2 等差数列 2.2 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列前n项和的应用-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

第２课时　等差数列前n项和的应用 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并 能解决相应的问题． ２．会求等差数列前n项和的最值． １．在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程 中,培养数学建模和数学运算的核心素养． ２．在求等差数列前n项和最值过程中达成逻辑推理和 数学运算的核心素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　　等差数列前n项和的应用问题 [例１]　某抗洪指挥部接到预报,２４小时后有一洪峰 到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临 时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算,除现有的 参战军民连续奋战外,还需调用２０台同型号翻斗 车,平均每辆车工作２４小时．从各地紧急抽调的同 型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔２０分钟 能有一辆翻斗车到达,一共可调集２５辆,那么在２４ 小时内能否构筑成第二道防线? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 与数列有关的实际问题的求解策略 遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列 知识联系,建立数列模型,具体解决要注意以下 两点: (１)抓住实际问题的特征,明确是什么类型的数列 模型． (２)深入分析题意,确定是求通项公式an,或是求 前n项和Sn,还是求项数n． 􀳀[变式训练] １．“嫦娥”奔月,举国欢庆．据科学计算,运载“嫦娥”月 球探测器的“长征３号甲”火箭,点火１min内通过 的路程为２km,以后每分钟通过的路程增加２km, 在到达离地面２４０km的高度时,火箭与月球探测 器分离,则这一过程大约需要的时间(单位min)是 (　　) A．１２min　　　　　　B．１３min C．１４min D．１５min 　　　等差数列前n项和的最值问题 [例２]　在等差数列{an}中,a１０＝１８,前５项的和S５ ＝－１５． (１)求数列{an}的通项公式; (２)求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时 取最小值． [母体变式] １．将本例中的条件“S５＝－１５”改为“S５＝１２５”,其余 不变,则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小 值? 并求出这个最大值或最小值． ２．在本例中,根据第(２)题的结果,若Sn＝０,求n． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１􀅰 第一章　数　列 ３．将本例变为:等差数列{an}中,设Sn 为其前n 项 和,且a１＞０,S３＝S１１,则当n为多少时,Sn 最大． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 １．利用an: (１)若a１＜０,d＞０,则数列的前面若干项为负数 项(或０),所以将这些项相加即得{Sn}的最 小值． (２)若a１＞０,d＜０,则数列的前面若干项为正数 项(或０),所以将这些项相加即得{Sn}的最 大值． ２．利用Sn:由Sn＝ d ２n ２＋ a１－ d ２ æ è ç ö ø ÷n(d≠０),利 用二次函数配方法求取得最值时n的值． ３．利用二次函数的图像的对称性． 􀳀[变式训练] ２．在等差数列{an}中a１＝２５,S１７＝S９,求其前n项和 Sn 的最大值． 　　　数列{|an|}的前n项和 [例３]　数列{an}的前n项和Sn＝３３n－n２ (１)求{an}的通项公式; (２)设bn＝|an|,求数列{bn}的前n项和Sn′． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)利用Sn 与an 的关系求通项,也 可由Sn 的结构特征求a１,d,从而求出通项． (２)利用an 判断哪些项是正数,哪些项是负数,再求 解,也可以利用Sn 的函数特征判断项的正负求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　求解数列{|an|}的前n项和,应先判断{an} 的各项的正负,然后去掉绝对值号,转化为等差数 列的求和问题． 􀳀[变式训练] ３．若等差数列{an}的首项a１＝１３,d＝－４,记Tn＝ |a１|＋|a２|＋􀆺＋|an|,求Tn． [当堂达标] １．(多选)已知数列{an}的通项公式是an＝２n－４８,则 Sn 取得最小值时,n为 (　　)． A．２１ B．２２ C．２３ D．２４ ２．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头 进行了一次募捐活动,共收到捐款１２００元．他们 第一天只得到１０元,之后采取了积极措施,从第二 天起每一天收到的捐款都比前一天多１０元．这次 募捐活动一共进行的天数为 (　　) A．１５天 B．１６天 C．１７天 D．１８天 ３．已知等差数列{an}中,|a５|＝|a９|,公差d＞０,则使 得前n 项和Sn 取得最小值的正整数n 的值是 　　　　． ４．记Sn 为等差数列{an}的前n项和,已知a１＝－７, S３＝－１５． (１)求{an}的通项公式; (２)求Sn,并求Sn 的最小值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 ２􀆰２　等差数列的前n项和 第１课时　等差数列的前n项和公式 课前预习学案 知识梳理 [思考] [提示]　S３＝ ３(a１＋a３) ２ ＝３a２＝２１． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)√　(４)√ ２．A　 [由 a４＝１８－a５,可 得 a４＋a５＝１８,所 以 S８＝ ８(a１＋a８) ２ ＝４ (a４＋a５)＝４×１８＝７２．] ３．解析:S１９＝ １９(a１＋a１９) ２ ＝ １９×２a１０ ２ ＝１９０． 答案:１９０ ４．解:设等差数列{an}的公差为d,由已知得a１＋５d＝１０, ５a１＋ ５×４ ２ ×d＝５ ,解得a１＝－５,d＝３, 所以S８＝８×(－５)＋ ８×７ ２ ×３＝－４０＋８４＝４４． 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由题意得,Sn＝ n(a１＋an) ２ ＝ n ５６－ ３ ２( ) ２ ＝－５,解得n＝１５． 又a１５＝ ５ ６＋ (１５－１)d＝－３２ ,∴d＝－１６．∴n＝１５ ,d＝ －１６． (２)由已知得S８＝ ８(a１＋a８) ２ ＝ ８(４＋a８) ２ ＝１７２ ,解得a８＝ ３９,又∵a８＝４＋(８－１)d＝３９,∴d＝５．∴a８＝３９,d＝５． 变式训练 １．解:(１) S５＝５a１＋ ５×４ ２ d＝５ , a６＝a１＋５d＝１０, { 解得a１＝－５,d＝３． ∴a８＝a６＋２d＝１０＋２×３＝１６, S１０＝１０a１＋ １０×９ ２ d＝１０× (－５)＋５×９×３＝８５． (２)S１７ ＝ １７×(a１＋a１７) ２ ＝ １７×(a３＋a１５) ２ ＝ １７×４０ ２ ＝３４０． [例２]　(１)[解析]　利用等差数列的性质:Sn,S２n－Sn, S３n－S２n成等差数列． 所以Sn＋(S３n－S２n)＝２(S２n－Sn),即３０＋(S３n－１００) ＝２(１００－３０), 解得S３n＝２１０． 