4.2.1 对数运算-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第二册人教B版 4.2对数与对数函数 4.2.1对数运算 A.(-1,+0) 学习目标 B.(-1,0)U(0,+∞) 1.类比指数的学习过程，学习对数的 C.(-∞，-1)U(-1,+∞)》 概念， D.(-0,0)U(0,+∞) 2.理解对数的意义、符号 川要点2指数式与对数式的互化 3.会用对数的定义进行对数式与指数式 的互化 指数 对数 4.会利用对数恒等式求简单的对数值. 幂 真数 要点精析 →logW=b 底数 川要点1对数的概念 思考指数式d=N,根式VN=a和对 在表达式d=N(a>0且a≠1，N∈(0， 数式l0gN=b之间的关系，你能理解吗？ +∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的 例2将下列指数式与对数式互化： b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以 (1)1og216=4;(2)4=64. a为底V的对数，记作b=logV,其中a称为 分析指数式化为对数式：将指数式的 对数的底数，N称为对数的真数. 幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写 思考为什么在对数式中规定a>0且 出对数式 a≠1呢？ 对数式化为指数式：将对数式的真数 例1对数式logx2(x+2)中实数x的取 作为幂，对数作为指数，底数不变，写出 值范围是 指数式 反思感悟在解决与对数有关的问题 时，一定要注意：对数的真数大于零，对数 的底数大于零且不等于1 B变式训练① 若1og+1(x+1)=1,则x的取值范围是 10)学 第四章指数函数、对数函数与幂函数。 反思感悟·对数的定义是对数形式和 川要点3对数的性质与对数恒等式 指数形式互化的依据，而对数形式与指数形 式的互化又是解决问题的重要手段.互化时 1的对数是0，底的对数是1；对数恒等 要弄清各字母或数字分别在指数式和对数 式：dv=N. 式中的位置 思考对数恒等式成立的条件是什么？ 例4计算：22oe5= B变式训练2 反思感悟利用指数幂的运算法则， 已知1og2=p,log3=q,求d*的值. 将式子变形，再利用对数恒等式求解。 B变式训练④ (多选题)有以下四个结论：①lg(Ig10) =0;②lg(lne)=0;③若e=lnx,则x=e2; ④ln(lgl)=0.其中正确的有() A.① B.② C.③ D.④ 例5已知log2s[log3(1oga)]=0,计算 36oe的值. 例3设a=log10,b=log37,求3的值， B变式训练③ 已知logs[log1(logs2)]=log3log1(logy)] B变式训练3 =log21og1(1og2x)]=0,则下列关系中成立的 若正数a,b满足log2a=logb=lg(a+b), 是( 则女+ A.x<y<z B.y<z<x C.z<x<y D.z<y<x 学 N 高中数学必修第二册人教B版 质量，mo是火箭（除去燃料）的质量，v是 数学文化 火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知o= 例航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫 2km/s,则当火箭的最大速度v可达到 斯基(K.E.Tsiolkovsky)于1903年给出火箭 :10kms时，火箭的总质量（含燃料）至少 最大速度的计算公式=n1+M.其中，o 是火箭（除去燃料）质量的()倍. mo A.es B.e5-1 是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的： C.e D.e6-1 (12)学(2)解：①1.7>1，y=1.7在(-∞，+∞)上是增 函数 -2.5>-3,1.7-25>1.7-3 ②1.731.7-1,0.83<0.8=1，∴1.73>0.831 变式训练1 BI解折1告告0，号0，cd 又2216赞等[等d, ..c<a<dkb.故选B. 例2解：当0<a<1时，.a2≤a5,..2x+1≥x-5,解得 x≥-6. 当a心1时，2≤a5,∴2x+1≤x-5,解得x≤-6. 综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{≥-6； 当a心1时，不等式的解集为lx≤6. 变式训练2 解：当e[1,2]时，22是+m2-≥0，即 m(22-1)≥-(2-1) 2-1>0,m≥-(22+1). t∈[1，2]，.-(22+1)e[-17,-5]. 若使m≥-(2+1)在te[1,2]上恒成立， 则m≥-5，m的取值范围为[-5，+∞) 例3C【解标】两数南兮2xeR)复 合而成，y2是减函数，只需求出=-+2x(x∈ R)的单调递减区间即可，易求得仁-x+2x的单调递减区 间为[1，+∞)，故选C. 