第一次月考试卷-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

2025-2026学年九年级上学期第一次月考试卷 数学 试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：九年级上第1-2章（北师大版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．方程，一次项系数为（　　） A． B． C． D．6 2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等 3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（    ） A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 7．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C． D．2024 8．如图，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（    ） A．2.4 B．4.8 C．10 D．9.6 9．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋，若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 10．如图，将矩形纸片沿折叠，使点A落在对角线上的处．若，则等于（　　） A． B． C． D． 11．数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的对角线长为（    ） A． B． C． D． 12．如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点F，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③若，则；其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①② C．②③ D．① 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．一元二次方程x（x+2）=0的解是 ． 14．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 15．方程，化成一般形式是 ． 16．如图，正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3、A4B4C4D4的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按如图所示摆放，点A2，A3，A4分别位于正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3的对角线的交点，则重叠部分的阴影部分的面积之和是 ． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程： (1)． (2)． 18．（10分）如图，在矩形中，，是对角线．    (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点、、(不写作法，铅笔作图，保留清晰、规范的作图痕迹)； (2)在（1）的条件下，求证：． 19．（10分）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，判断方程根的情况： (2)设此方程的两个根分别为，，若，求m的值． 20．（10分）2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？ 21．（12分）如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点D，连接．连接与相交与点O．    (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作交BC的延长线于E点．若，，求四边形的面积． 22．（12分）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．    (1)那么运动几秒时，它们相距？ (2)的面积能等于60平方厘米吗？为什么？ 23．（12分）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：    (1)两动点经过几秒时，使得； (2)两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的； (3)连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期第一次月考试卷 数学 试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：九年级上第1-2章（北师大版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．方程，一次项系数为（　　） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：方程，一次项系数为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数，首先要把方程化成一般形式． 2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等 【答案】B 【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【详解】平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选B． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键． 3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即：， 故选：A． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 4．已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义和结合根的判别式即可得出． 【详解】根据题意得且， 解得且． 故选：C． 【点睛】此题考查一元二次方程的参数与根的关系，根据根的情况求参数，难度一般． 5．如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，得到＋，可得到，再根据平行线的性质得到，，根据三角形外角和性质即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了利用正方形的性质求角度，利用三角形全等和三角形外角和性质求解是解题的关键． 6．如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（    ） A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再推出一个角是直角，即可求解，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是对角线互相垂直，理由如下： 根据三角形的中位线定理得： ，，，， ∴，， ∴四边形一定是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 故选：C． 7．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C． D．2024 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，先将代入，求出的值，再代入即可． 【详解】解：将代入，得， ， ， 故选B． 8．如图，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（    ） A．2.4 B．4.8 C．10 D．9.6 【答案】D 【分析】设与的交点为点，先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后利用菱形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，设与的交点为点， 在菱形中，，， ， ， 又， ，即， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 9．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋，若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总利润销售数量每一袋粽子的利润”列式子即可． 【详解】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋， ∴超市每天售出此种粽子的利润． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是关键． 10．如图，将矩形纸片沿折叠，使点A落在对角线上的处．若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形和折叠的性质，得到的性质得和，再根据三角形教的关系即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， 由折叠的性质可得： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质；熟练掌握矩形性质和折叠的性质是解题的关键． 11．数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的对角线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在图（1）中连接AC、BD，设AC与BD交于点O，在图（2）中连接BD，在图（1）中由菱形的性质及勾股定理求出菱形的边长，再在图（2）中由勾股定理求得BD的长即可． 【详解】解：在图（1）中连接AC、BD，设AC与BD交于点O，在图（2）中连接BD，如图所示： ∵将四根长度相等的木条首尾顺次相接， ∴在图（1）中，四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∠BDC＝∠BDA， ∵∠ABC＝=60°， ∴∠OBC＝30°， 设OC＝x，则BC＝2x， ∵BD＝， ∴OB＝4， ∴在Rt△OBC中，由勾股定理得：x2＋(4)2＝（2x）2， 解得x＝4， ∴BC＝CD＝8． ∴在图（2）中，当∠ABC＝90°时，四边形ABCD为正方形，由勾股定理得：BD＝＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 12．如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点F，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③若，则；其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①② C．②③ D．① 【答案】A 【分析】设交于K，由及将绕点B按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断①正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断②正确；过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，从而可得，判断③正确． 【详解】解：设交于K，如图：    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴，，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形，故②正确； 如图，过点D作于H，    ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴正确的有：①②③， 故选：A． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．一元二次方程x（x+2）=0的解是 ． 【答案】或 【分析】根据两整式相乘为，两整式至少有一个为得到与中至少有一个为，即可求出方程的解. 【详解】 ， 或， 解得，或. 故答案为或. 【点睛】此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法. 14．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．方程，化成一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先展开，移项，即可得出的形式即可． 【详解】， 整理，得， 即． 16．如图，正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3、A4B4C4D4的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按如图所示摆放，点A2，A3，A4分别位于正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3的对角线的交点，则重叠部分的阴影部分的面积之和是 ． 【答案】 【分析】如图，因为四边形A1B1C1D1，A2B2C2D2是正方形，过A2作B1C1，C1D1的垂线，垂足分别为E，F，先证△A2EM≌△A2FN，从而推得四边形A2MC1N的面积为正方形A1B1C1D1面积的四分之一，同样的方法，求得另外两个阴影部分面积，即可解决． 【详解】解：设正方形 A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3中的面积分别为S1，S2，S3， 如图，设A2B2与B1C1交于点M，A2D2与C1D1交于点N，过A2分别作A2E⊥B1C1于E，A2F⊥C1D1于F，连接A2C1，A2B1， ∵四边形A1B1C1D1是正方形，A2是对角线的交点， ∴A2C1平分∠B1C1D1，且△A2B1C1是等腰直角三角形， ∵A2E⊥B1C1，A2F⊥C1D1， ∴A2E＝A2F＝B1C1， ∵∠A2EC1＝∠B1C1D1＝∠A2FC1＝90°， ∴四边形A2EC1F为正方形， ∴C1E＝A2E＝B1C1， ∵四边形A2B2C2D2是正方形， ∴∠B2A2D2＝∠EA2F＝90°， ∴∠EA2M＝∠FA2N， 在△A2EM与△A2FN中， ， ∴△A2EM≌△A2FN（ASA）， ∴， ∴S1＝， 同理：， ∴阴影部分的面积和为：1+4+9＝14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）移项后用因式分解法求解即可； （2）直接用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得：，； （2）， ， 或， 解得：，． 18．（10分）如图，在矩形中，，是对角线．    (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点、、(不写作法，铅笔作图，保留清晰、规范的作图痕迹)； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：图形如图所示：    （2）证明：四边形是矩形， ，， ， 由作图可知：垂直平分， ∴， ∵，，， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查作图基本作图，矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19．（10分）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，判断方程根的情况： (2)设此方程的两个根分别为，，若，求m的值． 【答案】(1)方程无实数根 (2) 【分析】（1）当时，，根据根的判别式的值的符号，判断出根的情况即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，结合，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ， ∴方程无实数根； （2）由题可得，，即， 由根与系数的关系可知：， ∵， ∴， 得． 【点睛】本题考查了一元二次方程（，，，为常数）的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． 20．（10分）2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？ 【答案】(1) (2)48元/个 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价增加了x元，根据题意列一元二次方程，再取合适的值，进而求售价． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， ， 解得：，（舍） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为． （2）解：设售价增加了x元．由题意可得： ， ， ， 解得：（舍）， ∴售价（元/个） 答：该品牌头盔的售价应定为48元/个． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．（12分）如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点D，连接．连接与相交与点O．    (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作交BC的延长线于E点．若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明得到，推出四边形是平行四边形，可得结论； （2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，再证明四边形是平行四边形，得到，然后利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：，平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵，， ∴，∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是证明四边形是平行四边形． 22．（12分）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．    (1)那么运动几秒时，它们相距？ (2)的面积能等于60平方厘米吗？为什么？ 【答案】(1)9秒或12秒 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设运动秒时，，两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设运动秒时，的面积等于60平方厘米，利用三角形的面积公式可得出关于的一元二次方程，由根的判别式可得出原方程无解，即的面积不能等于60平方厘米． 【详解】（1）解：设运动秒时，，两点相距15厘米， 依题意，得：， 解得：，， 运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米； （2）的面积不能等于60平方厘米，理由如下： 设运动秒时，的面积等于60平方厘米， 依题意，得：， 整理，得：， ， 原方程无解，即的面积不能等于60平方厘米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（12分）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：    (1)两动点经过几秒时，使得； (2)两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的； (3)连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形． 【答案】(1)两动点经过秒时，使得； (2)两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； (3)当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形． 【分析】（1）等量关系为：，即； （2）四边形为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间； （3）需要分类讨论：和三种情况． 【详解】（1）解：设两动点经过t秒时，使得． 则， 解得． 答：两动点经过秒时，使得； （2）解：设两动点经过x秒时，使得四边形面积是矩形面积的． 则，即， 解得． 答：两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （3）解：两动点经过秒，使得是等腰三角形 ①当时，过点Q作于点H．    则， 所以， 整理得， 解得，； ②当时，． 则， 整理得． 解得，； ③当时，， 即， 整理得，， 解得，（与点B重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $