1.2.2第1课时等差数列的前n项和(一) 导学案-2024-2025学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦“等差数列的前n项和”第1课时，核心内容包括前n项和公式的推导（倒序相加法）、基本运算、性质应用及最值问题。课前预习通过教材要点填空和基础练习，衔接等差数列通项公式旧知，搭建新知学习支架。 资料以核心素养为导向，通过例题、跟踪训练和易错辨析强化逻辑推理（公式推导过程）与数学运算（基本量计算、性质应用），结合二次函数法等解决最值问题培养数学建模，分层习题设计助力学生自主学习，提升分析和解决问题的能力。

2.2等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和(一) 最新课程标准 学科核心素养 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2．能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．(逻辑推理、数学运算) 2．掌握有关a1，an，d，n，Sn的基本运算．(数学运算) 3．能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决最值问题、实际问题等．(数学建模、数学运算) 新知|初探·课前预习 [教材要点] 要点　等差数列{an}的前n项和公式 两种不同形式 (1)当已知首项a1和末项时，用Sn＝______________， (2)当已知首项a1和公差d时，用Sn＝______________． 总结　(1)等差数列前n项和公式的推导：设Sn＝a1＋a2＋…＋an，倒序得Sn＝an＋an－1＋…＋a2＋a1.相加得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1). 由等差数列性质，得2Sn＝n(a1＋an)， ∴Sn＝ . 我们不妨将上面的推导方法称为倒序相加求和法. 今后，某些数列求和常常会用到这种方法． (2)公式的结构 ①Sn＝ 形似于梯形面积公式． ②Sn＝na1＋d＝n2＋(a1) n形似n的二次式，且常数项为0，n2的系数为即公差的一半． [练习] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　) (2)若数列{an}的前n项和为Sn，则S1＝a1.(　　) (3)等差数列{an}的前n项和Sn的表达式一定为关于n的二次函数．(　　) (4)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn-1，n∈N＋.(　　) 2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，则S9等于(　　) A．45　　　　　　　　　B．52 C．108 D．54 3．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　) A．230 B．420 C．450 D．540 4．在等差数列{an}中，a1＝，S4＝20，则d＝________． 导思 题型一　等差数列前n项和的基本运算 例1　在等差数列{an}中， (1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d； (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d； (3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. 总结 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用． 跟踪训练1　在等差数列{an}中， (1)a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am； (2)a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (3)已知a3＋a15＝40，求S17. 题型二　等差数列前n项和性质的应用 例2　(1)等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为(　　) A．130 B．170 C．210 D．260 (2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________． 总结　(1)中S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列． (2)中＝＝. 总结 等差数列前n项和的常用性质 (1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差数列． (2)数列是等差数列，公差为数列{an}的公差的. (3)涉及两个等差数列的前n项和之比时，一般利用公式＝·进行转化，再利用其他知识解决问题． (4)用公式Sn＝时常与等差数列的性质a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…相结合． 跟踪训练2　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14等于(　　) A．18　　　　　　　　　B．17 C．16 D．15 (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________． 题型三　等差数列前n项和的最值问题 例3　在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________． 变式探究　将本例中“a1>0，S3＝S11”换成“an＝26－2n”，当Sn取得最大值时，n的值为________． 总结 1．二次函数法 等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，所以若a1>0，d<0，则Sn必有最大值；若a1<0，d>0，则Sn必有最小值． 2．通项公式法 若a1>0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组来确定； 若a1<0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组 来确定． 3．图象法 利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取最值． 跟踪训练3　在等差数列{an}中a1＝13，S3＝S11，试求Sn的最大值． 易错辨析　忽略等差数列中为零的项而致错 例4　设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S11＝S18，则当n＝________时，Sn最大． 解析：(法一)由S11＝S18，得11a1＋d＝18a1＋d，即a1＝－14d>0，所以d<0. 构建不等式组 即 解得14≤n≤15. 故当n＝14或n＝15时Sn最大． (法二)由S11＝S18知，a1＝－14d， 所以Sn＝na1＋d＝－14dn＋ d＝－d. 由于n∈N*，结合Sn对应的二次函数的图象知，当n＝14或n＝15时Sn最大． (法三)由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0，所以a15＝0.又a1>0，所以d<0，故当n＝14或n＝15时Sn最大． 答案：14或15 【易错点】 出错原因 纠错心得 由于a15＝0，所以S14＝S15，即n＝14或n＝15时，前n项和相等且最大．有些同学容易忽视数列中为零的项致错． 在解决数列问题时，经常遇到求最值的问题，且解决此类问题常用函数的一些方法，但一定要注意数列中的变量n为正整数，同时还要注意数列中为零的项． [课时训练] 1．已知数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，若a4＝3，a9＝5，则S12＝(　　) A．96 B．72 C．48 D．60 2．在等差数列{an}中，若a2＋a10＝－70，则S11等于(　　) A．－770 B．－385 C．770 D．385 3．(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝－4，a7＝4，则(　　) A．S4>S6 B．S4＝S5 C．S6>S5 D．S6＝S5 4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝__________. 5．已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}前n项和Sn的最大值. 2．2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和(一) 导学 要点 (1)　(2)na1＋d [练习] 1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．解析：S9＝＝54.故选D. 答案：D 3．解析：S20＝20a1＋×2＝420. 故选B. 答案：B 4．解析：由S4＝4a1＋×d＝20， 解得d＝3. 答案：3 导思 题型一 例1　解析：(1)由题意得，Sn＝＝－5，解得n＝15. 又∵a15＝＋(15－1)d＝－， ∴d＝－.∴n＝15，d＝－. (2)由已知得S8＝＝172，解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. ∴a8＝39，d＝5. (3)∵an＝11，d＝2，Sn＝35， ∴ 解得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1. 跟踪训练1　解析：(1)∵Sm＝m×＝－15， 整理得m2－7m－60＝0 解得m＝12或m＝－5(舍去) ∴am＝a12＝＋(12－1)×＝－4. (2) 解得 ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (3)S17＝＝340. 题型二 例2　解析：(1)利用等差数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． 所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)， 即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210. (2)由等差数列的性质，知 . 答案：(1)C　(2) 跟踪训练2　解析：(1)设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.故选A. (2)方法一：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设公差为d，前10项的和为：10×100＋d＝10，所以d＝－22， 所以前11项的和S110＝11×100＋×(－22)＝－110. 方法二：设等差数列{an}的公差为d， 则(n－1)＋a1，所以数列成等差数列． 所以，即， 所以S110＝－110. 方法三：设等差数列{an}的公差为d， S110＝a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[(a1＋10d)＋(a2＋10d)＋…＋(a100＋10d)]＝S10＋S100＋100×10d， 又因为S100－10S10＝d＝10－10×100， 即100d＝－22，所以S110＝－110. 答案：(1)A　(2)－110 题型三 例3　解析：解法一：函数法 由S3＝S11，可得3a1＋d，即d＝.从而Sn＝(n－7)2＋a1， 因为a1>0，所以－<0. 故当n＝7时，Sn最大． 解法二：通项公式法 由解法一可知，d＝－a1. 要使Sn最大，则有 即 解得6.5≤n≤7.5，因为n∈N＋，故当n＝7时，Sn最大． 答案：7 变式探究　解析：∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2， ∴数列{an}为等差数列，又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－. ∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大． 答案：12或13 跟踪训练3　解析：由S3＝S11，得3a1＋d. 又∵a1＝13，∴d＝－2.∴an＝13＋(n－1)(－2)＝15－2n. 令an≥0，得n≤7.5，即数列的前7项为正数，从第8项起，以后各项为负数， ∴当n＝7时，Sn最大，且S7＝49. [课时训练] 1．解析：由题可知，求得所以S12＝＝48.故选C. 答案：C 2．解析：由a2＋a10＝－70得2a6＝－70，即a6＝－35, 所以S11＝＝11a6＝－385. 故选B. 答案：B 3．解析：设等差数列{an}的公差为d， 因为a3＝－4，a7＝4， 所以a1＋2d＝－4，a1＋6d＝4， 联立解得：a1＝－8，d＝2， 所以S4＝4a1＋d＝－20， 同理可得：S5＝－20，S6＝－18. 所以S4＝S5，S6>S5，S4<S6. 答案：BC 4．解析：因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…组成的数列也为等差数列，公差为n2d, (d为数列{an}的公差) 所以S6－S3＝S3＋32d＝3＋9d＝21，解得d＝2. 又因为S3＝3a1＋×2＝3，所以a1＝－1. 所以a9＝－1＋8×2＝15. 答案：15 5．解析：(1)设{an}的公差为d, 由已知条件，解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5. (2)Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2， 所以n＝2时，Sn取得最大值4. 学科网（北京）股份有限公司 $