变式训练3 (1,4]【解析】外函数为y=d,内函数为二次函数 1=2r2-x+1,在区间-0，冬上单调递减，在区间 朵，+∞上单调递增。 当心1时，外函数)d单调递增，x)在-0,4 上单调递减，在4，+∞上单调递增。 a>1, :函数)在(1,3)上单调递增，≤1， 解 4 得1<a≤4. 参考答案。 综上所述，实数a的取值范围为(1,4]. 例4V?【解析】由根式的性质易知函数的定义域 4 为[-山，2】.令Vr+2,则)y分厂是减函数， 当≤x≤2时，函数1单调递减，当-1≤x≤号时，函数1 单调递增，函数)=（分丽的单调递增区间为 [分，2，单调递诚区间为-山，引，∴x)寸2 1V2 4 变式训练4 解：外函数为y=3',内函数为t=x2-2x.外函数y=3 在(-∞，+∞)上单调递增，内函数t=x2-2x在(-∞， 1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，∴.y=32在 (-∞，1)上单调递减，在(1，+0）上单调递增， a=3号 数学文化 C【解析】由题意可得Net号，可得e号 设Ne-064W=号. 可得et-=(e“)2-e“,解得t=8. 因此，污染物消除至最初的64%还需要4h.故选C. 一m4.2对数与对数函数 4.2.1对数运算 要点精析 1x+2>0, 例1(2,3)U(3,+∞)【解析】由题意可得{x-2>0, x-2≠1， 解得>2，且x≠3，.实数x的取值范围是(2,3)U(3, +). 变式训练1 +1=x+1, B【解析】log(x+1)=1,x+1>0,x>-1且 x+1≠1， x≠0.故选B 例2解：(1)log16-4,2=16. 29 N 高中数学必修第二册人教B版 (2).4-64,.l0g64=3. 变式训练2 解：要求指数式的值，只需把已知的对数式化为指 数式 log2=p,l1og3=q,∴=2，d=3,∴.d*=2x32=18. 例3解：a=log10,b=og7,3=10,3=7,3- 36 9 变式训练3 1【解析】设loga=logb=lg(a+b)=x,.a=2,b=5, a6-10,因此女+古-密是- 例420【解析】221s5-=22x2s=4×5=20. 变式训练4 AB【解析】lgl0Hne=l,lg(lgl0)=lgl-0,lg(lne)= lgl=0,∴.①②均正确；③中若e=lnx,则x=e,故③错 误；④中lgl=0,而ln0没有意义，故④错误.故选AB. 例5解：由log2[1og(logza)]=0, log3(loga)=1,.loga=3, 解得a=8,36”=(6e)2=82-64 变式训练5 C【解析】由题意知，log1og上(logx)=0, log4(logr)l,logx=3,解得x=2方V2. 同理可解得，y=3宁=V3,=5=V5 比较x和y:取x=(V2)8,y(3)9, x<,.‘x<y 比较x和z:取x0=32,z10=25,x0z0,>a. 比较y和z:取y5=243,z5=125,y5>z5,>z. 综上所述，<x<y,故选C 数学文化 A【解析】由题意可知v=2km/s, u=l0kms,代人v=oln1+M可得， mol 10aml+.h:-5, 1+M=e,lM=m(e-1, mo 即M+m=e,.M+=e,故选A mo 30 4.2.2对数运算法则 要点精析 例1解：(1)原式=10g3+lg4x25+1=+g10+1= 多+21号 2)①g=ge10=2e10=号 ②(1g2)2+lg20xlg5=(1g2)2+(1+lg2)(1-lg2)=(lg2)2+1- (1g2)2-1. 例2解：21og3-1e6g+1og7-7m-g9-1ogg+lg7- 2-e9s0×7j-23-21 变式训练1 1【解析】原式=Hog[2e10-(32)子-2]=log(10-3-2)=1. 例3解：log18=log2×9=log2+2log3=m,log24=l0g3× 8=log 3+3log 2=n. (log 2+2l0g 3=m, log2-=52m-m), 联立，得 解得 (3l0g2+log.3=n, log3-号(3m-n)）. log.1.-log.-log.3-log.2-(4m-3n). 变式训练2 解：1og6=log2×3=log2+log3=m,log12=log3×4= log 3+log 22-log 3+2l0g 2=n. 联立，得be24le3m·解得 (log,2=n-m, (log 3+2l0g 2=n, 1og3=2m-n. lop45-0g-5-0g5oogo-0 2log3=1-(n-m)+2(2m-n)=5m-3n+1. 例41【解析】依题意，得a>0,b>0,a-2b>0,原式 可化为ab=(a-2b)2,即d2-5ab+4b2=0,等号两边同时除 以得（分”-5分+40，解得g=4或号1. a-2b>0,8>2,分=4，og8-l 变式训练3 解：g(x+2y)+lg(x-y)=lg2+lg+lgy, .Ig(x+2y)(x-y)=Ig(2xy),