答案:C (２)[解析]　因为等差数列共有２n＋１项,所以S奇 －S偶 ＝an＋１＝ S２n＋１ ２n＋１ ,即１３２－１２０＝１３２＋１２０２n＋１ ,解得n＝１０． [答案]　１０ (３)[解析]　 a５ b５ ＝ a１＋a９ ２ b１＋b９ ２ ＝ S９ T９ ＝７×９９＋３＝ ２１ ４． [答案]　２１４ 母体变式 [解析]　 ∵{an},{bn}均 为 等 差 数 列,则 S９ T９ ＝ ９a５ ９b５ ＝ ２×５＋１ ３×５－２＝ １１ １３． [答案]　１１１３ 变式训练 ２．(１)A　[设{an}的公差为d,则a５＋a６＋a７＋a８＝S８－S４ ＝１２,(a５＋a６＋a７＋a８)－S４＝１６d,解得d＝ １ ４ ,a１１＋a１２ ＋a１３＋a１４＝a１＋１０d＋a２＋１０d＋a３＋１０d＋a４＋１０d＝ S４＋４０d＝１８．] (２)解析:因 为 an ＝２n＋１,所 以 a１ ＝３,所 以 Sn ＝ n(３＋２n＋１) ２ ＝n ２＋２n,所以 Sn n ＝n＋２ ,所以 Sn n{ }是公差 为１,首项为３的等差数列,所以前１０项和为３×１０＋ １０×９ ２ ×１＝７５． 答案:７５ 当堂达标 １．B　[２a６－a８＝a４＝６,S７＝ ７ ２ (a１＋a７)＝７a４＝４２．] ２．AC　[∵S９＝７２,a７＝１０, ∴ ９a１＋ ９×８ ２ ×d＝７２ a１＋６d＝１０ { ,⇒ a１＝４ d＝１{ ,∴an＝４＋(n－１)×１ ＝n＋３,则Sn＝ n(４＋n＋３) ２ ＝ １ ２n ２＋７２n． 故选 AC．] ３．解析:由２S３＝３S２＋６可得２(a１＋a２＋a３)＝３(a１＋a２) ＋６,化简得２a３＝a１＋a２＋６,即２(a１＋２d)＝２a１＋d＋６, 解得d＝２． 答案:２ ４．[解]　∵Sn＝n􀅰 ３ ２＋ n(n－１) ２ 􀅰 －１２( ) ＝－１５,整理得 n２－７n－６０＝０,解得n＝１２或n＝－５(舍去),a１２＝ ３ ２＋ (１２－１)× －１２( )＝－４． 第２课时　等差数列前n项和的应用 课堂互动学案 [例１]　[解]　从第一辆车投入工作算起,各车工作时间 (单位:小时)依次设为a１,a２,􀆺,a２５．由题意可知,此数列 为等差数列,且a１＝２４,公差d＝－ １ ３．２５ 辆翻斗车完成 的工 作 量 为:a１＋a２＋􀆺＋a２５＝２５×２４＋２５×１２× －１３( )＝５００, 而需要完成的工作量为２４×２０＝４８０． ∵５００＞４８０,∴在２４小时内能构筑成第二道防线． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１８􀅰 参考答案 变式训练 １．D　[由题设条件知,火箭每分钟通过的路程是首项a１＝ ２、公差d＝２的等差数列,所以nmin内通过的路程为Sn ＝２n＋n (n－１) ２ ×２＝n ２＋n＝n(n＋１)．解n(n＋１)＝２４０, 得n＝１５．] [例２]　[解]　(１)由题意得 a１＋９d＝１８, ５a１＋ ５×４ ２ ×d＝－１５ ,{ 解得 a１＝－９,d＝３,∴an＝３n－１２． (２)方 法 一 　Sn ＝ n(a１＋an) ２ ＝ １ ２ (３n２ －２１n)＝ ３ ２ n－ ７ ２( ) ２ －１４７８ , ∴当n＝３或 ４时,前n 项的和取得 最 小 值S３＝S４＝ －１８． 方法二　设Sn 最小,则 an≤０, an＋１≥０,{ 即 ３n－１２≤０, ３(n＋１)－１２≥０,{ 解得３≤n≤４,又n∈N＋,当n＝３或４时,前n项和的最小 值S３＝S４＝－１８． 母体变式 １．[解]　S５＝ １ ２×５× (a１＋a５)＝ １ ２×５×２a３＝５a３＝１２５ , 故a３＝２５,a１０－a３＝７d,即d＝－１＜０,故Sn 有最大值, an＝a３＋(n－３)d＝２８－n． 设Sn 最大,则 an≥０, an＋１≤０,{ 解得２７≤n≤２８,即S２７和S２８最 大,又a１＝２７,故S２７＝S２８＝３７８． ２．[解]　方法一　因为S３＝S４＝－１８为Sn 的最小值,由 二次函数的图像可知,其对称轴为x＝７２ ,所以当x＝０ 或x＝７时,图像与x 轴的交点为(０,０),(７,０),又n∈ N＋,所以S７＝０,所以n＝７． 方法二　因为S３＝S４,所以a４＝S４－S３＝０,故S７＝ １ ２×７× (a１＋a７)＝７a４＝０,所以n＝７． ３．[解]　方法一　要求数列前多少项的和最大,从函数的 观点来看,即求二次函数Sn＝an２＋bn的最大值,故可用 求二次函数最值的方法来求当n为多少时,Sn 最大． 由S３＝S１１,可得３a１＋ ３×２ ２ d＝１１a１＋ １１×１０ ２ d ,即d＝ －２１３a１． 从而 Sn＝ d ２n ２＋ a１－ d ２( )n＝－ a１ １３ (n－７)２＋４９１３a１ , 又a１＞０,所以－ a１ １３＜０． 故当n＝７时,Sn 最大． 方法二　由于Sn＝an２＋bn是关于n 的二次函数,由S３ ＝S１１,可知Sn＝an２＋bn的图像关于n＝ ３＋１１ ２ ＝７ 对称． 由方法一可知a＝－ a１ １３＜０ ,故当n＝７时,Sn 最大． 变式训练 ２．解:　法一:∵S９＝S１７,a１＝２５, ∴９×２５＋９ (９－１) ２ d＝１７×２５＋ １７(１７－１) ２ d ,解得d＝－２． ∴Sn＝２５n＋ n(n－１) ２ × (－２)＝－n２＋２６n＝－(n－１３)２ ＋１６９． ∴当n＝１３时,Sn 有最大值１６９． 法二:同法一,求出公差d＝－２．∴an＝２５＋(n－１)×(－２) ＝－２n＋２７． ∵a１＝２５＞０, 由 an＝－２n＋２７≥０, an＋１＝－２(n＋１)＋２７≤０,{ 得 n≤１３１２ , n≥１２１２ , ì î í ï ï ïï 又∵n∈N＋,∴当n＝１３时,Sn 有最大值１６９． 法三:∵S９＝S１７,∴a１０＋a１１＋􀆺＋a１７＝０． 由等差数列的性质得a１３＋a１４＝０． ∵a１＞０,∴d＜０．∴a１３＞０,a１４＜０．∴当n＝１３时,Sn 有 最大值１６９． 法四:设Sn＝An２＋Bn．∵S９＝S１７, ∴二次函数对称轴为n＝９＋１７２ ＝１３ ,且开口方向向下, ∴当n＝１３时,Sn 取得最大值１６９． [例３]　[解]　(１)法一:(公式法)当n≥２时,an＝Sn－ Sn－１＝３４－２n, 又当n＝１时,a１＝S１＝３２＝３４－２×１满足an＝３４－２n． 故{an}的通项公式为an＝３４－２n． 法二:(结构特征法)由Sn＝－n２＋３３n知Sn 是关于n 的 缺常数项的二次型函数,所以{an}是等差数列,由Sn 的 结构特征知 d ２＝－１ , a１－ d ２＝３３ , ì î í ï ï ïï 解得a１＝３２,d＝－２,所以an＝３４－２n． (２)由(２)知,当n≤１７时,an≥０;当n≥１８时,an＜０． 所以当n≤１７时,Sn′＝b１＋b２＋􀆺＋bn＝|a１|＋|a２|＋􀆺 ＋|an| ＝a１＋a２＋􀆺＋an＝Sn＝３３n－n２． 当n≥１８时, Sn′＝|a１|＋|a２|＋􀆺＋|a１７|＋|a１８|＋􀆺＋|an| ＝a１＋a２＋􀆺＋a１７－(a１８＋a１９＋􀆺＋an)＝S１７－(Sn－ S１７)＝２S１７－Sn ＝n２－３３n＋５４４． 故Sn′＝ ３３n－n２(n≤１７), n２－３３n＋５４４(n≥１８)．{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２８􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 变式训练 ３．解:∵a１＝１３,d＝－４,∴an＝１７－４n． 当n≤４时,Tn＝|a１|＋|a２|＋􀆺＋|an|＝a１＋a２＋􀆺＋ an＝na１＋ n(n－１) ２ d＝１３n＋ n(n－１) ２ × (－４)＝１５n－ ２n２;当n≥５时,Tn＝|a１|＋|a２|＋􀆺＋|an|＝(a１＋a２＋ a３＋a４)－(a５＋a６＋􀆺＋an)＝S４－(Sn－S４)＝２S４－Sn ＝２× (１３＋１)×４ ２ － (１５n－２n２)＝５６＋２n２－１５n． ∴Tn＝ １５n－２n２,n≤４,n∈N＋, ２n２－１５n＋５６,n≥５,n∈N＋{ ． 当堂达标 １．CD　[由an≤０,即２n－４８≤０,得n≤２４．∴所有负项的和 最小,即n＝２３或２４．] ２．A　[设他们每天收到的捐款形成数列{an},则由题可得 {an}是首项为１０,公差为１０的等差数列,∴Sn＝１０n＋ n(n－１) ２ ×１０＝１２００ ,解得n＝－１６(舍去)或n＝１５,所以 这次募捐活动一共进行的天数为１５天．故选:A．] ３．解析:由|a５|＝|a９|且d＞０,得a５＜０,a９＞０,且a５＋a９＝ ０⇒２a１＋１２d＝０⇒a１＋６d＝０,即a７＝０,故S６＝S７ 且 最小． 答案:６或７ ４．解:(１)设{an}的公差为d,由题意得３a１＋３d＝－１５．由 a１＝－７,得d＝２．所以{an}的通项公式为an＝a１＋(n－ １)d＝２n－９． (２)由(１)得Sn＝ n(a１＋an) ２ ＝n ２－８n＝(n－４)２－１６,所 以当n＝４时,Sn 取得最小值,最小值为－１６． §３　等比数列 ３．１　等比数列的概念及其通项公式 第１课时　等比数列的概念及其通项公式 课前预习学案 知识梳理 知识点一、２　前　比值　同一个　公比 [思考] １．[提示]　不能 知识点二、１．a１qn－１　２．孤立的点 [思考] ２．[提示]　因为 an an－１ ＝ ２ n ２n－１ ＝２,所以数列{an}是等比数列． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)× ２．AB　[根据等比数列的定义可知,A,B错误,C,D正确．] ３．D　[由{an}为等比数列得a５＝a１q４＝１２,∴３×q４＝１２．∴q＝ ±２．] ４．解析:数列{an}的通项公式为an＝２×５n－１． 答案:an＝２×５n－１ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)记数列为{an},显然a１＝１,a２＝３,􀆺,an＝ ３n－１,􀆺． ∵ an an－１ ＝３ n－１ ３n－２ ＝３(n≥２,n∈N＋),∴该数列为等比数列,且 公比为３． (２)记数列为{an},显然a１＝－１,a２＝１,a３＝２,􀆺, ∵ a２ a１ ＝－１≠ a３ a２ ＝２,∴此数列不是等比数列． (３)当a＝０时,数列为０,０,０,􀆺,是常数列,不是等比数列; 当a≠０时,数列为a１,a２,a３,a４,􀆺,an,􀆺,显然此数列为等 比数列,且公比为a． 变式训练 １．ABD　[A,B显然是等比数列;因为x可能为０,所以C不是 等比数列;a不能为０,D符合等比数列的定义,故 D是等比 数列．] [例２]　[解]　(１)由等比数列的通项公式得,a５＝４×(－２)５－１ ＝６４． (２)设等比数列的公比为q,那么 a１q＝１０, a１q４＝８０,{ 解得 q＝２, a１＝５．{ 所以an＝a１qn－１＝５×２n－１． 变式训练 ２．解:(１)方法一　设等比数列的公比为q,则 a１q＝４, a１q４＝－ １ ２．{ 解 得 a１＝－８, q＝－１２．{ ∴an ＝a１q n－１ ＝ (－８)× －１２( ) n－１ ＝ －１２( ) n－４ ． 方法二　设等比数列的公比为q,则 a５ a２ ＝q３, 即q３＝ － １８ ,q＝ － １２ ．∴an ＝a５q n－５＝ －１２( ) × －１２( ) n－５ ＝ －１２( ) n－４ ． (２)方法一　设等比数列的公比为q,则 a３(１＋q３)＝３６, a４(１＋q３)＝１８,{ 解得 a３＝３２, q＝１２．{ 从而a１＝ a３ q２ ＝１２８． 由a１qn－１＝ １ ２ ,即(１ ２ )n－１＝ １２( ) ８ ,得n＝９． 方法二　设等比数列{an}的公比为q． ∵a４＋a７＝a３q＋a６q＝(a３＋a６)q,∴q＝ １８ ３６＝ １ ２ ． ∵a４＋a７＝１８,∴a４(１＋q３)＝１８． ∴a４＝１６,an＝a４qn－４＝１６× １ ２( ) n－４ ． 由１６× １２( ) n－４ ＝１２ ,得n－４＝５,∴n＝９． [例３]　[解]　an＝Sn－Sn－１＝２n＋a－２n－１－a＝２n－１(n≥ ２)．当n≥２时, an＋１ an ＝ ２ n ２n－１ ＝２; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８􀅰 参考答案