4.1.1 实数指数幂及其运算-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第四章指数函数、对数函数与幂函数。 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1 指数与指数函数 4.1.1实数指数幂及其运算 1≥0). 学习目标 分析根据n次方根的化简原则进行 1.类比平方根与立方根的概念，理解n: 化简。 次方根及根式的概念：正确运用根式的运算 性质进行根式运算 2.学会根式与分数指数幂之间的相互 转化 3.掌握用有理指数幂的运算性质化简 求值. 4.了解无理指数幂的概念，知道无理指 反思感悟要注意n的奇偶性对Vx 数幂可以用有理指数幂来逼近的思想方法 的值的影响，当n为偶数时，V=x. 要点精析 ③变式训练① 川要点1n次方根的化简与求值 已知/d+Vb=-a-b,求V(a+b)F+ (1)(Va)=a. √(a+b)下的值. (2)Vd= a,n为奇数， al,n为偶数 思考 a在实数范围内的n次方根有 几个？ 例1化简： (1)V(3-π)F; (2)(Va-1)2+V(1-a)2+V(1-a)(a- 学(1 N 高中数学必修第二册人教B版 例2已知-3<x<3,求Vx2-2x+1 分析借助根式与分数指数幂的互化 -Vx2+6x+9的值. 原则进行判断： 分析根据n次方根的化简原则先化 川要点3指数幂的化简与求值 简再求值， 当s,t为任意有理数时，有运算法则： ad=a",(a)'=a",(ab)'=a'b'. 思考对任意实数s和t,类似有理指 数幂的运算法则仍然成立.那么，在无理指 数幂中，底数需要注意什么呢？ 例4化简：VaVa(a>0). 反思感悟 先将被开方数化成完全平 分析借助根式与分数指数幂的互化 方式，再化简」 原则以及指数幂的运算法则进行化简. 变式训练2 用符号“∈”或“”填空： V2-V3+V2+V3 xlx=a+ V6b,aeQ,b∈Q. 川要点2根式与指数幂的互化 (1)an=Va(a>0). (2)a=(a)"=Va (a>0,m,nE N,且m为既约分数)· 之 反思感悟在进行指数幂和根式的化 思考为什么要求分数指数幂中的指 简时，一般是先将根式化为指数幂的形式， 数是既约分数？ 将指数为小数的指数幂化为分数指数幂， 例3下列根式与分数指数幂的互化正 并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再 确的是() 利用指数幂的运算法则进行化简、求值、 A.-VE=(-x)7(x>0) 计算，以达到化繁为简的目的 B.V7=y3(y<0) B变式训练3 c.(0) 若Vx2+2x+1+Vy2+6y+9=0,则(x22)'= D.x=-/元(x≠0) 2 学 第四章指数函数、对数函数与幕函数。 例5已知x+x1=3,求： 数学文化 (1)x2+x2的值； (2)4+号的值 17世纪，法国数学家笛卡儿(1596 1650)第一个使用了现今用的根号“V一”. 分析借助完全平方公式和指数幂的 在一本书中，笛卡儿写道：“如果想求n的 运算法则进行计算。 平方根，就写作±Vn,如果想求n的立方 根，则写作n” 有时候被开方数的项数较多，为了避免 混淆，笛卡儿就用一条横线把这几项连起 来，前面放上根号“√一”（不过，它比路 多尔夫的根号多了一个小钩)就为现在的根 反思感悟解此类题目时，应先将欲 号形式 求的式子进行化简，再将已知条件代入.在 立方根符号出现得很晚，直到18世纪 化简过程中，要注意平方差公式及完全平 才在一本书中看到符号一的使用，比如 方公式、立方和（差）公式的灵活运用 25的立方根用V25表示.此后，诸如“V一” 形式的根号渐渐使用开来 ©变式训练④ 例中国古代十进位制的算筹记数法在 已知2+x立=3，求+2的值。 世界数学史上是一个伟大的创造.算筹记数的 x+x-1-3 方法是：将个位、百位、万位…的数按纵 式的数码摆出；十位、千位、十万位…的 数按横式的数码摆出.如138可用算筹表示为 巨m. 纵式：1‖I II MIT TT TT T而 横式：一=三三三⊥上〧当 例6已知a=(2+V3),b=(2-V3), 123456789 求(a+1)2+(b+1)2的值 图4-1-1 1~9这9个数字的纵式与横式表示数码 如图4-1-1所示，则164×27的运算结果 可用算筹表示为 学 3N参考答案 学习手册参考答案 第四章指数函数、 m4.1指数与指数函数 4.1.1实数指数幂及其运算 要点精析 例1解：(1)原式=3-πl=π-3. (2)原式=a-1+1-al+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1. 变式训练1 解：由Vd+V=-a-b,得lal+lbl=-a-b,故a≤0， b≤0，即a+b≤0， ./(a+b)F+/(a+b)=la+bl+a+b=-(a+b)+a+b-0. 例2解：原式=V(x-1)严-V√(x+3=lx-1-x+3, -3<x<3, .当-3<x<1时，原式=-(x-1)-(x+3)=-2-2: 当1≤<3时，原式=x-1-(+3)=-4. :原式-4,1≤3. -2x-2,-3<x<1, 变式训练2 e【解析】V2V3+V2+V了-1√V)正 VVD-xV3-1+V3+1)=V6, 此时a=0,b=1,x=V6是集合中的元素. 例3C【解析】A选项，-Vx=-x7(>0)； B选项，V=(2)=-y(0y<0): c选项，-t-0: D选项，e≠0》.放选C 例4解：VaVa-Vaa5-Va-a)方-n 参考答案。 对数函数与幂函数 变式训练3 -1【解析】V2+2x+1+V2+6y+9=0, .V(x+1)+VGy+3)=l+1l+ly+31=0. lx+1l≥0，y+3引≥0，.由lx+1l+ly+3=0,得le+1l=0, y+3引=0，解得x=-1,y=-3, .x25=(-1)205-1,(x205)=(-1)3=-1. 例5解：(1)(x+x1)2=2+x2+2=9,x2+x2=(+x2 2=9-2=7. (2)）2+是=nx*r）(-+=(x+r (x2+x2-1)=3×(7-1)=18. 变式训练4 解：(x+x)2=+x+2=9,x+x=7. (+x1)）2=x2+x2+2=49,.x2+x2=47, 原式=47-2_45 7-34 例6解：(2+V3)-。1。=2-V3, 2+V3 b=(2-V3)、1。=2+V3, 2-V3 .a+1=3-V3,b+1=3+V3, .(a+1)=1=3+V3 3-V36 (b+1)=1=3-V3 3+V36 a1)+6+1)-3+V3+3-V3=1. 6 6 .[(a+1)+(b+1)-1]2=(a+1)2+(b+1)-2+2(a+1)-1. (b+1)=1, (a+1)2+(b+1)2-1-2x3+V3×3-V3 6 6 =1-2x1-2 6-3 27 高中数学必修第二册人教B版 数学文化 ⊥‖【解析】16×27亏=72，从题中所给数码 知72可用算筹上‖川表示 4.1.2指数函数的性质与图象 第1课时指数函数的概念与图象 要点精析 (a-2)2=1, 例1C【解析】由指数函数的定义知a>0, a≠1， 解得a=3.故选C 例23【解析】由题意设f(x)=d(a>0且a≠1)，则 f2)=d-9,∴.a=3,.fx)=3 变式训练1 解：函数y=(a2-5a+5)a是指数函数， -5a+5=1, ∴.a>0, 解得a=-4. a≠1， 例3CD【解析】函数y=x+a单调递增，且a为直线y= x+a在y轴上的截距，又当a心l时，函数y=d单调递增， 当0<a<l时，函数y=单调递减，故选项C,D中的图 象符合条件.故选CD. 变式训练2 D【解析】令f代x)=0,得4-4x2,在同一平面直角坐 标系中分别作出=4，y=4x2的图象.观察可知，两个函 数图象有3个交点，故函数f(x)=4-4x2的零点个数为3. 故选D. 例4解：由-1≠0得x≠1，.函数的定义域为{≠1. 由0得y1,函数的值城为6>0且y≠小 变式训练3 解：令=Vr-22,则)=3 且=Vx2-2x+2=V(e-1)4I≥1. 又.V(x-1)+1>0恒成立， 定义城为xeR,值坡为ye0,号 例5解：函数的定义坡为R,2P2+12- 3 2>0，小当2上3，即x=-1时，y取得最小值，最 28 小值为，数的值为子 变式训练4 2【解析】当x<0时，0<2<1， fx)=1-2∈(0,1). 设fa)=fb)=t(a<b), 结合图象可知0<<1，且a<0,b>0, ∴.fa)=1-2"∈(0,1)，fb)=2-1∈(0,1). 由f代a)=fb)可得，1-2-2-1，则2+2=2. 变式训练4答图 数学文化 Bc【解折】6(-1--]-[名-0.6L)-) 石}-1，G(1)≠G(-1),G()不是偶函数，A错误。 2+,20,1+21,0c +2<1,fx)e3,当xe7,0 时，G(x)=(x)]=-1,当f)e0,时，Gx) [fx)]=0,.G(x)的值域是{-1,0B正确. f(x)的定义域为R,且f(-x)+(x)=号-2 号21=0，∴)为奇函数，C正确， + 12 y-2在R上单调递增，中2在R上单调递减， 分高-+女在R上单润谨减，即)在R 上是减函数，D错误.故选BC 第2课时指数函数的性质 要点精析 例1()B【解析】-05在R上是减函数，且> 1、1 3>4,a<b<c,故选B.