专题03 圆的重难点四模型汇编-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

专题03圆的重难点四模型汇编 【模型01：点圆最值问题】...............................................................................................1 【模型02：定弦定角】.......................................................................................................3 【模型03：四点共圆】...................................................................................................... 5 【模型04：瓜豆原理】...................................................................................................... 6 【模型01：点圆最值问题】 1.如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点E是AB的中点，点P是矩形ABCD内一点，且EP＝AE，连接CP，PD，则△PCD面积的最小值为 　 　． 2.如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（　　） A． B． C．6 D． 3.（安徽一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上一动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E．则线段BE长度的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 4.如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面内．∠MPN＝90°，点C（0，3），则PC长度的最小值是 　　． 5.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值是 　 　，点F到线段BC的最短距离是 　 　． 6.如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD，DE∥BC，点M是DE的中点，连接BM，CM．将△ADE绕点A逆时针旋转，则在旋转过程中，△BMC面积的最大值为 　 　． 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝8，D是线段BC上的动点，连接AD，过点C作CM⊥AD于M，连接BM，则BM的最小值是 　　． 【模型02：定弦定角】 1.（秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4 2.如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为 　　． 3.（广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 4.（宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 5.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为　 　． 6.如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（　　） A．2﹣2 B． C．4 D．2 7.（柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为　　． 【模型03：四点共圆】 1.如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（　　） A．4 B．8 C．10 D．6 2.如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值． 3．如图，在Rt中，，在斜边上取一点，使得，连接并延长至点，连接．若，则线段的长为 ． 4．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【模型04：瓜豆原理】 1．（2022上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 2．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)      A． B． C． D． 3．（统考中考真题）如图①，在中，，，D是BC的中点． 小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转，点B的对应点是点E，连接BE，得到．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题： （1）当点E在直线AD上时，如图②所示． ① ；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是 ． （2）请在图③中画出，使点E在直线AD的右侧，连接CE，试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由． （3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值． 4．如图，正方形ABCD的边长为7，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03圆的重难点四模型汇编 【模型01：点圆最值问题】...............................................................................................1 【模型02：定弦定角】.......................................................................................................7 【模型03：四点共圆】......................................................................................................15 【模型04：瓜豆原理】......................................................................................................20 【模型01：点圆最值问题】 1.如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点E是AB的中点，点P是矩形ABCD内一点，且EP＝AE，连接CP，PD，则△PCD面积的最小值为 　 　． 【答案】3 【解答】解：∵BC＝2AB＝4， ∴AB＝2， •点E是AB 的中点， ∴AE＝BE＝1．； ∴点P在以点E为圆心，1为半径的弧上运动， 过点 P作PQ⊥CD 于点Q， 过点E作EF⊥CD于点F， 则＝PQ， ∴当PQ最小时，△PCD 的面积取得最小值•EP+PQ≥EF， 当E，P，Q三点共线时，PQ取得最小值，最小值为EF﹣EP的值； ∴四边形ABCD是矩形， ∴EF＝BC＝4， ∴PQ最小＝EF﹣EP＝3， ∴S△PCD最小＝PQ最小＝3， 故答案为：3． 2.如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（　　） A． B． C．6 D． 【解答】解：∵AB＝4，∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆弧上， 如图，取AB的中点O，连接OD，当O、P、D三点共线时，PD有最小值， 连接BD，过点C作CH⊥BD于点H， ∵点O为AB的中点， ∴OA＝OB＝OP＝4÷2＝2， ∵正六边形的每个内角为180°×（6﹣2）÷6＝120°， ∵CD＝CB， ∴∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，BD＝2BH， ∴∠OBD＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△CBH中，CH＝＝2，BH＝， ∴BD＝， 在Rt△OBD中，OD＝＝， ∴PD的最小值为OD﹣OP＝． 故选：B． 3.（安徽一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上一动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E．则线段BE长度的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：如图，作以AC为直径的圆，圆心为O ∵E点在以CD为直径的圆上 ∴∠CED＝90° ∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90° ∴点E也在以AC为直径的圆上， 可得当O、E、B三点共线时，BE是最短， 4.如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面内．∠MPN＝90°，点C（0，3），则PC长度的最小值是 　1　． 【答案】1． 【解答】解：∵点P在平面内．∠MPN＝90°， ∴点P在以MN为直径的圆上， 如图，以MN为直径作⊙E，连接EC并延长交⊙E于点P′， 此时，PC长度最小为P′C， ∵直线分别与x轴、y轴相交于点M，N， ∴M（﹣8，0），N（0，6）， ∴OM＝8，ON＝6， 在Rt△MON中，MN＝＝＝10， ∴EM＝EN＝EP′＝＝5， ∵M（﹣8，0），N（0，6），点E为MN的中点， ∴E（﹣4，3）， ∵C（0，3）， ∴CE＝4， ∴P′C＝EP′﹣CE＝5﹣4＝1， ∴PC长度的最小值是1． 故答案为：1． 5.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直线AB上的一个动点，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，连接PF、EF，则FC的最小值是 　 　，点F到线段BC的最短距离是 　 　． 【解答】解：连接CE，作EG⊥BC于G， ∵AE＝EF＝2， ∴点F在以E为圆心，AE为半径的圆上运动， 在Rt△CDE中，由勾股定理得， CE＝＝＝2， ∴FC的最小值为CE﹣2＝2﹣2， ∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°， ∴四边形ABGE是矩形， ∴EG＝AB＝4， ∴点F到线段BC的最短距离是2， 故答案为：2﹣2，2． ∵AC＝8， ∴OC＝4 ∵BC＝3，∠ACB＝90° ∴OB＝＝＝5 ∵OE＝OC＝4 ∴BE＝OB﹣OE＝5﹣4＝1 故选：A． 6.如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD，DE∥BC，点M是DE的中点，连接BM，CM．将△ADE绕点A逆时针旋转，则在旋转过程中，△BMC面积的最大值为 　 　． 【答案】12． 【解答】解：连接AM，交BC于H，. ∵AB＝AC，AD＝AE，点M是DE的中点， ∴AM⊥DE，AH⊥BC， 将△ADE绕点A逆时针旋转180°，即M'、M、H在同一直线上时，△BMC面积取最大值． ∵AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD， ∴AD＝AE＝2，BH＝＝＝3， ∴AM＝AD＝＝， ∴AM'＝， ∴M'H＝＝4， 此时，△BMC面积＝＝＝12． 故答案为：12． 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝8，D是线段BC上的动点，连接AD，过点C作CM⊥AD于M，连接BM，则BM的最小值是 　4　． 【答案】4． 【解答】解：如图，以AC为直径作⊙O， ∵CM⊥AD， ∴∠AMC＝90°， ∴点M在⊙O的上半圆上， 当且仅当点B、M、O三点共线时，BM最小， ∵OC＝AC＝×12＝6，BC＝8，∠ACB＝90°， ∴OB＝＝＝10， ∵OM＝OC＝6， ∴BM＝OB﹣OM＝10﹣6＝4， 即BM的最小值是4， 故答案为：4． 【模型02：定弦定角】 1.（秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PBC＝∠PAB， ∴∠PAB+∠PBA＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小， ∵OC＝＝＝2， ∴PC的最小值为2﹣4， 故选：C． 2.如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为 　﹣1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图： ， ∵动点F，E的速度相同， ∴DF＝AE， 又∵正方形ABCD中，AB＝2， ∴AD＝AB， 在△ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF， ∴∠ABE＝∠DAF． ∵∠ABE+∠BEA＝90°， ∴∠FAD+∠BEA＝90°， ∴∠APB＝90°， ∵点P在运动中保持∠APB＝90°， ∴点P的路径是一段以AB为直径的弧， 设AB的中点为G，连接DG交弧于点P，此时DP的长度最小， AG＝BG＝AB＝1． 在Rt△BCG中，DG＝＝＝， ∵PG＝AG＝1， ∴DP＝DG﹣PG＝﹣1 即线段DP的最小值为﹣1， 故答案为：﹣1． 3.（广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB＝CD＝AD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABM＝60°， ∵点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动， ∴BM＝CN， 在△ABM和△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN（SAS）， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠ABP+∠CBN＝60°， ∴∠ABP+∠BAM＝60°， ∴∠APB＝180°﹣60°＝120°， ∴点P在弧AB上运动， ∴当＝时，△PAB的面积最大，最大值＝×2×1＝， 故选：D． 4.（宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠CBP＝90°， ∵∠CBP＝∠BAD， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠ADB＝90°， 取AB的中点E，连接DE，CE， ∴DE＝AB＝4， ∴OC＝OB＝4， ∵CD≥CE﹣DE， ∴CD的最小值为4﹣4， 故选：D 5.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为　 　． 【答案】2﹣2 【解答】解：连接AE，如图1， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝， ∴AB＝AC＝4， ∵AD为直径， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∴点E在以AB为直径的⊙O上， ∵⊙O的半径为2， ∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2， 在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4， ∴OC＝＝2， ∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2， 即线段CE长度的最小值为2﹣2． 故答案为2﹣2． 6.如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（　　） A．2﹣2 B． C．4 D．2 【答案】A 【解答】解：如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J． ∵∠BPE＝∠EOB， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O， ∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵AB＝3，AE：EB＝1：2， ∴BE＝2， ∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB， ∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°， ∴OQ＝1，OE＝2， ∵OJ⊥AD，OQ⊥AB， ∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°， ∴四边形AQOJ是矩形， ∴AJ＝OQ＝1， JO＝AQ＝2， ∵AD＝5， ∴DJ＝AD﹣AJ＝4， ∴OD＝＝＝2， ∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2， 故选：A． 7.（柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为　　． 【答案】1 【解答】解：∵CD＝AE， ∴BD＝CE， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， 故∠BAD＝∠CBE， ∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°， ∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°， ∴∠APB＝120°， ∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO， ∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC， ∴△AOC≌△BOC（SSS）， ∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°， ∵∠AOB+∠ACB＝180°， ∴∠OAC+∠OBC＝180°， ∴∠OAC＝∠OBC＝90°， ∴OC＝AC÷cos30°＝2，OA＝OC＝1， ∴OP＝1， ∵PC≥OC﹣OP， ∴PC≥1， ∴PC的最小值为1． 【模型03：四点共圆】 1.如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（　　） A．4 B．8 C．10 D．6 【答案】A 【解答】解：如图，连接AC，BD，在AC上取点M使DM＝DC， ∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°， ∴∠DAB+∠DCB＝180°， ∴A，B，C，D，四点共圆， ∵AD＝AB，∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ACD＝60°， ∵DM＝DC， ∴△DMC是等边三角形， ∴∠ADB＝∠ACD＝60°， ∴∠ADM＝∠BDC， ∵AD＝BD， ∴△ADM≌△BDC（SAS）， ∴AM＝BC， ∴AC＝AM+MC＝BC+CD， ∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC， 且AD＝AB＝6， ∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大， 此时C点在的中点处， ∴∠CAB＝30°， ∴AC的最大值＝AB×cos30°＝4， ∴CB+CD最大值为AC＝4， 故选：A． 2.如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值． 【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F， ∵∠C＝∠D＝90°， ∴AB是圆的直径，即A，C，B，D四个点在以AB为直径的圆上， ∵AC＝BC＝4， ∴AB＝＝＝， ∵四边形ACBD的面积＝△ACB的面积+△ADB的面积， ∴四边形ACBD的面积＝AB•DE+AB•DF ＝AB•（DE+DF）， ∴当DE与DF的和等于圆的直径时，四边形ACBD的面积最大， 即当DE+DF＝时， 四边形ACBD的面积＝××＝16， ∴四边形ACBD面积的最大值为16． 3．如图，在Rt中，，在斜边上取一点，使得，连接并延长至点，连接．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、四点共圆，由可知、、、四点共圆，进而可得，过作于点，易得再利用 ，可设，则，易证，最后解即可得解． 【详解】解：， ∴点、、、四点共圆， ， ∴为直径， ， 过作 于点， 则 ， 在 中，， ， ， ，即 ， 设，则 ， ， ， ， ， 在 中， ， 即 ， 解得或(舍去)， ； 故答案为：． 4．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意推出，从而得到、、、四点共圆，进而得出结论即可； （2）首先根据已知信息求出，再结合四点共圆的结论，在中求解即可． 【详解】（1）证：∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，， ∵、、、四点共圆， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握圆当中的重要结论，准确求解直角三角形是解题关键． 【模型04：瓜豆原理】 1．（2022上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】以为边向上作等边三角形，连接，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段的最大距离，即可求出面积的最大值． 【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离， ∵是边长为4的等边三角形， ∴点M到的距离为， ∴点D到的最大距离为， ∴的面积最大值是， 故选A． 【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值． 2．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，    设Q(，)，则PM=，QM=， ∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°， ∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′， ∴∠QPM=∠PQ′N， 在△PQM和△Q′PN中， ， ∴△PQM≌△Q′PN(AAS)， ∴PN=QM=，Q′N=PM=， ∴ON=1+PN=， ∴Q′(，)， ∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5， 当m=2时，OQ′2有最小值为5， ∴OQ′的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 3．（统考中考真题）如图①，在中，，，D是BC的中点． 小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转，点B的对应点是点E，连接BE，得到．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题： （1）当点E在直线AD上时，如图②所示． ① ；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是 ． （2）请在图③中画出，使点E在直线AD的右侧，连接CE，试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由． （3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值． 【答案】（1）①50；②；（2）；（3）AE的最小值． 【分析】（1）①利用等腰三角形的性质即可解决问题．②证明，，推出即可． （2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．利用圆周角定理证明即可解决问题． （3）因为点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，所以当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值． 【详解】（1）①如图②中， ∵，， ∴， ②结论：． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵AE垂直平分线段BC， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为50，． （2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P． ∵AD垂直平分线段BC， ∴， ∴， ∵， ∴ ． （3）如图④中，作于H， ∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动， ∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题． 4．如图，正方形ABCD的边长为7，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　 　． 【答案】2　 【解答】解：∵△EFG为等边三角形， ∴EF＝EG， 把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ， ∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝，∠EHG＝∠EBF＝90°， 即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上， 易得四边形HEPQ为矩形， ∴PQ＝EH＝，∠HEP＝90°， ∵∠CEP＝90°﹣∠BEH＝30°， ∴CP＝CE＝， ∴CQ＝CP+PQ＝+＝． ∴CG的最小值为． 故答案为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $