.(3+log2,+∞)C[4,+),则3+ 1og2≥4，解得1<a≤2，.实数a的取值范围是(1,2]. 故选C. -4x+8>0. <2, 例3解：由题意得2x-1>0,解得父2' 2x-1≠1. x≠1， 故函数y=oean(-4+8)的定义域为分，U (1,2). 变式训练3 A【解析】由题可知，1og5(4x2-3x)≥0，由对数函 数的单调性，可得0<4-3x≤1，解得-4≤0或< x≤1，y=Voe(4r3的定义拔为，0U 子，小故选A 例4解：令t=3+2x-x2,则t=-(x-1)2+4≤4，且y= 31